1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (二十九 ) 等比数列及其前 n 项和 A 组 基础达标 (建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1对任意等比数列 an，下列说法一定正确的是 ( ) A a1， a3， a9成等比数列 B a2， a3， a6成等比数列 C a2， a4， a8成等比数列 D a3， a6， a9成等比数列 D 由等比数列的性质得， a3 a9 a260 ，因此 a3， a6， a9一定成等比数列，选 D 2 (2018 三湘名校联盟模拟 )在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学名题叫 “ 宝塔装灯 ” ，内容为 “ 远望巍巍塔七层，红灯点
2、点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？ ”(“ 倍加增 ” 指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为 2 的等比数列递增 )根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有 ( ) 【导学号： 00090171】 A 3 盏灯 B 192 盏灯 C 195 盏灯 D 200 盏灯 C 由题意设顶层的灯盏数为 a1， 则有 S7 a1 271 2 381，解得 a1 3， a7 a126 32 6 192， a1 a7 195.故选 C 3在等比数列 an中， Sn表示前 n 项和，若 a3 2S2 1， a4 2S3 1，则公比 q 等于 ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 D 两式相减得 a4 a3
3、2a3，从而求得 a4a3 3，即 q 3. 4 (2015 全国卷 )已知等比数列 an满足 a1 14， a3a5 4(a4 1)，则 a2 ( ) A 2 B 1 C 12 D 18 C 法一： a3a5 a24， a3a5 4(a4 1)， a24 4(a4 1)， a24 4a4 4 0， a4 2.又 q3 a4a1 214 8， q 2， a2 a1q 142 12，故选 C 法二 ： a3a5 4(a4 1)， a1q2 a1q4 4(a1q3 1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 将 a1 14代入上式并整理，得 q6 16q3 64 0， 解得 q 2， a2 a1q
4、12，故选 C 5 (2017 合肥二次质检 )已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a2 12， a3 a5 4，则下列说法正确的是 ( ) A an是单调递减数列 B Sn是单调递减数列 C a2n是单调递减数列 D S2n是单调递减数列 C 设等比数列 an的公比为 q，则 a3 a5 a2q a2q3 4，又因为 a2 12，所以 q4 136，则 q2 16，所以数列 a2n是首项为 12，公比为 16的等比数列，则数列 a2n为单调递减 数列，故选 C 二、填空题 6若三个正数 a， b， c 成等比数列，其中 a 5 2 6， c 5 2 6，则 b _. 1 a， b，
5、 c 成等比数列， b2 a c (5 2 6)(5 2 6) 1.又 b0， b 1. 7 (2016 浙江高考 )设数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S2 4， an 1 2Sn 1， n N*，则 a1_， S5 _. 1 121 an 1 2Sn 1， Sn 1 Sn 2Sn 1， Sn 1 3Sn 1， Sn 1 12 3? ?Sn12 ， 数列 ? ?Sn12 是公比为 3 的等比数列， S2 12S1 12 3. 又 S2 4， S1 1， a1 1， S5 12 ? ?S112 34 3234 2432 ， S5 121. 8 (2017 深圳二次调研 )九章算术中的 “
6、两鼠穿墙题 ” 是我国数学的古典名题： “ 今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？ ” 题意是 “ 有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一=【 ;精品教育资源文库 】 = 尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ” 如果墙足够厚， Sn 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则 Sn _尺 【导学号： 00090172】 2n 12n 1 1 依题意大老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，所以前 n 天大老鼠打洞的距离共为 2n1 2 2n 1.同理可得前 n 天小老鼠打洞的距离共为1 ? ?1
7、 ? ?12 n1 12 2 12n 1，所以 Sn 2n 1 2 12n 1 2n 12n 1 1. 三、解答题 9 (2017 全国卷 )已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn， a1 1， b1 1， a2 b2 2. (1)若 a3 b3 5，求 bn的通项公式； (2)若 T3 21，求 S3. 解 设 an的公差为 d， bn的公比为 q， 则 an 1 (n 1) d， bn qn 1. 1 分 由 a2 b2 2 得 d q 3. 2 分 (1)由 a3 b3 5 得 2d q2 6. 联立 和 解得? d 3，q 0 (舍去 )， ?
8、d 1，q 2. 5 分 因此 bn的通项公式为 bn 2n 1. 7 分 (2)由 b1 1， T3 21 得 q2 q 20 0. 解得 q 5 或 q 4. 10 分 当 q 5 时，由 得 d 8，则 S3 21. 11 分 当 q 4 时，由 得 d 1，则 S3 6. 12 分 10设数列 an的前 n 项和为 Sn， n N*.已知 a1 1， a2 32， a3 54，且当 n2 时 ， 4Sn 25Sn 8Sn 1 Sn 1. (1)求 a4的值； (2)证明： ? ?an 112an 为等比数列 解 (1)当 n 2 时， 4S4 5S2 8S3 S1， 即 4? ?1 3
9、2 54 a4 5? ?1 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = 8? ?1 32 54 1， 解得 a4 78. (2)证明：由 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1(n2) ， 4Sn 2 4Sn 1 Sn Sn 1 4Sn 1 4Sn(n2) ， 即 4an 2 an 4an 1(n2) 4a3 a1 4 54 1 6 4a2， 4an 2 an 4an 1(n N*)， an 2 12an 1an 1 12an 4an 2 2an 14an 1 2an 4an 1 an 2an 14an 1 2an 2an 1 anan 1 an 12， 数列 ? ?an 112an 是以 a2
10、12a1 1 为首项，12为公比的等比数列 B 组 能力提升 (建议用时： 15 分钟 ) 1 (2018 淮北模拟 )已知等比数列 an的前 n 项和 Sn a3 n 1 b，则 ab ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 A 等比数列 an的前 n 项和 Sn a3 n 1 b， a1 S1 a b， a2 S2 S1 3a b a b 2a， a3 S3 S2 9a b 3a b 6a， 等比数列 an中， a22 a1a3， (2a)2 (a b)6 a，解得 ab 3.故选 A 2 (2018 长沙模拟 )一个等比数列 an的前 3 项的积为 2，后 3 项的积为 4，且所有项的积
11、为 64，则该数列有 _项 . 【导学号： 00090173】 12 设首项为 a1，共有 n 项，公比为 q. 前 3 项之积为 a31q3 2，后 3 项之积为 a31q3n 6 4， 两式相乘得 a61q3(n 1) 8，即 a21qn 1 2， 又 a1 a1q a1q2? a1qn 1 64， an1qn n2 64，则 (a21qn 1)n 642， 2n 642， n 12. 3已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn 4an 3(n N*) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)证明：数列 an是等比数列； (2)若数列 bn满足 bn 1 an bn(n N*)，且
12、b1 2，求数列 bn的通项公式 解 (1)证明：依题意 Sn 4an 3(n N*)， n 1 时， a1 4a1 3，解得 a1 1. 2 分 因为 Sn 4an 3，则 Sn 1 4an 1 3(n2) ， 所以当 n2 时， an Sn Sn 1 4an 4an 1， 整理得 an 43an 1. 又 a1 10 ，所以 an是首项为 1，公比为 43的等比数列 5 分 (2)由 (1)知 an ? ?43 n 1， 由 bn 1 an bn(n N*)， 得 bn 1 bn ? ?43 n 1. 7 分 可得 bn b1 (b2 b1) (b3 b2) ? (bn bn 1) 21 ? ?43 n 11 43 3 ? ?43 n 1 1(n2). 10 分 当 n 1 时也满足， 所以数列 bn的通项公式为 bn 3 ? ?43 n 1 1(n N*). 12 分
