1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (十四 ) 导数与函数的单调性 A 组 基础达标 (建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1函数 y 12x2 ln x 的单调递减区间为 ( ) A ( 1,1) B (0,1) C (1， ) D (0， ) B y 12x2 ln x， y x 1x x2 1x x xx (x 0) 令 y 0，得 0 x 1， 单调递减区间为 (0,1) 2已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导 函数 f( x)的大致图像如图 2113 所示，则下列叙述正确的是 ( ) 图 2113 A f(b) f(c) f(d) B f(b) f(a) f(e)
2、 C f(c) f(b) f(a) D f(c) f(e) f(d) C 依题意得，当 x( ， c)时， f( x) 0，因此，函数 f(x)在 ( ， c)上是增加的，由 a b c，所以 f(c) f(b) f(a)因此 C 正确 3若函数 f(x) 2x3 3mx2 6x 在区间 (2， ) 上为增函数，则实数 m 的取值范围为 ( ) A ( ， 2) B ( ， 2 C.? ? ， 52 D.? ? ， 52 D f( x) 6x2 6mx 6， 当 x (2， ) 时， f( x)0 恒成立， 即 x2 mx 10 恒成立， m x 1x恒成立 =【 ;精品教育资源文库 】 =
3、令 g(x) x 1x， g( x) 1 1x2， 当 x 2 时， g( x) 0，即 g(x)在 (2， ) 上单 调递增， m2 12 52，故选 D. 4 (2017 山东高考 )若函数 exf(x)(e 2.718 28 是自然对数的底数 )在 f(x)的定义域上单调递增，则称函数 f(x)具有 M 性质下列函数中具有 M 性质的是 ( ) A f(x) 2 x B f(x) x2 C f(x) 3 x D f(x) cos x A 若 f(x)具有性质 M，则 exf(x) exf(x) f( x)0在 f(x)的定义域上恒成立，即 f(x) f( x)0 在 f(x)的定义域上恒
4、成 立 对于选项 A， f(x) f( x) 2 x 2 xln 2 2 x(1 ln 2)0，符合题意 经验证，选项 B， C， D 均不符合题意 故选 A 5 (2016 湖北枣阳第一中学 3 月模拟 )函数 f(x)的定义域为 R， f( 1) 2，对任意 x R，f( x) 2，则 f(x) 2x 4 的解集为 ( ) 【导学号： 00090066】 A ( 1,1) B ( 1， ) C ( ， 1) D ( ， ) B 由 f(x) 2x 4，得 f(x) 2x 4 0，设 F(x) f(x) 2x 4，则 F( x) f( x) 2，因为 f( x) 2，所以 F( x) 0 在
5、 R 上恒成立，所以 F(x)在 R 上是增加的，而F( 1) f( 1) 2( 1) 4 2 2 4 0，故不等式 f(x) 2x 4 0 等价于 F(x) F( 1)，所以 x 1，故选 B. 二、填空题 6函数 f(x) ln xx 的单调递增区间是 _ (0， e) 由 f( x) ? ?ln xx 1 ln xx2 0(x 0)， 可得? 1 ln x 0，x 0， 解得 x (0， e) 7若函数 y ax sin x 在 R 上是增加的，则 a 的最小值为 _ 1 函数 y ax sin x 在 R 上单调递增等价于 y a cos x 0 在 R 上恒成立，即 a cos x
6、在 R 上恒成立，因为 1 cos x 1，所以 a 1，即 a 的最小值为 1. 8 (2017 江苏高考 )已知函数 f(x) x3 2x ex 1ex，其中 e 是自然对数的底数若 f(a1) f(2a2)0 ，则实数 a 的取值范围是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = ? 1， 12 因为 f( x) ( x)3 2( x) e x 1e x x3 2x ex 1ex f(x)， 所以 f(x) x3 2x ex 1ex是奇函数 因为 f(a 1) f(2a2)0 ， 所以 f(2a2) f(a 1)，即 f(2a2) f(1 a) 因为 f( x) 3x2 2 ex e x 3x
7、2 2 2 exe x 3x20 ， 所以 f(x)在 R 上是增加的， 所以 2a21 a，即 2a2 a 10 ， 所以 1 a 12. 三、解答题 9已知函数 f(x) ln x kex (k 为常数， e 是自然对数的底数 )，曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线与 x 轴平行 (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间 . 【导学号： 00090067】 解 (1)由题意得 f( x)1x ln x kex ， 又 f(1) 1 ke 0，故 k 1. 5 分 (2)由 (1)知， f( x)1x ln x 1ex . 设 h(x) 1x ln x 1(x 0)，
8、 则 h( x) 1x2 1x 0， 即 h(x)在 (0， ) 上是减少的 . 8 分 由 h(1) 0 知，当 0 x 1 时， h(x) 0，从而 f( x) 0； 当 x 1 时， h(x) 0，从而 f( x) 0. 综上可知， f(x)的单调递增区间是 (0,1)， 单调递减区间是 (1， ). 12 分 10 (2015 重庆高考 )已知函数 f(x) ax3 x2(a R)在 x 43处取得极值 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)确定 a 的值； (2)若 g(x) f(x)ex，讨论 g(x)的单调性 解 (1)对 f(x)求导得 f( x) 3ax2 2x， 2 分
9、因为 f(x)在 x 43处取得极值， 所以 f ? ? 43 0， 即 3a 169 2 ? ? 43 16a3 83 0， 解得 a 12. 5 分 (2)由 (1)得 g(x) ? ?12x3 x2 ex， 故 g( x) ? ?32x2 2x ex ? ?12x3 x2 ex ? ?12x3 52x2 2x ex 12x(x 1)(x 4)ex. 8 分 令 g( x) 0，解得 x 0 或 x 1 或 x 4. 当 x0，故 g(x)为增函数； 当 10 时， g( x)0，故 g(x)为增函数 综上知， g(x)在 ( ， 4)和 ( 1,0)内为减函 数，在 ( 4， 1)和 (
10、0， ) 内为增函数 . 12 分 B 组 能力提升 (建议用时： 15 分钟 ) 1 (2018 江淮十校联考 )设函数 f(x) 12x2 9ln x 在区间 a 1， a 1上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 1 a2 B a4 C a2 D 0 a3 A 易知函数 f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) x 9x，由 f( x) x 9x 0，解得 0 x 3.因为函数 f(x) 12x2 9ln x在区间 a 1， a 1上是减少的，所以? a 1 0，a 13 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 1 a2 ，选 A 2 (2017 石家庄质检 (二 )设
11、 f( x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数， f( 2) 0，当 x 0时， xf( x) f(x) 0，则使得 f(x) 0 成立的 x 的取值范围是 _ 【导学号： 00090068】 ( 2,0) (2， ) 令 g(x) f xx ，则 g( x) xf x f xx2 0， x (0， ) ，所以函数 g(x)在 (0， ) 上单调递增又 g( x) f x x f x x f xx g(x)，则 g(x)是偶函数， g( 2) 0 g(2)，则 f(x) xg(x) 0? x 0，g x 0 或? x 0，g x 0， 解得 x 2 或 2 x 0，故不等式 f(x) 0 的
12、 解集为 ( 2,0) (2，) 3已知函数 f(x) ln x， g(x) 12ax b. (1)若 f(x)与 g(x)在 x 1 处相切，求 g(x)的表达式； (2)若 (x) m xx 1 f(x)在 1， ) 上是减少的，求实数 m 的取值范围 解 (1)由已知得 f( x) 1x， f(1) 1 12a， a 2. 又 g(1) 0 12a b， b 1， g(x) x 1. 5 分 (2) (x) m xx 1 f(x) m xx 1 ln x 在 1， ) 上是减少的， ( x) x2 m x 1x x 2 0 在 1， ) 上恒成立， 即 x2 (2m 2)x 10 在 1， ) 上恒成立， 则 2m 2 x 1x， x 1， ). 9 分 x 1x 2， ) ， 2m 22 ， m2. 故实数 m 的取值范围是 ( ， 2. 12 分
