1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (十五 ) 导数与函数的极值、最值 A 组 基础达标 一、选择题 1下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) A y x3 B y ln( x) C y xe x D y x 2x D 由题可知， B， C 选项中的函数不是奇函数， A 选项中，函数 y x3单调递增 (无极值 )，而 D 选项中的函数既为奇函数又存在极值 2 (2016 四川高考 )已知 a 为函数 f(x) x3 12x 的极小值点，则 a ( ) A 4 B 2 C 4 D 2 D 由题意得 f( x) 3x2 12，令 f( x) 0 得 x 2 ， 当 x2 时，f
2、( x)0；当 2x2 时， f( x)0， f(x)在 ( ， 2)上为增函数，在 ( 2,2)上为减函数，在 (2， ) 上为增函数 f(x)在 x 2 处取得极小值， a 2. 3函数 f(x) 12x2 ln x 的最小值为 ( ) 【导学号： 79140083】 A.12 B 1 C 0 D不存在 A f( x) x 1x x2 1x 且 x 0. 令 f (x) 0，得 x 1. 令 f( x) 0，得 0 x 1. f(x)在 x 1 处取得极小值也是最小值， f(1) 12 ln 1 12. 4若商品的年利润 y(万元 )与年产量 x(百万件 )的函数关系式为 y x3 27x
3、 123(x 0)，则获得最大利润时的年产量为 ( ) A 1 百万件 B 2 百万件 C 3 百万件 D 4 百万件 C y 3x2 27 3(x 3)(x 3)， 当 0 x 3 时， y 0； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 x 3 时， y 0. 故当 x 3 时，该商品的年利润最大 5已知函数 f(x) x3 ax2 (a 6)x 1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( 1,2) B ( ， 3)(6 ， ) C ( 3,6) D ( ， 1)(2 ， ) B f( x) 3x2 2ax (a 6)， 由已知可得 f( x) 0 有两个不相等的实根， 4
4、a2 43( a 6) 0，即 a2 3a 18 0， a 6 或 a 3. 二、填空题 6 (2017 肇庆模拟 )已知函数 f(x) x3 ax2 3x 9，若 x 3 是函数 f(x)的一个极值点，则实 数 a _. 5 f( x) 3x2 2ax 3. 依题意知， 3 是方程 f( x) 0 的根， 所以 3( 3)2 2a( 3) 3 0，解得 a 5. 经检验， a 5 时， f(x)在 x 3 处取得极值 7函数 y x 2cos x 在区间 ? ?0， 2 上的最大值是 _. 【导学号： 79140084】 6 3 y 1 2sin x，令 y 0， 结合 x ? ?0， 2
5、，解得 x 6 ， 易知当 x ? ?0， 6 时， y 0； 当 x ? ? 6 ， 2 时， y 0，故在 ? ?0， 2 上，函数 y x 2cos x 在 x 6 时取最大值 6 3. 8设 a R，若函数 y ex ax 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是 _ ( ， 1) y ex ax， y ex a. 函数 y ex ax 有大于零的极值点， 则方程 y ex a 0 有大于零的解， x 0 时， ex 1， a ex 1. 三、解答题 9已知函数 f(x) x3 ax2 b(a， b R) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)要使 f(x)在 (0,2)上单调递增
6、，试求 a 的取值范围； (2)当 a0 时，若函数满足 f(x)max 1， f(x)min 3，试求 y f(x)的解析式 解 (1)f( x) 3x2 2ax. 依题意 f( x)0 在 (0,2)上恒成立， 即 2ax3 x2. x 0， 2 a3 x， 2 a6 ， a3 ， 即 a 的取值范围是 3， ) (2) f( x) 3x2 2ax x( 3x 2a) a 0，当 x ? ? ， 23a 时， f( x)0 ， f(x)递减 当 x ? ?23a， 0 时， f( x) 0， f(x)递增 当 x0 ， ) 时， f( x)0 ， f(x)递减 ? f(x)max f(0)
7、 1，f(x)min f? ?23a 3 ? a 3，b 1. f(x) x3 3x2 1. 10已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，曲线 y f(x)在点 x 1 处的切线为 l： 3x y 1 0，且当 x 23时， y f(x)取极值 (1)求 a， b， c 的值； (2)求 y f(x)在 3,1上的最大值和最小值 解 (1)由 f(x) x3 ax2 bx c， 得 f( x) 3x2 2ax b. f(1) 3 2a b，由切线 l 的斜率为 3，可得 2a b 0， 当 x 23时， y f(x)取极值，则 f ? ?23 0， 可得 4a 3b 4 0， 由 ，解得
8、a 2， b 4. 由于切点的横坐标为 1，所以 f(1) 4. 所以 1 a b c 4，得 c 5. (2)由 (1)可得 f(x) x3 2x2 4x 5， f( x) 3x2 4x 4. 令 f( x) 0，解得 x1 2， x2 23. 当 x 在 3,1上变化时， f( x)， f(x)的取值及变化情况如下表所示： =【 ;精品教育资源文库 】 = x 3 ( 3， 2) 2 ? ? 2， 23 23 ? ?23， 1 1 f( x) 0 0 f(x) 8 单调递增 13 单调递减 9527 单调递增 4 所求最小值为 9527，最大值为 13. B 组 能力提升 11 (2018
9、 西宁检测 (一 )设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 f(x)在 x 2 处取得极小值，则函数 y xf( x)的图像可能是 ( ) C 由题意可得 f( 2) 0，且当 x 2 时， f( x) 0，则 y xf( x) 0，故排除 B 和 D；当 x 2 时， f( x) 0，所以当 x( 2,0)时， y xf( x) 0，当 x 0 时， y xf( x) 0，故排除 A，选 C. 12 (2017 四川宜宾三中期末 )已知 y f(x)是奇函数，当 x(0,2) 时， f(x) ln xax? ?a 12 ，当 x( 2,0)时， f(x)的最小值为 1
10、，则 a 的值等于 ( ) A.14 B.13 C.12 D 1 D 由 f(x)是奇函数，且当 x( 2,0)时， f(x)的最小值为 1 知，当 x(0,2) 时，f(x)的最大值为 1.易知 f( x) 1x a，令 f( x) 1x a 0，得 x 1a. a 12， 1a(0,2) ，当 0 x 1a时， f( x) 0； 当 x 1a时， f( x) 0. f(x)max f? ?1a ln a 1 1，解得 a 1. 13 (2016 北京高考改编 )设函数 f(x)? x3 3x， x0 ， 2x， x 0， 则 f(x)的最大值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 当
11、 x 0 时， f(x) 2x 0；当 x0 时， f( x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)，当x 1 时， f( x) 0， f(x)是增函数，当 1 x 0 时， f( x) 0， f(x)是减函数， f(x) f( 1) 2， f(x)的最大值为 2. 14设函数 f(x) ln(x a) x2. 【导学号： 79140085】 (1)若当 x 1 时， f(x)取得极值，求 a 的值，并求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)存在极值，求 a 的取值范围 解 (1)f( x) 1x a 2x，依题意，有 f( 1) 0，故 a 32. 从而 f( x) (2x 1)(x 1)
12、x 32，且 f(x)的定义域为 ? ? 32， ，当 32 x 1 时，f( x) 0； 当 1 x 12时， f( x) 0； 当 x 12时， f( x) 0. f(x)在区间 ? ? 32， 1 ， ? ? 12， 上单调递增， 在 ? ? 1， 12 上单调递减 (2)f(x)的定义域 为 ( a， ) ， f( x) 2x2 2ax 1x a . 方程 2x2 2ax 1 0 的判别式 4a2 8， 若 0 ，即 2 a 2时， f( x)0 ，故 f(x)无极值 若 0，即 a 2或 a 2，则 2x2 2ax 1 0 有两个不同的实根， x1 a a2 22 ， x2 a a2 22 . 当 a 2时， x1 a， x2 a， 故 f (x) 0 在定义域上恒成立， 故 f(x)无极值 当 a 2时， a x1 x2，故 f(x)在 ( a， x1)上递增， (x1， x2)上递减， (x2， )上递增 故 f(x)在 x x1， x x2取得极值 综上， f(x)存在极值时， a 的取值范围为 ( 2， )
