1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (四十四 ) 简单几何体的表面积与体积 A 组 基础达标 一、选择题 1 (2017 北京高考 )某三棱锥的三视图如图 759 所示，则该三棱锥的体积为 ( ) 图 759 A 60 B 30 C 20 D 10 D 由三视图画出如图所示的三棱锥 PACD，过点 P 作 PB 平面 ACD 于点 B，连接 BA， BD，BC，根据三视图可知底面 ABCD 是矩形， AD 5， CD 3， PB 4，所以 V 三棱锥 PACD 13 12354 10. 故选 D. 2 (2016 全国卷 ) 如图 7510 是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，
2、则该几何体的表面积为 ( ) 图 7510 A 20 B 24 C 28 D 32 C 由三视图可知圆柱的底面直径为 4，母线长 (高 )为 4，所以圆柱的侧面积为=【 ;精品教育资源文库 】 = 224 16 ，底面积为 2 2 4 ；圆锥的底面直径为 4，高为 2 3，所以圆锥的母线长为 (2 3)2 22 4，所以圆锥的侧面积为 24 8. 所以该几何体的表面积为 S 16 4 8 28. 3 (2016 全国卷 ) 如图 7511，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( ) 图 7511 A 18 36 5 B 54 18 5 C 90
3、D 81 B 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为 (33 36 33 5)2 54 18 5.故选 B. 4某几何体的三视图如图 7512 所示，且该几何体的体积是 3，则主视图中的 x 的值是( ) 图 7512 A 2 B 92 C.32 D 3 D 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且 S 底 12(1 2)2 3， 所以 V 13x3 3， 解得 x 3. 5 (2018 石家庄质检 )某几何体的三视图如图 7513 所示，则该几何体的体积是 ( ) 【导学号： 79140241】 =【 ;精品教育资源文库
4、 】 = 图 7513 A 16 B 20 C 52 D 60 B 由三视图得该几何体的 直观图如图所示，其中四边形 ABCD 为邻边长分别为 2,4 的长方形，四边形 CDEF 为上底为 2、下底为 6、高为 3 的等腰梯形，所以该几何体可以看作是由两个底面为直角边长分别为 3,4的直角三角形，高为 2 的三棱锥和一个底面为直角边长分别为 3,4 的直角三角形，高为 2 的三棱柱组成，则该几何体的体积为 2 13 12342 12342 20，故选 B. 二、填空题 6一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该 六棱锥的侧面积为 _ 12 设正六棱锥的高为
5、 h，棱锥的斜高为 h. 由题意，得 136 122 3 h 2 3， h 1， 斜高 h 12 ( 3)2 2， S 侧 6 1222 12. 7 (2017 江苏高考 )如图 7514，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 V1V2的值是 _ 图 7514 =【 ;精品教育资源文库 】 = 32 设球 O 的半径为 R， 球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切， 圆柱 O1O2的高为 2R，底面半径为 R. V1V2 R22 R43 R3 32. 8 (2017 天津高考 )已知一个正方体的
6、所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 _ 92 设正方体的棱长为 a，则 6a2 18， a 3. 设球的半径为 R，则由题意知 2R a2 a2 a2 3， R 32. 故球的体积 V 43 R3 43 ? ?32 3 92. 三、解答题 9.如图 7515，在三棱锥 DABC 中，已知 BC AD， BC 2， AD 6， AB BD AC CD 10，求三棱锥 DABC 的体积的最大值 . 【导学号： 79140242】 图 7515 解 由题意知，线段 AB BD 与线段 AC CD 的长度是定值， 棱 AD 与棱 BC 相互垂直，设 d 为 AD 到 B
7、C 的距离， 则 VDABC AD BC d 12 13 2d， 当 d 最大时， VDABC体积最大 AB BD AC CD 10， 当 AB BD AC CD 5 时， =【 ;精品教育资源文库 】 = d 有最大值 42 1 15. 此时 V 2 15. 10.如图 7516，长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB 16， BC 10， AA1 8，点 E， F 分别在 A1B1，D1C1上， A1E D1F 4.过点 E， F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 图 7516 (1)在图中画出这个正方形 (不必说明画法和理由 )； (2)求平面 把该长方体分成的两部分体
8、积的比值 解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示 (2)如图，作 EM AB，垂足为 M，则 AM A1E 4， EB1 12， EM AA1 8. 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH EF BC 10. 于是 MH EH2 EM2 6， AH 10， HB 6. 故 S四边形 A1EHA 12(4 10)8 56， S四边形 EB1BH 12(12 6)8 72. 因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为 97? ?79也正确 . B 组 能力提升 11 (2018 东北三省四市模拟 (一 )点 A， B， C， D 在同一个球的球面上， AB B
9、C 1， ABC 120. 若四面体 ABCD 体积的最大值为 34 ，则这个球的表面积为 ( ) A.50081 B 4 C.259 D 1009 D 因为 AB BC 1， ABC 120 ，所以由正弦定理知 ABC 外接圆=【 ;精品教育资源文库 】 = 的半径 r 12 ABsin 30 1， S ABC 12AB BCsin 120 34 .设外接圆的圆心为 Q，则当DQ 与平面 ABC 垂直时，四面体 ABCD 的体积最大，所以 13S ABC DQ 34 ，所以 DQ 3.设球心为 O，半径为 R，则在 Rt AQO 中， OA2 AQ2 OQ2，即 R2 12 (3 R)2，解
10、得 R 53，所以球的表面积 S 4 R2 1009 ，故选 D. 12已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AH HB 12 ， AB 平面 ， H 为垂足， 截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为 _. 【导学号： 79140243】 92 如图，设球 O 的半径为 R，则由 AH HB 12 得 HA 132 R 23R， OH R3. 截面面积为 ( HM)2， HM 1. 在 Rt HMO 中， OM2 OH2 HM2， R2 19R2 HM2 19R2 1， R 3 24 ， S 球 4 R2 4 ? ?3 242 92 . 13四面体 ABCD 及其三视图如图
11、7517 所示，平行于棱 AD， BC 的平面分别交四面体的棱AB， BD， DC， CA 于点 E， F， G， H. 图 7517 (1)求四面体 ABCD 的体积； (2)证明：四边形 EFGH 是矩形 解 (1)由该四面体的三视图可知， BD DC， BD AD， AD DC， BD DC 2， AD 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = AD 平面 BDC， 四面体 ABCD 的体积 V 13 12221 23. (2)证明： BC 平面 EFGH，平面 EFGH 平面 BDC FG，平面 EFGH 平面 ABC EH， BC FG， BC EH， FG EH. 同理 EF AD， HG AD， EF HG， 四边形 EFGH 是平行四边形 又 AD 平面 BDC， AD BC， EF FG. 四边形 EFGH 是矩形
