1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (五十五 ) 曲线与方程 A 组 基础达标 一、选择题 1方程 x 1 4y2所表示的曲线是 ( ) A双曲线的一部分 B椭圆的一部分 C圆的一部分 D直线的一部分 B x 1 4y2两边平方，可变为 x2 4y2 1(x0) ，表示的曲线为椭圆的一部分 2 (2017 银川模拟 )已知点 P 是直线 2x y 3 0 上的一个动点，定点 M( 1,2)， Q 是线段 PM 延长线上的一点，且 |PM| |MQ|，则 Q 点的轨迹方程是 ( ) A 2x y 1 0 B 2x y 5 0 C 2x y 1 0 D 2x y 5 0 D 由题意知，
2、 M 为 PQ 中点，设 Q(x， y)，则 P 为 ( 2 x,4 y)，代入 2x y 3 0，得 2x y 5 0. 3已知动圆 Q 过定点 A(2,0)且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4，则动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程为 ( ) A y2 2x B y2 4x C x2 2y D x2 4y B 设 Q(x， y)，因为动圆 Q 过定点 A(2,0)且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4， 所以 ? ?MN22 |x|2 |AQ|2， 所以 |x|2 22 (x 2)2 y2，整理得 y2 4x， 所以动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程是 y2 4x，故选 B. 4设圆 (x 1
3、)2 y2 25 的圆心为 C， A(1,0)是圆内一定点， Q 为圆周上任一点线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 ( ) 【导学号： 79140301】 A.4x2214y225 1 B.4x2214y225 1 C.4x2254y221 1 D.4x2254y221 1 D 因为 M 为 AQ 垂直平分线上一点， 则 |AM| |MQ|， 所以 |MC| |MA| |MC| |MQ| |CQ| 5，故 M 的轨迹为以点 C， A 为焦点的椭圆，所以a 52， c 1，则 b2 a2 c2 214 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以椭圆的方程为
4、4x2254y221 1. 5设过点 P(x， y)的直线分别 与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A， B 两点，点 Q 与点 P关于 y 轴对称， O 为坐标原点若 BP 2PA ，且 OQ AB 1，则点 P 的轨迹方程是 ( ) A 32x2 3y2 1(x 0， y 0) B 32x2 3y2 1(x 0， y 0) C 3x2 32y2 1(x 0， y 0) D 3x2 32y2 1(x 0， y 0) A 设 A(a,0)， B(0， b)， a 0， b 0. 由 BP 2PA ， 得 (x， y b) 2(a x， y)， 即 a 32x 0， b 3y 0. 即 A
5、B ? ? 32x， 3y ， 点 Q( x， y)，故由 OQ AB 1， 得 ( x， y) ? ? 32x， 3y 1， 即 32x2 3y2 1.故所求的轨迹方程为 32x2 3y2 1(x 0， y 0) 二、填空题 6平面上有三个点 A( 2， y)， B? ?0， y2 ， C(x， y)，若 AB BC ，则动点 C 的轨迹方程是_ y2 8x AB ? ?0， y2 ( 2， y) ? ?2， y2 ， BC (x， y) ? ?0， y2 ? ?x， y2 . AB BC ， AB BC 0， ? ?2， y2 ? ?x， y2 0，即 y2 8x. 动点 C 的轨迹方程为
6、 y2 8x. 7 ABC 的顶点 A( 5,0)， B(5,0)， ABC 的内切圆圆心在直线 x 3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = x29y216 1(x 3) 如图， |AD| |AE| 8， |BF| |BE| 2， |CD| |CF|， 所以 |CA| |CB| 8 2 6. 根据双曲线的定义，所求轨迹是以 A， B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 x29 y216 1(x 3) 8在 ABC 中， A 为动点， B， C 为定点， B? ? a2， 0 ， C? ?a2， 0 (a 0)，且满足条件 sin Csin B 12si
7、n A，则动点 A 的轨迹方程是 _. 【导学号： 79140302】 16x2a2 16y23a2 1(x 0 且 y0) 由正弦定理得|AB|2R |AC|2R 12|BC|2R ，即 |AB| |AC|12|BC|，故动点 A 的轨迹是以 B， C 为焦点， a2为实轴长的双曲线右支 (除去顶点 ) 即动点 A 的轨迹方程为 16x2a2 16y23a2 1(x 0 且 y0) 三、解答题 9已知长为 1 2的线段 AB 的两个端点 A， B 分别在 x 轴， y 轴上滑动， P 是 AB 上一点，且 AP 22 PB ，求点 P 的轨迹方程 解 设 A(x0,0)， B(0， y0)，
8、 P(x， y)， 由已知知 AP 22 PB ， 又 AP (x x0， y)， PB ( x， y0 y)， 所以 x x0 22 x， y 22 (y0 y)， 得 x0 ? ?1 22 x， y0 (1 2)y. 因为 |AB| 1 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 x20 y20 (1 2)2， 所以 ? ? ?1 22 x2 (1 2)y2 (1 2)2，化简得 x22 y2 1. 即点 P 的轨迹方程 为 x22 y2 1. 10如图 882，已知 P 是椭圆 x24 y2 1 上一点， PM x 轴于 M.若 PN NM . 图 882 (1)求 N 点的轨迹方程；
9、(2)当 N 点的轨迹为圆时，求 的值 解 (1)设点 P，点 N 的坐标分别为 P(x1， y1)， N(x， y)，则 M 的坐标为 (x1,0)，且 x x1， PN (x x1， y y1) (0， y y1)， NM (x1 x， y) (0， y)， 由 PN NM 得 (0， y y1) (0， y) y y1 y ，即 y1 (1 )y. P(x1， y1)在椭圆 x24 y2 1 上， 则 x214 y21 1， x24 (1 )2y2 1， 故 x24 (1 )2y2 1 即 为所求的 N 点的轨迹方程 (2)要使点 N 的轨迹为圆，则 (1 )2 14， 解得 12或 3
10、2. 当 12或 32时， N 点的轨迹是圆 B 组 能力提升 11 (2017 湖南东部六校联考 )已知两定点 A(0， 2)， B(0,2)，点 P 在椭圆 x212y216 1 上，=【 ;精品教育资源文库 】 = 且满足 |AP | |BP | 2，则 AP BP 为 ( ) A 12 B 12 C 9 D 9 D 由 |AP | |BP | 2，可得点 P(x， y)的轨迹是以两定点 A， B 为焦点的双曲线的上支，且 2a 2， c 2， b 3. 点 P 的轨迹方程为 y2 x23 1(y1) 由? x212 y216 1，y2 x23 1，解得? x2 9，y2 4， AP B
11、P (x， y 2)( x， y 2) x2 y2 4 9 4 4 9. 12在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A(1,0)， B(2,2)，若点 C 满足 OC OA t(OB OA )，其中 t R，则点 C 的轨迹方程是 _. 【导学号： 79140303】 y 2x 2 设 C(x， y)，则 OC (x， y)， OA t(OB OA ) (1 t,2t)，所以? x t 1，y 2t，消去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y 2x 2. 13 (2016 全国卷 选编 )设圆 x2 y2 2x 15 0 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x轴不重合， l 交圆
12、A 于 C， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明 |EA| |EB|为定值； (2)求点 E 的轨迹方程，并求它的离心率 解 (1)证明：因为 |AD| |AC|， EB AC， 所以 EBD ACD ADC，所以 |EB| |ED|， 故 |EA| |EB| |EA| |ED| |AD|. 又圆 A 的标准方程为 (x 1)2 y2 16，从 而 |AD| 4， 所以 |EA| |EB| 4. (2)由圆 A 方程 (x 1)2 y2 16，知 A( 1,0) 又 B(1,0) 因此 |AB| 2，则 |EA| |EB| 4|AB|. 由椭圆定义，知点 E 的轨迹是以 A， B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 (不含与 x 轴的交点 )， 所以 a 2， c 1，则 b2 a2 c2 3. 所以点 E 的轨迹方程为 x24y23 1(y0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 故曲线方程的离心率 e ca 12.
