1、2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1已知（其中为虚数单位），则2双曲线的实轴长为 3函数的周期为 4已知，行列式的值与行列式的值相等，则5已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 6已知，则的最小值为 7二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则8若函数为奇函数，则实数 9为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 10已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，1，2，中不同的数值有 个11. 已知，且，则 12设函数满足，定义域为，
2、值域为，若集合，可取得中所有值，则参数的取值范围为 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13若集合，则A，0，B，0，C，D14若实数、满足，下列不等式中恒成立的是ABCD15如图正方体中，、分别为棱、的中点，联结，空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为A点B点C点D点16设集合，存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；存在直线，使得集合中存在无数点在上；A成立成立B成立不成立C不成立成立D不成立不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17（14分）如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，
3、（1）求三棱锥体积；（2）若为中点，求与面所成角大小18（14分）（1）若将函数图像向下移后，图像经过，求实数，的值（2）若且，求解不等式19（14分）在如图所示的五边形中，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，关于对称；（1）若点与点重合，求的大小；（2）在何位置，求五边形面积的最大值20（16分）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，（1），中点在轴上，求点的坐标；（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值21（18分）数列对任意且，均存在正整数，满足，（1）求可能值；（2）命题：若，成等差数列，
4、则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；（3）若，成立，求数列的通项公式2022年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1已知（其中为虚数单位），则【思路分析】直接利用共轭复数的概念得答案【解析】，则，所以故答案为：【试题评价】本题考查了共轭复数的概念，是基础题2双曲线的实轴长为 6【思路分析】根据双曲线的性质可得，实轴长为【解析】由双曲线，可知：，所以双曲线的实轴长故答案为：6【试题评价】本题考查双曲线的性质，是基础题3函数的周期为 【思路分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得，从而根据周期公式
5、即可求值【解析】，故答案为：【试题评价】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题4已知，行列式的值与行列式的值相等，则3【思路分析】根据行列式所表示的值求解即可【解析】因为，所以，解得故答案为：3【试题评价】本题考查了行列式表示的值，属于基础题5已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 【思路分析】由底面积为解出底面半径，再代入侧面积公式求解即可【解析】因为圆柱的底面积为，即，所以，所以故答案为：【试题评价】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题6已知，则的最小值为 【思路分析】根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可【解析】如图所示：
6、由，可知行域为直线的左上方和的右上方的公共部分，联立，可得，即图中点，当目标函数沿着与正方向向量的相反向量平移时，离开区间时取最小值，即目标函数过点，时，取最小值：故答案为：【试题评价】本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置，属于中档题7二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则10【思路分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得的值【解析】二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，即，即，故答案为：10【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题8若函数为奇函数，则实数 【思路分析】由题意，利用奇函数的定义可得，故有（1），由此求得的
7、值【解析】函数，为奇函数，（1），即，求得或当时，不是奇函数，故；当时，是奇函数，故满足条件，综上，故答案为：1【试题评价】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题9为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 【思路分析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，而所有的抽取方法共有种，故每一类都被抽到的概率为，故答案为：【试题评价】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题10已知等差数列的公
8、差不为零，为其前项和，若，则，1，2，中不同的数值有 98个【思路分析】由等差数前项和公式求出，从而，由此能求出结果【解析】等差数列的公差不为零，为其前项和，解得，1，中，其余各项均不相等，1，中不同的数值有：故答案为：98【试题评价】本题考查等差数列的前项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11. 已知，且，则 【思路分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果【解析】由题意，有，则，设，则得，由同角三角函数的基本关系得：，则，则故答案为：【试题评价】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题12设函数满足，定义域为，值域为，若集合，可取得中所有值，则参数
9、的取值范围为 ，【思路分析】由可得，可判断当时，；当时，；从而可得，时，参数的最小值为，从而求得【解析】令得，或（舍去）；当时，故对任意，都存在，故，故，而当时，故当，时，参数的最小值为，故参数的取值范围为，故答案为：，【试题评价】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13若集合，则A，0，B，0，C，D【思路分析】根据集合的运算性质计算即可【解析】，0，故选：【试题评价】本题考查了集合的交集的运算，是基础题14若实数、满足，下列不等式中恒成立的是ABCD【思路分析】利用已知条件以及基本不等式化
10、简即可判断求解【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，又，所以，故正确，错误，当且仅当，即时取等号，故错误，故选：【试题评价】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题15如图正方体中，、分别为棱、的中点，联结，空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为A点B点C点D点【思路分析】线段上不存在点在线段、上，即直线与线段、不相交，因此所求与可视的点，即求哪条线段不与线段、相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断【解析】线段上不存在点在线段、上，即直线与线段、不相交，因此所求与可视的点，即求哪条线段不与线段、相交，对选项，如图，连接、
11、，因为、分别为、的中点，易证，故、四点共面，与相交，错误；对、选项，如图，连接、，易证、四点共面，故、都与相交，、错误；对选项，连接，由选项分析知、四点共面记为平面，平面，平面，且平面，点，与为异面直线，同理由，选项的分析知、四点共面记为平面，平面，平面，且平面，点，与为异面直线，故与，都没有公共点，选项正确故选：【试题评价】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题16设集合，存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；存在直线，使得集合中存在无数点在上；A成立成立B成立不成立C不成立成立D不成立不成立【思路分析】分，求出动点的轨迹，即可判定【解析】、的增大幅度均大于
12、，只要k大到一定程度，就会存在l使得成立；圆心在抛物线上，且、的增大幅度均大于，Q中的圆会夹在两条抛物线之间，不存在直线l满足，故选：【试题评价】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17（14分）如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，（1）求三棱锥体积；（2）若为中点，求与面所成角大小【思路分析】（1）直接利用体积公式求解；（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可求解【解析】（1）在三棱锥中，因为底面，所以，又为边中点，所以为等腰三角形，又所以是边长为2的为等边三角形，三棱锥体积，（2）以
13、为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，1，平面的法向量，0，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为，所以与面所成角大小为【试题评价】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18（14分）（1）若将函数图像向下移后，图像经过，求实数，的值（2）若且，求解不等式【思路分析】（1）写出函数图像下移个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出和的值（2）不等式化为，写出等价不等式组，求出解集即可【解析】（1）因为函数，将函数图像向下移后，得的图像，由函数图像经过点和，所以，解得，（2）且时，不等
14、式可化为，等价于，解得，当时，解不等式得，当时，解不等式得；综上知，时，不等式的解集是，时，不等式的解集是，【试题评价】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题19（14分）如图，为中点，曲线上所有的点到的距离相等，为曲线上的一动点，点Q与点P关于OM对称. （1）若P在点的位置，求的大小；（2）求五边形面积的最大值. 【思路分析】（1）在中，直接利用余弦定理求出，再结合正弦定理求解；（2）利用五边形的对称性，将所求的面积化为四边形的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题【解析】（1）P在点的位置，；（2）连接，曲线上所有的点到
15、的距离相等，点Q与点P关于OM对称，设【试题评价】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题20（16分）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，（1），中点在轴上，求点的坐标；（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值【思路分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标；（2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可；（3）设，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函
16、数的有界性求得即可确定的最小值【解析】（1）由题意可得，的中点在轴上，的纵坐标为，代入得（2）由直线方程可知，若，则，即，若，则，即，综上或（3）设，由点到直线距离公式可得，很明显椭圆在直线的左下方，则，即，据此可得，整理可得，即，从而即的最小值为【试题评价】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题21（18分）数列对任意且，均存在正整数，满足，（1）求可能值；（2）命题：若，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；（3）若，成立，求数列的通项公式【思路分析】（1）利用递推关系式可得，然后计算的值即可；（2）由题意可得，则，从而命题为真命题，给出反例可得命题为假命题（3）由题意可得，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式【解析】（1），或（2），为等差数列，逆命题：若，则，为等差数列是假命题，举例：，（3）因为，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：当，明显成立，假设时命题成立，即，则，则，命题得证回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1若，则矛盾，2若，则，此时，3若，则，（由（2）知对任意成立），事实上：矛盾综上可得【试题评价】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题第15页（共15页）
