1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 函数及其表示 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念 .2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图像法、列表法、解析法 )表示函数 .3.了解简单的分段函数，并能简单应用 (函数分段不超过三段 ) (对应学生用书第 8 页 ) 基础知识填充 1函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A， B 设 A， B 是两个 非空的数集 设 A， B 是两个 非空的集合 对应关系 f：A B 如果按照某个对应关系 f，对于集合 A 中的 任何 一个数 x，在集合 B中都存在 唯一确定 的数 f
2、(x)和它对应 集合 A与 B存在着对应关系 f，对于集合 A 中的 每 一个元素x，集合 B 中总有 唯一 的元素y 与之对应 名称 把对应关系 f 叫作定义在集合 A 上的函数 称 这种对应 为从集合 A 到集合 B 的映射 记法 函数 y f(x)， x A 映射： f： A B 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 数集 A 叫作函数的 定义域 ；函数值的集合 f(x)|x A叫作函数的值域 (2)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 和 值域 (3)相等函数：如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函数为相等函数 (4)函数的表示法： 表示函数的常用
3、方法有 解析法 、 图像法 和 列表法 3分段函数 若函数在其定义域内，对于 定义域 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的 并集 ，值域是各段值域的并集 知识拓展 1函数与映射的本质是两个集合间的 “ 多对一 ” 和 “ 一对一 ” 关系 2分段函数是高考必考内容，常考查 (1)求最值； (2)求分段函数单调性； (3)分段函数=【 ;精品教育资源文库 】 = 解析式； (4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论 基本能 力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的
4、打 “”) (1)函数是特殊的映射 ( ) (2)函数 y 1 与 y x0是同一个函数 ( ) (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点 ( ) (4)分段函数是两个或多个函数 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )函数 y 2x 3 1x 3的定义域为 ( ) A.? ?32， B ( ， 3)(3 ， ) C.? ?32， 3 (3 ， ) D (3， ) C 由题意知? 2x 30 ，x 30 ， 解得 x 32且 x3. 3如图 211 所示，所给图像是函数图像的有 ( ) 图 211 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 B (1
5、)中，当 x 0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此 (1)不 是函数图像；(2)中，当 x x0时， y 的值有两个，因此 (2)不是函数图像； (3)(4)中，每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此 (3)(4)是函数图像，故选 B. 4设函数 f(x)? x2 1， x1 ，2x， x 1，则 f(f(3) _. 139 f(3)23， f(f(3) ?232 1 139. 5 (2015 全国卷 ) 已知函数 f(x) ax3 2x 的图像过点 ( 1,4)，则 a _. 2 f(x) ax3 2x 的图像过点 ( 1,4)， 4 a( 1)3 2( 1)，解得 a 2
6、. =【 ;精品教育资源文库 】 = (对应学生用书第 9 页 ) 求函数的定义域 (1)(2018 济南一模 )函数 f(x) 2x 12 3x 1的定义域为 _ (2)若函数 y f(x)的定义域为 0,2，则 函数 g(x) f xx 1 的定义域是 _ (1)( 1， ) (2)0,1) (1)由题意得 ? 2x 120 ， x 10 ， 解得 x 1，所以函数 f(x)的定义域为 ( 1， ) (2)由 02 x2 ，得 0 x1 ，又 x 10 ，即 x1 ，所以 0 x 1，即 g(x)的定义域为 0,1) 规律方法 函数定义域问题的类型及求解策略 已知函数解析式，构造使解析式有
7、意义的不等式 组 求解 . 实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 组 求解 . 抽象函数： 若已知函数 f x 的定义域为 a， b，其复合函数 f g x 的定义域由不等式a g x b 求出； 若已知函数 f g x 的定义域为 a， b，则 f x 的定义域为 g x 在 x a， b时的值域 . 已知 f x 定义域为 m， n，求 fh x 定义域，先求 x 值域 a， b，令a h x b，解出 x 即可 . 跟踪训练 (1)函数 f(x) 3x21 x lg(3x 1)的定义域是 ( ) A.? ? 13， 1 B.? ? 13， C.? ? 13， 13 D.? ?
8、 ， 13 (2)已知函数 f(2x)的定义域为 1,1，则 f(x)的定义域为 _. 【导学号： 79140019】 (1)A (2)? ?12， 2 (1)由题意可知 1 x 0， x 1 0， 解得=【 ;精品教育资源文库 】 = ? x 1， x 13， 13 x 1，故选 A. (2) f(2x)的定义域为 1,1， 122 x2 ，即 f(x)的定义域为 ? ?12， 2 . 求函数的解析式 (1)已知 f? ?x 1x x2 1x2，求 f(x)的解析式； (2)已知 f? ?2x 1 lg x，求 f(x)的解析式； (3)已知 f(x)是二次函数且 f(0) 2， f(x 1
9、) f(x) x 1，求 f(x)的解析式； (4)已知 f(x) 2f? ?1x x(x0) ，求 f(x)的解析式 解 (1)由于 f? ?x 1x x2 1x2 ? ?x 1x 2 2，令 t x 1x，当 x 0 时， t2 x 1x 2，当且仅当 x 1 时取等号； 当 x 0 时， t ? ? x 1x 2，当且仅当 x 1 时取等号， f(t) t2 2t( ， 22 ， ) 综上所述 f(x)的解析式是 f(x) x2 2， x( ， 22 ， ) (2)令 2x 1 t，由于 x 0， t 1 且 x 2t 1， f(t) lg 2t 1，即 f(x) lg 2x 1(x 1
10、) (3)设 f(x) ax2 bx c(a0) ，由 f(0) 2，得 c 2， f(x 1) f(x) a(x 1)2 b(x 1) ax2 bx x 1，即 2ax a b x 1， 2a 1， a b 1， 即 ? a 12， b 32， f(x) 12x2 32x 2. (4) f(x) 2f? ?1x x， f? ?1x 2f(x) 1x. 联立方程组 ? f x 2f? ?1x x， f? ?1x 2f x 1x， 解得 f(x) 23x x3(x0) 规律方法 求函数解析式的常用方法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法 . 换元法：已
11、知复合函数 f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 . 构造法：已知关于 f x 与 f? ?1x 或 f x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出 f x 跟踪训练 (1)已知 f( x 1) x 2 x，求 f(x)的解析式； (2)设 y f(x)是二次函数， 方程 f(x) 0 有两个相等实根，且 f( x) 2x 2，求f(x)的解析式 解 (1)法一： (换元法 )设 x 1 t(t1) ，则 x t 1，所以 f(t) (t 1)2 2(t 1) t2 1(t1) ，所以 f(x) x2 1(x1) 法二： (配凑法 )f( x 1)
12、 x 2 x ( x 1)2 1， 又 x 11 ，所以 f(x) x2 1(x1) (2)设 f(x) ax2 bx c(a0) ， 则 f( x) 2ax b 2x 2， 所以 a 1， b 2， f(x) x2 2x c. 又因为方程 f(x) 0 有两个相等的实根， 所以 4 4c 0， c 1， 故 f(x) x2 2x 1. 分段函数及其应用 角度 1 求分段函数的函数值 (2015 全国卷 ) 设函数 f(x) 1 log2 x ， x1， f(log212) 2log212 1 122 6. f( 2) f(log212) 3 6 9.故选 C. 角度 2 已知分段函数的函数值
13、求参数 (2017 成都二诊 )已知函数 f(x) log2x， x1 ， x2 m2， x 1， 若 f(f(=【 ;精品教育资源文库 】 = 1) 2，则实数 m 的值为 ( ) A 1 B 1 或 1 C. 3 D. 3或 3 D f(f( 1) f(1 m2) log2(1 m2) 2， m2 3，解得 m 3，故选 D. 角度 3 解与分段函数有关的方程或不等式 (2017 全国卷 ) 设函数 f(x) x 1， x0 ， x， x 0， 则满足 f(x)f? ?x 12 1 的 x 的取值范围是 _ ? 14， 当 x0 时，原不等式为 x 1 x121，解得 x14， 141，显
14、然成立 当 x12时，原不等式为 2x 2x 121，显然成立 综上可知， x 的取值范围是 ? ? 14， . 规律方法 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现 f f a 的形式时，应从内到外依次求值 已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围 易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论 . 跟踪训练 (1)(2017 山东高考 )设 f(x) x， 0x1， x ， x1. 若 f(a) f(a 1)，则 f? ?1a ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 (2)(2018 北京西城区二模 )函数 f(x) 2x， x0 ， 2x， x 0， 则 f? ?14 _；方程 f( x) 12的解是 _ (3)已知函数 f(x) x2 2ax， x2 ， x 1， x 2， 若 f(f(1) 3a2，则 a 的取值范围是 _. 【导学号： 79140020】 (1)C (2) 2 2或 1 (3)( 1,3) (1)若 0a1，由 f(a) f(a 1)得 a 2(a=【 ;精品教育资源文库 】 = 1 1)， a 14，
