1、 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1. 掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积。（重点）2. 能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直。（重点）1.数学运算;2.逻辑推理【自主学习】一两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a(x1，y1)，b(x2，y2)数量积两个向量的数量积等于它们 ，即ab 向量垂直ab 注意：公式ab|a|b|cosa，b与abx1x2y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导二与向量的模、夹角相关的三个重要公式1.向量的模：设a(
2、x，y)，则|a| .2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| .3.向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos .注意：由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.【小试牛刀】思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和( )(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.( )(3)若两个非零向量的夹角满足cos 0，则a，b的夹角为锐角( )(5)若ab|a|b|，则a，b共线( )【经典例题】题型一 数量积的坐标运算点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运
3、算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算 例1 已知向量a(1,3)，b(2,5)，求ab，(ab)(2ab)【跟踪训练】1已知向量a(1，1)，b(2，x)若ab1，则x( )A1 BC. D1题型二 平面向量的模点拨：求向量的模的两种方法：1.字母表示下的运算，利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算，若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a| . 例2 已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|等于()A4 B2C8 D8【跟踪训练】2 已知点A(0，1)，B(1，2)，向量(4，1)，则|
4、_题型三 平面向量的夹角和垂直问题点拨：解决向量夹角问题的方法1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积ab以及|a|，|b|，再由cos ，求出cos ，也可由cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.2.由于0，所以利用cos 来判断角时，要注意cos 0也有两种情况：一是为锐角，二是0.例3 已知a(4，3)，b(1，2)(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值【跟踪训练】3已知向量a(2，1)，b(，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数的取值范围【当堂达标】1.向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a(C)A1 B
5、0 C1D22.已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|()A B C5 D253.已知向量a(1，)，b(3，m)若向量a，b的夹角为，则实数m()A2B. C0 D4.已知A(2，1)，B(6，3)，C(0，5)，则ABC的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形5.已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.6.已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(ac)b.【课堂小结】3个公式1.数量积：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.2.模长：若a(x，y)，则a
6、aa2|a|2x2y2，于是有|a|.3.夹角：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，可由cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.【参考答案】【自主学习】对应坐标的乘积之和 x1x2y1y2 x1x2y1y20 x1-x22+y1-y22【小试牛刀】(1) (2) (3) (4) (5) 【经典例题】例1 解ab123517.ab(3,8)，2a(2,6)，2ab(2,6)(2,5)(0,1)，(ab)(2ab)30818.【跟踪训练】1 D 解析：(1)ab2x1，解得x1.故选D.例2 D 解析：易得ab2(1)426，所以c(2,4)
7、6(1,2)(8，8)，所以|c|82+-828.【跟踪训练】2 解析：设C(x，y)，因为点A(0，1)，向量(4，1)，所以(x，y1)(4，1)，所以解得x4，y0，所以C(4，0)，所以(3，2)，|.例3解 (1)因为ab4(1)322，|a|5，|b|，设a与b的夹角为，所以cos .(2)因为ab(4，32)，2ab(7，8)，又(ab)(2ab)，所以7(4)8(32)0，所以.【跟踪训练】3 解a与b的夹角为钝角，ab0，即(2，1)(，1)21.又当a与b反向时，夹角为180，即ab|a|b|，则21，解得2.由于a与b的夹角为钝角，故应排除a与b反向共线的情况，即排除2，
8、则实数的取值范围为(2，)【当堂达标】1.C解析：a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.2.C 解析：|ab|5，|ab|2a22abb25210b2(5)2，|b|5，故选C3.B 解析：因为a(1，)，b(3，m)所以|a|2，|b|，ab3m，又a，b的夹角为，所以cos ，即，所以m，解得m.4.A 解析：选A.由题设知(8，4)，(2，4)，(6，8)，所以28(4)40，即.所以BAC90，故ABC是直角三角形5. 7 解析：因为ab(m1,3)，ab与a垂直，所以(m1)(1)320，解得m7.6.解 (1)a与b同向，且b(1,2)，ab(，2)(0)又ab10，410，2，a(2,4)(2)ac22(1)40，(ac)b0b0.
