1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六节 对数与对数函数 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用 .2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为 2,10， 12的对数函数的图像 .3.体会对数函数是一类重要的函数模型 .4.了解指数函数 y ax(a 0，且 a1) 与对数函数 y logax(a 0，且 a1) 互为反函数 (对应学生用书第 22 页 ) 基础知识填充 1对数的概念 如果 a(a 0， a1) 的 b 次幂等于 N，即 ab N，那么数 b 叫作以
2、 a 为底 N 的对数，记作logaN b，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a 0 且 a1 ， M 0， N 0，那么 log a(MN) logaM logaN； log aMN logaM logaN； log aMn nlogaM(n R)； log amMn nmlogaM(m， n R 且 m0) (2)对数的性质 alogaN N； log aaN N(a 0，且 a1) (3)对数的重要公式 换底公式： logbN logaNlogab(a， b 0， a， b1 ， N 0)； log ab 1logba，推广 l
3、ogablog bclog cd logad. 3对数函数的定义、图像与性质 定义 函数 y logax(a 0 且 a1) 叫作对数函数 图像 a 1 0 a 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 性质 定义域： (0， ) 值域： R 当 x 1 时， y 0，即过定点 (1,0) 当 0 x 1 时， y 0；当 x1 时， y 0 当 0 x 1 时， y 0；当 x 1 时，y 0 在 (0， ) 上为 增函数 在 (0， ) 上为 减函数 4.反函数 指数函数 y ax(a 0 且 a1) 与对数函数 y logax(a 0 且 a1) 互为反函数，它们的图像关于直线 y x 对称
4、 知识拓展 对数函数的图像与底数大小的比较 多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线 y 1 交点的横坐标进行判定 如图 261，作直线 y 1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数故 0 c d 1 a b. 图 261 基本能力 自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)函数 y log2(x 1)是对数函数 ( ) (2)log2x2 2log2x.( ) (3)当 x 1 时， logax 0.( ) (4)函数 y ln1 x1 x与 y ln(1 x) ln(1 x)的定义域相同 ( ) (5)对数函数 y l
5、ogax(a 0 且 a1) 的图像过定点 (1,0)，且过点 (a,1)， ? ?1a， 1 ，函 数图像不在第二、三象限 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 (log29)(log 34) ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 14 B 12 C 2 D 4 D 原式 lg 9lg 2 lg 4lg 3 2lg 3lg 2 2lg 2lg 3 4. 3已知 a 213， b log213， c log1213，则 ( ) A a b c B a c b C c b a D c a b D 0 a 213 20 1， b log213 log21 0， c lo
6、g1213 log1212 1， c a b. 4 (教材改编 )若 loga34 1(a 0，且 a1) ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ? ?0， 34 B (1， ) C ? ?0， 34 (1 ， ) D ? ?34， 1 C 当 0 a 1 时， loga34 logaa 1， 0 a 34； 当 a 1 时 ， loga34 logaa 1， a 1. 即实数 a 的取值范围是 ? ?0， 34 (1 ， ) 5函数 y loga(x 1) 2(a 0， a1) 的图像恒过的定点是 _ (2,2) 当 x 2 时，函数 y loga(x 1) 2(a 0， a1) 的值为
7、2，所以图像恒过定点(2,2) (对应学生用书第 23 页 ) 对数的运算 (1)设 2a 5b m，且 1a 1b 2，则 m 等于 ( ) A 10 B 10 C 20 D 100 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)计算： ? ?lg 14 lg 25 100 12 _. 【导学号： 79140049】 (1)A (2) 20 (1)2 a 5b m， a log2m， b log5m， 1a 1b 1log2m 1log5m logm2 logm5 logm10 2， m 10. (2)原式 (lg 2 2 lg 52)10012 ? ?lg 1225 2 10 (lg 10 2)
8、10 210 20. 规律方法 对数运算的一般思路 拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质 化简合并 . 合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 . 转化： ab N?b logaN a 0，且 a 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化 . 跟踪训练 (1)(2018 云南二检 )已知函数 f(x) lg( 1 4x2 2x) 1，则 f(3) f(3) ( ) A 1 B 0 C 1 D 2 (2)计算： (log32 log92)(log 43
9、 log83) _. (1)D (2)54 (1)f(3) f( 3) lg( 37 6) lg( 37 6) 2 lg( 37 6)( 37 6) 2 lg 1 2 2，故选 D (2)原式 ? ?lg 2lg 3 lg 2lg 9 ? ?lg 3lg 4 lg 3lg 8 ? ?lg 2lg 3 lg 22lg 3 ? ?lg 32lg 2 lg 33lg 2 3lg 22lg 3 5lg 36lg 2 54. 对数函数的图像及应用 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)(2017 广东韵关南雄模拟 )函数 f(x) xa满足 f(2) 4，那么函数 g(x) |loga(x 1)|的图
10、像大致为 ( ) (2)(2017 衡水调研 )已知函数 f(x)? log2x， x 0，3x， x0 ， 且关于 x 的方程 f(x) x a 0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是 _. 【导学号： 79140050】 (1)C (2)(1， ) (1)法一： f(2) 4， 2 a 4，解得 a 2， g(x) |log2(x 1)|? log2(x 1)， x0 ， log2(x 1)， 1 x 0， 当 x0 时，函数 g(x)单调递增，且 g(0) 0；当 1 x 0 时，函数 g(x)单调递减故选 C 法二：由 f(2) 4，即 2a 4 得 a 2， g(x) |lo
11、g2(x 1)|，函数 g(x)是由函数 y |log2x|向左平移一个单位得到的，只有C 项符合，故选 C (2)如图，在同一坐标系中分别作出 y f(x)与 y x a 的图像，其中 a 表示直线在 y 轴上截距，由图可知，当 a 1 时，直线 y x a 与 y log2x 只有一个交点 规律方法 利用对 数函数的图像可求解的两类问题 对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性 单调区间、值域 最值 、零点时，常利用数形结合思想求解 . 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解 . 跟踪训练 已知函数 y loga(x c)(a， c
12、 为常数，其中 a 0， a1) 的图像如图 262，则下列结论成立的是 ( ) 图 262 =【 ;精品教育资源文库 】 = A a 1， c 1 B a 1,0 c 1 C 0 a 1， c 1 D 0 a 1,0 c 1 D 由该函数的图像通 过第一、二、四象限知该函数为减函数， 0 a 1， 图像与 x轴的交点在区间 (0,1)之间， 该函数的图像是由函数 y logax 的图像向左平移不到 1个单位后得到的， 0 c 1. 对数函数的性质及应用 角度 1 比较对数值的大小 (2016 全国卷 ) 若 a b 0,0 c 1，则 ( ) A logac logbc B logca lo
13、gcb C ac bc D ca cb B 0 c 1， 当 a b 1 时， logac logbc， A 项错误； 0 c 1， y logcx 在 (0， ) 上 单调递减，又 a b 0， log ca logcb， B 项正确； 0 c 1， 函数 y xc在 (0， ) 上单调递增， 又 a b 0， ac bc， C 项错误； 0 c 1， y cx在 (0， ) 上单调递减， 又 a b 0， ca cb， D 项错误 角度 2 解简单的对数不等式 若 f(x) lg x， g(x) f(|x|)，当 g(lg x) g(1)时，则 x 的取值范围是 _ ?0， 110 (10
14、 ， ) 当 g(lg x) g(1)时， f(|lg x|) f(1)，由 f(x)为增函数得|lg x| 1，从而 lg x 1 或 lg x 1，解得 0 x 110或 x 10. 角度 3 探究对数型函数的性质 已知函数 f(x) log4(ax2 2x 3) (1)若 f(1) 1，求 f(x)的单调区间； (2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 解 (1) f(1) 1， log 4(a 5) 1，因此 a 5 4， a 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 这时 f(x) log4( x2 2x 3) 由 x2 2x 3
15、0，得 1 x 3， 函数 f(x)的定义域为 ( 1,3) 令 g(x) x2 2x 3， 则 g(x)在 ( 1,1)上单调递增，在 (1,3)上单调递减 又 y log4x 在 (0， ) 上单调递增， f(x)的单调递增区间是 ( 1,1)，单调递减区间是 (1,3) (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0， 则 h(x) ax2 2x 3 应有最小值 1， 因此应有? a 0，3a 1a 1，解得 a 12. 故存在实数 a 12使 f(x)的最小值为 0. 规律方法 对数值大小比较的主要方法 化同底数后利用函数的单调性 . 化同真数后利用图像比较 . 借用中间量 或 1 等 进行估值比较 . 易错警示：利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与 1 的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的 .另外，注意对数性质
