1、 6.4.1平面几何中的向量方法导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示【自主学习】知识点1 向量方法在几何中的应用对于平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)bax1y2x2y10.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，abab0x1x2y1y20.(3)求夹
2、角问题，往往利用向量的夹角公式cos .(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|或.知识点2 平面几何中的向量方法(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系知识点3 直线的方向向量和法向量(1)直线ykxb的方向向量为(1，k)，法向量为(k，1)(2)直线AxByC0的方向向量为(B，A)，法向量为(A，B) 【合作探究】探究一 利用向量证明平行或垂直问题【例1】如图所示，若四边形ABCD为平行四边形，EF
3、AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.求证：MNAD.分析本题是求判定直线平行的问题，它可以转化为证明向量共线来解决证明EFAB，NEFNAB，设(1)，则，(1)，同理，由，可得(1)，(1)，1，令1，即ADMN.归纳总结：【练习1】如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：ACBD.证明：，()()|2|20.，ACBD.探究二 利用向量解决长度和夹角问题【例2】如图，在ABC中，BAC120，ABAC3，点D在线段BC上，且BDDC.求：(1)AD的长；(2)DAC的大小分析本题是求线段长度和夹角的问题，它可以转化为求向量的模来解决解(1)设
4、a，b，则()ab.|222a22abb29233cos12093.AD.(2)设DAC，则为向量与的夹角cos0.90，DAC90.归纳总结：先利用图形特点和已知条件选择基底表示目标向量，再利用公式求解是解决与平面图形有关的向量夹角及长度问题的常见方法.【练习2】如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解：设a，b，则ab, ab.而|ab|2，|2|ab|2a22abb2|a|22ab|b|2142ab.由得2ab1.|26，|，即AC.探究三 利用向量解决直线问题【例3】已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D、E、F分别为
5、边BC、CA、AB的中点(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程解(1)由已知得点D(1,1)，E(3，1)，F(2，2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则.(x1，y1)，(2，2)(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线DE的方程同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y80，xy0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则.0.又(x6，y2)，(4,4)4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程归纳总结：(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算(2)直线AxByC0的方向
6、向量为v(B，A)，法向量n(A，B)这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、求两条直线的夹角时非常有用【练习3】在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的平分线的方程解(3,4)，(8,6)，A的平分线的一个方向向量为：.A的平分线过点A.所求直线方程为(x4)(y1)0.整理得：7xy290.课后作业A组 基础题一、选择题1在四边形ABCD中，若0，0，则四边形为( )A平行四边形B矩形C等腰梯形D菱形答案D解析：，|，且，故四边形为菱形2在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，则BC边的中线AD的长是()A2 B.C3 D.答案B解析BC中点为D
7、，|.3点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点答案D解析，()0.0.OBAC.同理OABC，OCAB，O为三条高的交点4已知直线l1：3x4y120，l2：7xy280，则直线l1与l2的夹角是()A30 B45 C135 D150答案B解析设l1、l2的方向向量为v1、v2，则v1(4，3)，v2(1，7)，|cosv1，v2|.l1与l2的夹角为45.5若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案B解析|，
8、|2|，|，四边形ABDC是矩形，且BAC90.ABC是直角三角形6过点A(2,3)，且垂直于向量a(2,1)的直线方程为()A2xy70 B2xy70Cx2y40 Dx2y40答案A解析设P(x，y)为直线上一点，则a，即(x2)2(y3)10，即2xy70.二、填空题7过点(1,2)且与直线3xy10垂直的直线的方程是_答案x3y70解析设P(x，y)是所求直线上任一点，直线3xy10的方向向量为(1,3)，由(x1，y2)(1,3)0得x3y70.8在ABC中，若C90，ACBC4，则 .答案6解析：由C90，ACBC4，知ABC是等腰直角三角形，BA4，ABC45，44cos456.9
9、已知直角梯形ABCD中，ABAD，AB2，DC1，ABDC，则当ACBC时，AD .答案1解析：建立平面直角坐标系，如图所示，设ADt(t0)，则A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)则(1，t)，(1，t)由ACBC知1t20，解得t1，故AD1.三、解答题10.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cosDOE的值解以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：，故cosDOE.即cosDOE的值为.11已知直线l1：3xy20与直线l2：mxy10的夹角为45，求实数m的值解设直线l1，l2的法向量为n1，n2，则n1(3,1)，n2(m，1)
10、由题意：cos 45.整理得：2m23m20，解得：m2或m.12已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相互平分，且ACBD，求证：四边形ABCD是菱形证明：设对角线AC、BD交于点O，则有，故四边形ABCD是平行四边形又|2|2|2，|2|2|2，|，故四边形ABCD是菱形B组 能力提升一、选择题1.已知非零向量与满足0且，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰(非等边)三角形 D等边三角形答案D解析由0，得角A的平分线垂直于BC.ABAC.而cos，又，0，180，BAC60.故ABC为正三角形，选D.2在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积
11、为()A. B2 C5 D10答案C解析因为0，ACBD.四边形ABCD的面积S|25.3已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是( )A2BCD1答案B解析：取BC的中点D，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，所以(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以(2x，2y)，()2x22y(y)2x222.当P时，()取得最小值，最小值为.二、填空题4.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的
12、值为_答案2解析O是BC的中点，()又m，n，.M，O，N三点共线，1.则mn2.5已知曲线C：x，直线l：x6.若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得0，则m的取值范围为_答案2,3解析由0知A是PQ的中点，设P(x，y)，则Q(2mx，y)，由题意2x0,2mx6，解得2m3三、解答题6.点O是平行四边形ABCD的中点，E，F分别在边CD，AB上，且.求证：点E，O，F在同一直线上证明设m，n，由，知E，F分别是CD，AB的三等分点，m(mn)mn，(mn)mmn.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上7已知ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，延
13、长BE交AC于F，连接DF.求证：ADBFDC.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是(2,1)，(2,2)，设F(x，y)，由，得0，即(x，y)(2,1)0，2xy0.又F点在AC上，则，而(x,2y)，因此2(x)(2)(2y)0，即xy2.由、式解得x，y，F，(0,1)，又|cos cos ，cos ，即cosFDC，又cosADB，cosADBcosFDC，故ADBFDC.8.如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BPDC.证明设PC，并设ABC的边长为a，则有PPDCB(BB)B(21)BB，又EBB.PE，(21)Bkk.于是有：解得.PC.BBCBB，CBB.从而BC(BB)(BB)a2a2a2cos 600.BPDC.
