1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七节 正弦定理和余弦定理 考纲传真 (教师用书独具 )掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 (对应学生用书第 61 页 ) 基础知识填充 1正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 asin Absin Bcsin C 2R.(R 为 ABC 外接圆半径 ) a2 b2 c2 2bccos A； b2 c2 a2 2cacos B； c2 a2 b2 2abcos C 变形形式 (1)a 2Rsin A， b 2Rsin B， c 2Rsin C； (2)a b c sin Asin Bsin C； (3)sin A a2R，
2、sin B b2R， sin C c2R cos A b2 c2 a22bc ； cos B c2 a2 b22ca ； cos C a2 b2 c22ab 2.在 ABC 中，已知 a、 b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系 式 a bsin A bsin A a b a b a b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用面积公式 (1)S 12a ha(ha表示边 a 上的高 )； (2)S 12absin C 12acsin B 12bcsin A； (3)S 12r(a b c)(r 为内切圆半径 ) 知识拓展 1在 ABC 中， A B?
3、a b?sin A sin B 2合比定理： asin A a b csin A sin B sin C 2R. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3在锐角三角形中 A B 2 ； 若 A 3 ，则 6 B， C 2. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)在 ABC 中，若 A B，则必有 sin A sin B ( ) (2)在 ABC 中，若 b2 c2 a2，则 ABC 为锐角三角形 ( ) (3)在 ABC 中，若 A 60 ， a 4 3， b 4 2，则 B 45 或 135.( ) (4)在 ABC 中， asin A
4、a b csin A sin B sin C.( ) 解析 (1)正确 A B?a b?sin A sin B (2)错误由 cos A b2 c2 a22bc 0 知， A 为锐角，但 ABC 不一定是锐角三角形 (3)错误由 b a 知， B A (4)正确利用 a 2Rsin A， b 2Rsin B， c 2Rsin C，可知结论正 确 答案 (1) (2) (3) (4) 2在 ABC 中， a 3， b 5， sin A 13，则 sin B ( ) A 15 B 59 C 53 D 1 B 根据 asin A bsin B，有 313 5sin B，得 sin B 59.故选 B
5、 3 (2016 全国卷 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a 5， c 2， cos A 23，则 b ( ) A 2 B 3 C 2 D 3 D 由余弦定理得 5 b2 4 2 b2 23， 解得 b 3 或 b 13(舍去 )，故选 D 4在 ABC 中， a 3 2， b 2 3， cos C 13，则 ABC 的面积为 _ 4 3 c os C 13， 0 C ， =【 ;精品教育资源文库 】 = sin C 2 23 ， S ABC 12absin C 123 22 3 2 23 4 3. 5 (教材改编 )在 ABC 中， acos A bc
6、os B，则这个三角形的形状为 _ 等腰三角形或直角三角形 由正弦定理，得 sin Acos A sin Bcos B，即 sin 2A sin 2B，所以 2A 2B 或 2A 2B，即 A B 或 A B 2 ， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 (对应学生用书第 62 页 ) 利用正、余弦定理解三角形 (2018 广州综合测试 (二 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 bcos C bsin C a. (1)求角 B 的大小； (2)若 BC 边上的高等于 14a，求 cos A 的值 解 (1)因为 bcos C bsin C a， 由正弦定理
7、得 sin Bcos C sin Bsin C sin A 因为 A B C ， 所以 sin Bcos C sin Bsin C sin(B C) 即 sin Bcos C sin Bsin C sin Bcos C cos Bsin C 因为 sin C0 ，所以 sin B cos B 因为 cos B0 ，所以 tan B 1. 因为 B(0 ， ) ，所以 B 4. (2)法一：设 BC 边上的高线为 AD，则 AD 14a. 因为 B 4 ，则 BD AD 14a， CD 34a. 所以 AC AD2 DC2 104 a， AB 24 a. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由余弦
8、定理得 cos BAC AB2 AC2 BC22AB AC 55 . 所以 cos BAC 的值为 55 . 法二：设 BC 边上的高线为 AD，则 AD 14a. 因为 B 4 ，则 BD AD 14a， CD 34a. 所以 AC AD2 DC2 104 a， AB 24 a. 由正弦定理得 BCsin BAC ACsin B， 则 sin BAC BCsin BAC asin 4104 a 2 55 . 在 ABC 中，由 AB AC，得 C B 4 ， 所以 BAC 为钝角 所以 cos BAC 1 sin2 BAC 55 . 所以 cos BAC 的值为 55 . 规律方法 1.正弦
9、定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的 . 运用余弦定理时，要注意整体思想的运用 . 在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意 “ 大边对大角 ” 在判定中的应用 . 重视在余弦定理中用均值不等式，实现 a2 b2， ab， a b 三者的互化 .) 跟踪训练 (1)(2016 全国卷 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 cos A 45， cos C 513， a 1，则 b _. (2)(2017 全国卷 ) ABC 的内角 A，
10、B， C 的对边分别为 a， b， c，若 2bcos Bacos C ccos A，则 B _. (1)2113 (2)60 (1)在 ABC 中， cos A 45， cos C 513， =【 ;精品教育资源文库 】 = sin A 35， sin C 1213， sin B sin(A C) sin Acos C cos Asin C 35 513 45 1213 6365. 又 asin A bsin B， b asin Bsin A 1 636535 2113. (2)法 一：由 2bcos B acos C ccos A 及正弦定理， 得 2sin Bcos B sin Acos
11、 C sin Ccos A 2sin Bcos B sin(A C) 又 A B C ， A C B 2sin Bcos B sin( B) sin B 又 sin B0 ， cos B 12. B 3. 法二 ： 在 ABC 中 ， acos C ccos A b， 条件等式变为 2bcos B b， cos B 12. 又 0 B ， B 3. 判断三角形的形状 (1)设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcos C ccos B asin A，则 ABC 的形状为 ( ) 【导学号： 79140131】 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确
12、定 (2)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 sin Asin B ac， (b c a)(b c a) 3bc，则 ABC 的形状为 ( ) A直角三角形 B等 腰非等边三角形 C等边三角形 D钝角三角形 (1)B (2)C (1)由已知及正弦定理得 sin Bcos C sin Ccos B sin2A， 即 sin(B C) sin2A，又 sin(B C) sin A， sin A 1， A 2.故选 B =【 ;精品教育资源文库 】 = (2) sin Asin B ac， ab ac， b c. 又 (b c a)(b c a) 3bc， b2 c
13、2 a2 bc， cos A b2 c2 a22bc bc2bc12. A(0 ， ) ， A 3 ， ABC 是等边三角形 (规律方法 判定三角形形状的两种常用途径 化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断 . 化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 . 易错警示：无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种情况的可能 . 跟踪训练 设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 2sin Acos B sin C，那么 ABC 一定是 (
14、) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 B 法一：由已知得 2sin Acos B sin C sin(A B) sin Acos B cos Asin B，即sin(A B) 0，因为 A B ，所以 A B 法二：由正弦定理得 2acos B c，再由余弦定理得 2a a2 c2 b22ac c?a2 b2?a b. 与三角形面积有关的问题 (2017 全国卷 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin(A C)8sin2B2. (1)求 cos B； (2)若 a c 6， ABC 的面积为 2，求 b. 解 (1)由题设及 A
15、 B C 得 sin B 8sin2B2， 故 sin B 4(1 cos B) 上式两边平方，整理得 17cos2B 32cos B 15 0， 解得 cos B 1(舍去 )，或 cos B 1517. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 cos B 1517. (2)由 cos B 1517得 sin B 817， 故 S ABC 12acsin B 417ac. 又 S ABC 2，则 ac 172. 由余弦定理及 a c 6 得 b2 a2 c2 2accos B (a c)2 2ac(1 cos B) 36 2 172 ? ?1 1517 4. 所以 b 2. 规律方法 三角形面
16、积公式的应用方法 对于面积公式 S 12absin C 12acsin B 12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式 . 与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化，所以解决此类问题通常围绕某个已知角，将余弦定理和面积公式都写出来，寻求突破 . 跟踪训练 (2018 深圳二调 )已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边， 2b3asin B bcos A， c 4. (1)求 A； (2)若 D 是 BC 的中点， AD 7，求 ABC 的面积 . 【导学号： 79140132】 解 (1)由 2b 3asin B bcos A 及正弦定理， 又 0 B ， 可得 2 3sin A cos A， 即有 sin? ?A 6
