1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 相关性、最小二乘估计与统计案例 考纲传真 1.会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系 .2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 (线性回归系数公式不要求记忆 ).3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用 .4.了解独立性检验 (只要求 22 列联表 )的思想、方法及其初步应用 (对应学生用书第 141 页 ) 基础知识填充 1相关性 (1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的 散点图 (2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，
2、这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为 曲线拟合 (3)若两个变量 x 和 y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关 的，若所有点看上去都在某条曲线 (不是一条直线 )附近波动，则称此相关是 非线性相关 的如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是 不相关 的 2线性回归方程 (1)最小二乘法 如果有 n 个点 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)，可以用 y1 (a bx1)2 y2 (a bx2)2 ? yn (a bxn)2来刻画这些点与直线 y a bx 的接近程度，使
3、得上式达到最小值的直线 y a bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法 (2)线性回归方程 方程 y bx a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn，yn)的线性回归方程，其中 a， b 是待定参数 ? b n i 1 xi x yi y ni 1xi x 2 ni 1xiyi n x y ni 1x2i n x 2a y b x3回归分析 (1)定义： 对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一种常用方法 (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)中，
4、 ( x ， y )称为=【 ;精品教育资源文库 】 = 样本点的中心 (3)相关系数 r ni 1xi x yi y ni 1xi x 2 ni 1yi y 2 ni 1xiyi n x y ni 1x2i n x 2 ni 1y2i n y 2 当 r 0 时，表明两个变量 正相关 ； 当 r2.706 时，有 90%的把握判定变量 A， B 有关联； 当 23.841 时，有 95%的把握判定变量 A， B 有关联； 当 26.635 时，有 99%的把握判定变量 A， B 有关联 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) =【 ;精品教育
5、资源文库 】 = (1)“ 名师出高徒 ” 可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系 ( ) (2)某同学研究卖出的热饮杯数 y 与气温 x() 之间的关系，得回归方程 y 2.352x147.767，则气温为 2 时，一定可卖出 143 杯热饮 ( ) (3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验 ( ) (4)若事件 X， Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的 2的观测值越小 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 x 3， y 3.5，则由该观测数据算得的线性回
6、归方程可能是 ( ) A y 0.4x 2.3 B y 2x 2.4 C y 2x 9.5 D y 0.3x 4.4 A 因为变量 x 和 y 正相关，排除选项 C， D又样本中心 (3,3.5)在回归直线上，排除 B，选项 A 满足 3 (2015 全国卷 )根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量 (单位：万吨 )柱形图，以下结论中不正确的是 ( ) 图 941 A逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相
7、关 D 对于 A 选项，由图 知从 2007 年到 2008 年二氧化硫排放量下降得最多，故 A 正确对于 B 选项，由图知，由 2006 年到 2007 年矩形高度明显下降，因此 B 正确对于 C 选项，由图知从 2006 年以后除 2011 年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以 C 正确由图知 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选 D 4为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了 100 位居民进行调查，经过计算 20.99 ，根据这一数据分析，下列说法正确的是 ( ) A有 99%的人认为该电视栏目优秀 =【 ;精品教育资源文库 】 = B有 9
8、9%的人认 为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C有 99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D 只有 2 6.635 才能有 99%的把握认为 “ 该电视栏目是否优秀与改革有关系 ” ，而即使 2 6.635也只是对 “ 该电视栏目是否优秀与改革有关系 ” 这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有 99%的人等无关，故只有 D 正确 5 (2018 西安模拟 )某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验根据收集到的数据 (如下表 )，由最小二乘法求得回 归方程 y 0.67x54.9. 零件数 x(个 )
9、10 20 30 40 50 加工时间 y(min) 62 75 81 89 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为 _ 68 由 x 30，得 y 0.6730 54.9 75. 设表中的 “ 模糊数字 ” 为 a， 则 62 a 75 81 89 755 ， a 68. (对应学生用书第 142 页 ) 相关关系的判断 (1)(2015 湖北高考 )已知变量 x和 y满足关系 y 0.1x 1，变量 y与 z正相关下列结论中正确的是 ( ) 【导学号： 00090333】 A x 与 y 正相关， x 与 z 负相关 B x 与 y 正相关， x 与 z 正相关 C x 与 y
10、 负相关， x 与 z 负相关 D x 与 y 负相关， x 与 z 正相关 (2)对四组数据进行统计，获得如图 942 所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 942 A r2 r4 0 r3 r1 B r4 r2 0 r1 r3 C r4 r2 0 r3 r1 D r2 r4 0 r1 r3 (1)C (2)A (1)因为 y 0.1x 1 的斜率小于 0，故 x 与 y 负相关因为 y 与 z 正相关，可设 z by a， b0，则 z by a 0.1bx b a，故 x 与 z 负相关 (2)由散 点图知，图 与图 是正相关，故有
11、r1 0， r3 0，图 与图 是负相关，则 r2 0， r4 0，且图 与图 中的样本点集中在一条直线附近，因此有 r2 r4 0 r3 r1. 规律方法 1.利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关，若点散布在左上角到右下角的区域，则负相关 2利用相关系数判定，当 |r|越趋近于 1，相 关性越强 当残差平方和越小，相关指数 r2越大，相关性越强 变式训练 1 (1)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x， y
12、之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论： y 与 x 负相关且 y 2.347x 6.423； y 与 x 负相关且 y 3.476x 5.648； y 与 x 正相关且 y 5.437x 8.493； y 与 x 正相关且 y 4.326x 4.578. 其中一定不正确的结论的序号是 ( ) 【导学号： 00090334】 A B C D (2)变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 (10,1)， (11.3,2)， (11.8,3)， (12.5,4)， (13,5)；变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5)， (11.3,4)， (11.8,3)， (12.5
13、,2)， (13,1)， r1=【 ;精品教育资源文库 】 = 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数， r2表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则 ( ) A r2 r1 0 B 0 r2 r1 C r2 0 r1 D r2 r1 (1)D (2)C (1)由线性回归方程 y bx a知当 b 0 时， y 与 x 正相关，当 b 0 时， y与 x 负相关， 一定错误 (2)对于变量 Y 与 X 而言， Y 随 X 的增大而增大，故 Y 与 X 正相关，即 r1 0；对于变量 V与 U 而言， V 随 U 的增大而减小，故 V 与 U 负相关，即 r2 0，故选 C 线性回归方程及
14、应用 (2016 全国卷 )如图 943 是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量 (单位：亿吨 )的折线图 图 943 注：年份代码 1 7 分别对应年份 2008 2014. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立 y 关于 t 的回归方程 (系数精确到 0.01)，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 参考数据： 7i 1yi 9.32， 7i 1tiyi 40.17， 7i 1yi y 2 0.55， 72.646. 参考公式：相关系数 rni 1ti t yi y ni 1ti t 2 ni 1yi y 2，回归方程 y a b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b ni 1ti t yi y ni 1ti t 2， a y b t . 解 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t 4， 7i 1(ti t )2 28， 7i 1yi y 2 0.55， 2 分 7i 1(ti t )(yi y ) 7i 1tiyi t 7i 1yi 40.17 49.32 2.89， 所以 r 2.890.5522.646 0.99. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当大，从而可 以
