1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 坐标系 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 .2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化 .3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 (对应学生用书第 198 页 ) 基础知识填充 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：? x x ， 0，y y ， 0 的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x ， y) ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 2极坐标与极坐标系的概念
2、图 1 在平面内取一个定点 O，叫作极点，从 O 点引一条射线 Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向 (通常取逆时针方向 )这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系对于平面内任意一点 M，用 表示线段 OM 的长， 表示以 Ox 为始边、 OM 为终边的角度， 叫作点 M 的 极径 ， 叫作点 M 的 极角 ，有序实数对 ( ， )叫作点 M 的极坐标，记作 M( ， ) 当点 M 在极点时，它的极径 0，极角 可以取 任意值 3极坐标与直角坐标的互化 点 M 直角坐标 (x， y) 极坐标 ( ， ) 互化公式 ? x cos ，y sin 2 x2 y2 tan yx(x0)
3、4.圆的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆 r(0 2) 圆心为 (r,0)，半径为 r 的圆 2rcos =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ? 2 2 圆心为 ? ?r， 2 ，半径为 r 的圆 2rsin (0 ) 5.直线的极坐标方程 (1)直线 l 过极点，且极轴到此直线的角为 ，则直线 l 的极坐标方程是 ( R) (2)直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴，则直线 l 的极坐标方程为 cos a? ? 2 2 . (3)直线过 M? ?b， 2 且平行于极轴，则直线 l 的极坐标方程为 sin b(0 ) 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下
4、列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系 ( ) (2)若点 P 的直角坐标为 (1， 3)，则点 P 的一个极坐标是 ? ?2， 3 .( ) (3)在极坐标系中，曲 线的极坐标方程不是唯一的 ( ) (4)极坐标方程 ( 0) 表示的曲线是一条直线 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )若以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y 1 x(0 x1) 的极坐标方程为 ( ) A 1cos sin ， 0 2 B 1cos sin ，
5、0 4 C cos sin ， 0 2 D cos sin ， 0 4 A y 1 x(0 x1) ， sin 1 cos (0 cos 1) ， 1sin cos ? ?0 2 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 (2017 北京高考 )在极坐标系中，点 A 在圆 2 2 cos 4 sin 4 0 上，点 P的坐标为 (1,0)，则 |AP|的最小值为 _ 1 由 2 2 cos 4 sin 4 0，得 x2 y2 2x 4y 4 0， 即 (x 1)2 (y 2)2 1， 圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1. 点 P 的坐标为 (1,0)， 点 P 在圆 C 外 又 点 A 在
6、圆 C 上， | AP|min |PC| 1 2 1 1. 4已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin? ? 4 2，点 A 的极坐标为 A? ?2 2， 74 ，则点A 到直线 l 的距离为 _ 5 22 由 2 sin? 4 2，得 2 ? ?22 sin 22 cos 2， y x 1. 由 A? ?2 2， 74 ，得点 A 的直角坐标为 (2， 2) 点 A 到直线 l 的距离 d |2 2 1|2 5 22 . 5已知圆 C 的极坐标方程为 2 2 2 sin ? ? 4 4 0，求圆 C 的半径 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐
7、标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程可化为 2 2 2 ? ?22 sin 22 cos 4 0， 化简，得 2 2 sin 2 cos 4 0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 2y 4 0， 即 (x 1)2 (y 1)2 6， 所以圆 C 的半径为 6. (对应学生用书第 199 页 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 平面直角坐标系中的伸缩变换 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换 ：? x 3x，2y y. (1)求点 A? ?13， 2 经过 变换所得点 A 的坐标； (2)求直线 l： y 6x 经过 变换后所得直线 l 的方程 解 (1)设点 A( x ， y) ，
8、由伸缩变换 ：? x 3x，2y y， 得 ? x 3x，y y2， x 133 1， y 22 1. 点 A 的坐标为 (1， 1) (2)设 P( x ， y) 是直线 l 上任意一点 由伸缩变换 ：? x 3x，2y y， 得? x x3 ，y 2y ，代入 y 6x，得 2y 6 x3 2x ， y x 即为所求直线 l 的方程 规律方法 伸缩变 换后方程的求法 ,平面上的曲线 y f x 在变换 ：? x x ( 0)，y y ( 0) 的作用下的变换方程的求法是将 ? x x ，y y代入 y f x ，得 y f? ?x ，整理之后得到 y h x ，即为所求变换之后的方程 .
9、易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标 x， y 与变换后的点的坐标 x ，y =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 求椭圆 x24 y2 1，经过伸缩变换? x 12x，y y后的曲线方程 . 【导学号： 79140385】 解 由? x 12x，y y，得? x 2x ，y y. 将 代入 x24 y2 1，得 4x24 y2 1， 即 x 2 y 2 1. 因 此椭圆 x24 y2 1 经过伸缩变换后得到的曲线方程是 x2 y2 1. 极坐标与直角坐标的互化 (2016 全国卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x 6)2 y2 25. (1)以坐标原点为
10、极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l 的参数方程是? x tcos ，y tsin (t 为参数 )， l 与 C 交于 A， B 两点， |AB| 10，求 l 的斜率 解 (1)由 x cos ， y sin 可得圆 C 的极坐标方程为 2 12 cos 11 0. (2)在 (1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R) 设 A， B 所对应的极径分别为 1， 2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2 12 cos 11 0， 于是 1 2 12cos ， 1 2 11. |AB| | 1 2| ( 1 2)2 4 1
11、2 144cos2 44. 由 |AB| 10得 cos2 38， tan 153 . 所以 l 的斜率为 153 或 153 . 规律方法 1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点 (2)以 x 轴的非负半轴为极轴 =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)两种坐标系规定相同的长度单位 2极坐标与直角坐标互化的策略 (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 x cos 及 y sin 直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 cos ， sin ， 2的形式，进行整体代换 跟踪训练 (2018 合肥二检 )在直角坐标系
12、 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4cos . (1)求出圆 C 的直角坐标方程； (2)已知圆 C 与 x 轴相交于 A， B 两点，直线 l： y 2x 关于点 M(0， m)(m0) 对称的直线为 l. 若直线 l 上存在点 P 使得 APB 90 ，求实数 m 的最大值 解 (1)由 4cos 得 2 4 cos ，即 x2 y2 4x 0， 即圆 C 的标准方程为 (x 2)2 y2 4. (2)直线 l： y 2x 关于点 M(0， m)的对称直线 l 的方程为 y 2x 2m，而 AB 为圆 C的直径，故直线 l 上存在
13、点 P 使得 APB 90 的充要条件是直线 l 与圆 C 有公共点， 故 |4 2m|5 2 ，解得 2 5 m 5 2， 所以实数 m 的最大值为 5 2. 极坐标方程的应用 (2017 全国卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos 4. (1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM| OP| 16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为 ? ?2， 3 ，点 B 在曲线 C2上，求 OAB 面积的最大值 解 (1)设 P 的极坐标为 ( ， )( 0)， M 的极坐标为 ( 1， )( 10) 由题设知 |OP| ， |OM| 1 4cos . 由 |OM| OP| 16 得 C2的极坐标方程为 4cos ( 0) 因此 C2的 直角坐标方程为 (x 2)2 y2 4(x0) (2)设点 B 的极坐标为 ( B， )( B0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题设知 |OA| 2， B 4cos ，于是 OAB 的面积 S 12|OA| Bsin AOB 4cos ? ?sin? ? 3 2? ?sin? ?
