1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.4 数列求和 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1已知数列 an是等差数列， a1 tan225 ， a5 13a1，设 Sn 为数列 ( 1)nan的前 n项和，则 S2 014 ( ) A 2 015 B 2 015 C 3 021 D 3 022 解析：由题知 a1 tan(180 45) 1， a5 13 d a5 a15 1 124 3. an 1 3(n 1) 3n 2. 设 bn ( 1)nan ( 1)n(3n 2)， S2 014 ( 1 4) ( 7 10) ( 6 037 6 040) 31 007 3 021.故选 C. 答案
2、： C 2设 an是公差不为零的等差数列， a2 2，且 a1， a3， a9成等比数列，则数列 an的前n 项和 Sn ( ) A.n247n4 Bn223n2 C.n243n4 Dn22n2 解析：设等差数列 an的公差为 d，则 由 a23 a1a9得 (a2 d)2 (a2 d)(a2 7d)， 代入 a2 2， 解得 d 1 或 d 0(舍 ) an 2 (n 2)1 n， Sn a1 an n2 n n2 n22n2. 故选 D. 答案： D 3等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a2a3 2a1，且 a4与 2a7的等差中项为 54，则 S5( ) A 29 B 31 C
3、 33 D 36 解析：设等比数列 an的公比为 q 则 a21q3 2a1， =【 ;精品教育资源文库 】 = a1q3 2a1q6 52， 解得 a1 16， q 12， S5 a1 q51 q 31，故选 B. 答案： B 4已知等比数列 an的各项均为正数， a1 1，公比为 q；等差数列 bn中， b1 3，且bn的前 n 项和为 Sn， a3 S3 27， q S2a2. (1)求 an与 bn的通项公式； (2)设数列 cn满足 cn 32Sn，求 cn的前 n 项和 Tn. 解： (1)设数列 bn的公差为 d， a3 S3 27， q S2a2， ? q2 3d 18，6 d
4、 q2. 求得 q 3， d 3， an 3n 1， bn 3n. (2)由题意得 Sn n 3n2 ， cn 32Sn 32 23 1n n 1n 1n 1. Tn 1 12 12 13 13 14 1n 1n 1 1 1n 1 nn 1. 5 (2017 届广州综合测试 )已知数列 an是等比数列， a2 4， a3 2 是 a2和 a4的等差中项 (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2log2an 1，求数列 anbn的前 n 项和 Tn. 解： (1)设数列 an的公比为 q， 因为 a2 4，所以 a3 4q， a4 4q2. 因为 a3 2 是 a2和 a4的等差中项，
5、 所以 2(a3 2) a2 a4， 化简得 q2 2q 0. 因为公比 q0 ，所以 q 2. 所以 an a2qn 2 42 n 2 2n(n N*) (2)因为 an 2n，所以 bn 2log2an 1 2n 1， 所以 anbn (2n 1)2n， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 Tn 12 32 2 52 3 (2n 3)2n 1 (2n 1)2n， 2Tn 12 2 32 3 52 4 (2n 3)2n (2n 1)2 n 1. 由 得， Tn 2 22 2 22 3 22 n (2n 1)2n 1 2 2 2n 11 2 (2n 1)2n 1 6 (2n 3)2n 1，
6、所以 Tn 6 (2n 3)2n 1. 6 Sn为数列 an的前 n 项和，已知 an0， a2n 2an 4Sn 3. (1)求 an的通项公式； (2)设 bn 1anan 1，求数列 bn的前 n 项和 解： (1)由 a2n 2an 4Sn 3， 可知 a2n 1 2an 1 4Sn 1 3. ，得 a2n 1 a2n 2(an 1 an) 4an 1， 即 2(an 1 an) a2n 1 a2n (an 1 an)(an 1 an) 由 an0，得 an 1 an 2. 又 a21 2a1 4a1 3，解得 a1 1(舍去 )或 a1 3. 所以 an是首项为 3，公差 为 2 的
7、等差数列， 通项公式为 an 2n 1. (2)由 an 2n 1 可知 bn 1anan 1 1n n 12? ?12n 1 12n 3 . 设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则 Tn b 1 b2 bn 12? ? ?13 15 ? ?15 17 ? ?12n 1 12n 3 nn . 7已知数列 an与 bn满足 an 1 an 2(bn 1 bn)(n N*) (1)若 a1 1， bn 3n 5，求数列 an的通项公式； (2)若 a1 6， bn 2n(n N*)且 a n2n n 2 对一切 n N*恒成立， 求实数 的取值范围 解： (1)因为 an 1 an 2(bn 1
8、bn)， bn 3n 5， 所以 an 1 an 2(bn 1 bn) 2(3n 8 3n 5) 6， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 an是等差数列，首项为 1，公差为 6， 即 an 6n 5. (2)因为 bn 2n， 所以 an 1 an 2(2n 1 2n) 2n 1， 当 n2 时， an (an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1 2n 2n 1 22 6 2n 1 2， 当 n 1 时， a1 6，符合上式， 所以 an 2n 1 2，由 a n2n n 2 得 2n n2n 1 12n2n 1， 令 f(n) 12 n2n 1， 因为 f(n 1
9、) f(n) n 12n 2 n2n 1 1 n2n 2 0 ， 所以 12 n2n 1在 n1 时单调递减， 所以当 n 1,2 时， 2n n2n 1 取最大值34， 故 的取值范围为 ? ?34， . 能 力 提 升 1已知数列 an的首项为 a1 1，前 n 项和为 Sn，且数列 ? ?Snn 是公差为 2 的等差数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)若 bn ( 1)nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解： (1)由已知得 Snn 1 (n 1)2 2n 1， 所以 Sn 2n2 n， 当 n2 时， an Sn Sn 1 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n
10、3. a1 1 41 3， 所以 an 4n 3， n N*. (2)由 (1)可得 bn ( 1)nan ( 1)n(4n 3) 当 n 为偶数时， Tn ( 1 5) ( 9 13) (4n 7) (4n 3) 4 n2 2n， 当 n 为奇数时， n 1 为偶数， =【 ;精品教育资源文库 】 = Tn Tn 1 bn 1 2(n 1) (4n 1) 2n 1， 综上， Tn? 2n， n 2k， k N*， 2n 1， n 2k 1， k N*. 2在数列 an中，已知 an1， a1 1 3，且 an 1 an 2an 1 an 2，记 bn (an 1)2，n N*. (1)求数列
11、 bn的通项公式； (2)设数列 bn的前 n 项和为 Sn，证明： 13 1S1 1S2 1S3 1Sn0， n N*，所以 Tn单调递增 故 Tn T1 1S1 13. 综上 13 1S1 1S2 1Sn1 时， a2n 1 an 1 2Sn 1， 两式相减得， a2n a2n 1 an an 1 2Sn 2Sn 1 2an， 即 (an an 1)(an an 1) an an 1. 因为 an0， 所以 an an 10， 所以当 n1 时， an an 1 1. 又当 n 1 时， a21 a1 2S1 2a1，得 a1 1， 所以数列 an是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列， 所以 an n. (2)证明：由 (1)及等差数列的前 n 项和公式知 Sn n n2 ，所以 Sn n n2 n22n2， 所以 S1 S2 Sn 12 22 n2 1 2 n2 Sn2. 又 Sn n n2 n22 n 12 ， 所以 S1 S2 Sn 22 32 n 12 1 2 n2 12 Sn 1 12 ， 所以 Sn2 S1 S2 SnSn 1 12 .
