1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.3 等比数列及其前 n 项和 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1已知数列 an为等比数列，若 a4 a6 10，则 a7(a1 2a3) a3a9的值为 ( ) A 10 B 20 C 100 D 200 解析 ： a7(a1 2a3) a3a9 a7a1 2a7a3 a3a9 a24 2a4a6 a26 (a4 a6)2 102 100. 答案： C 2设等比数列 an中，前 n 项和为 Sn，已知 S3 8， S6 7，则 a7 a8 a9等于 ( ) A.18 B 18 C.578 D 558 解析：因为 a7 a8 a9 S9 S6，且 S
2、3， S6 S3， S9 S6也成等比数列，即 8， 1， S9S6成等比数列，所以 8(S9 S6) 1，即 S9 S6 18.所以 a7 a8 a9 18. 答案： A 3已知数列 an满足 log3an 1 log3an 1(n N*)，且 a2 a4 a6 9，则 log13(a5 a7a9)的值是 ( ) A 5 B 15 C 5 D 15 解析： log3an 1 log3an 1， an 1 3an. 数列 an是公比 q 3 的等比数列 a5 a7 a9 q3(a2 a4 a6)， log13(a5 a7 a9) log13(93 3) log1335 5. 答案： A 4 (
3、2017 届太原一模 )在单调递减的等比数列 an中，若 a3 1， a2 a4 52，则 a1 ( ) A 2 B 4 C. 2 D 2 2 解析：在等比数列 an中， a2a4 a23 1，又 a2 a4 52，数列 an为递减数列，所以 a2=【 ;精品教育资源文库 】 = 2， a4 12，所以 q2 a4a2 14，所以 q 12， a1 a2q 4. 答案： B 5 (2017 届莱芜模拟 )已知数列 an， bn满足 a1 b1 3， an 1 an bn 1bn 3， n N*，若数列 cn满足 cn ban，则 c2 017 ( ) A 92 016 B 272 016 C
4、92 017 D 272 017 解析：由已知条件知 an是首项为 3，公差为 3 的等差数列，数列 bn是首项为 3，公比为 3 的等比数列， 所以 an 3n， bn 3n. 又 cn ban 33n， 所以 c2 017 332 017 272 017. 答案： D 6 (2018 届海口市调研测试 )设 Sn为等比数列 an的前 n 项和， a2 8a5 0，则 S8S4的值为( ) A.12 B 1716 C 2 D 17 解析：设 an的公比为 q，依题意得 a5a2 18 q3，因此 q 12.注意到 a5 a6 a7 a8 q4(a1 a2 a3 a4)，即有 S8 S4 q4
5、S4，因此 S8 (q4 1)S4， S8S4 q4 1 1716，选 B. 答案： B 7 (2017 届衡阳模拟 )在等 比数列 an中， a1 2，前 n 项和为 Sn，若数列 an 1也是等比数列，则 Sn ( ) A 2n 1 2 B 3n C 2n D 3n 1 解析：因为数列 an为等比数列， a1 2，设其公比为 q，则 an 2qn 1，因为数列 an1也是等比数列，所以 (an 1 1)2 (an 1)(an 2 1)?a2n 1 2an 1 anan 2 an an 2?an an 2 2an 1? an(1 q2 2q) 0?q 1，即 an 2，所以 Sn 2n，故选
6、 C. 答案： C 8 (2017 届广州市五校联考 )已知数列 an的首项 a1 2，数列 bn为等比数列，且 bn=【 ;精品教育资源文库 】 = an 1an，若 b10b11 2，则 a21 ( ) A 29 B 210 C 211 D 212 解析：由 bn an 1an，且 a1 2，得 b1 a2a1 a22， a2 2b1； b2 a3a2， a3 a2b2 2b1b2； b3 a4a3，a4 a3b3 2b1b2b3； ； an 2b1b2b3 bn 1，所以 a21 2b1b2b3 b20，又 bn为等比数列， 所以 a21 2(b1b20)(b2b19)( b10b11)
7、 2(b10b11)10 211. 答案： C 9由正数组成的等比数列 an满足 a3a8 32，则 log2a1 log2a2 log2a10 _. 解析 ： log2a1 log2a2 log2a10 log2(a1a10)( a2a9)( a5a6) log2(a3a8)5log2225 25. 答案 ： 25 10 设 Sn为等比数列 an的前 n项和 若 a1 1， 且 3S1,2S2， S3成等差数列 ， 则 an _. 解析 ： 因为 3S1,2S2， S3成等差数列 ， 所以 4S2 3S1 S3， 即 4(a1 a2) 3a1 a1 a2 a3.化简得 a3a2 3， 即等比
8、数列 an的公比 q 3， 故 an 13 n 1 3n 1. 答案： 3n 1 11 (2017 届南昌模拟 )已知公比不为 1 的等比数列 an的首项 a1 12，前 n 项和为 Sn，且 a4 S4， a5 S5， a6 S6成等差数列 (1)求等比数列 an的通项公式； (2)对 n N*，在 an与 an 1之间插入 3n个数，使这 3n 2 个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为 bn，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解： (1)因为 a4 S4， a5 S5， a6 S6成等差数列， 所以 a5 S5 a4 S4 a6 S6 a5 S5， 即 2a6 3a5 a4 0， 所
9、以 2q2 3q 1 0， 因为 q1 ， 所以 q 12， 所以等比数列 an的通项公式为 an 12n. (2)bn an an 12 3 n 34? ?32 n， =【 ;精品教育资源文库 】 = Tn 3432 ?32n 11 32 94? ? ?32 n 1 . 12设数列 an的前 n 项和为 Sn(n N*)已知 a1 1， a2 32， a3 54，且当 n2 时， 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1. (1)求 a4的值； (2)证明： ? ?an 112an 为等比数列 解： (1)当 n 2 时， 4S4 5S2 8S3 S1， 即 4? ?1 32 54 a4 5
10、? ?1 32 81 32 54 1，解得 a4 78. (2)证明：由 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1(n2) ， 得 4Sn 2 4Sn 1 Sn Sn 1 4Sn 1 4Sn(n2) ， 即 4an 2 an 4an 1(n2) 4a3 a1 4 54 1 6 4a2符合上式， 4an 2 an 4an 1(n1) ， an 2 12an 1an 1 12an 4an 2 2an 14an 1 2an 4an 1 an 2an 14an 1 2an 2an 1 anan 1 an 12， 数列 ? ?an 112an 是以 a212a1 1 为首项，12为公比的等比数列 能 力
11、 提 升 1若 an是正项递增等比数列， Tn表示其前 n 项之积，且 T10 T20，则当 Tn取最小值时，n 的值为 _ 解析： T10 T20?a11 a20 1?(a15a16)5 1?a15a16 1，又 an是正项递增等比数列，所以0a1a2 a14a151a16a17 ，因此当 Tn取最小值时， n 的值为 15. 答案： 15 2 (2018 届山西吕梁质检 )已知数列 2,8,4， 12， ，该数列的特点是从第 2 项起，每一项都等于它的前后两项之积，则这个数列的前 2 018 项之积 T2 018等于 _ 解析：数列 2,8,4， 12， ，该数列的特点是从 第 2 项起，
12、每一项都等于它的前后两项=【 ;精品教育资源文库 】 = 之积， 这个数列的前 8 项分别为 2,8,4， 12， 18， 14， 2,8，易得从第 7 项起，数字重复出现， 所以此数列为周期数列，且周期为 6， 前 6 项积为 284 12 18 14 1.又因为 2 018 3366 2， 所以这个数列的前 2 018 项之积 T2 018 133628 16. 答案： 16 3已知数列 an满足 a1 5， a2 5， an 1 an 6an 1(n2) (1)求证： an 1 2an是等比数列； (2)求数列 an的通项公式 解： (1)证明： an 1 an 6an 1(n2) ， an 1 2an 3an 6an 1 3(an 2an 1)(n2) a1 5， a2 5， a2 2a1 15， an 2an 10( n2) ， an 1 2anan 2an 1 3(n2) ， 数列 an 1 2an是以 15 为首项， 3 为公比的等比数列 (2)由 (1)得 an 1 2an 153 n 1 5 3n， 则 an 1 2an 53 n， an 1 3n 1 2(an 3n) 又 a1 3 2， an 3n0 ， an 3n是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 an 3n 2( 2)n 1， 即 an 2( 2)n 1 3n.
