1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (四十四 ) 直线、平面垂直的判定与性质 基础巩固 一、选择题 1 (2017 湖北七市高三联考 )设直线 m 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是 ( ) A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直 C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行 D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直 解析 对于 A，在平面 内可能有无数条直线与直线 m 垂直，这些直线是互相平行的， A 错误；对于 B，只要 m? ，过直线 m 必有并且也只有一个平面与平面 垂直， B 正确；对于 C，类似于 A，在平面 外
2、可能有无数条直线垂直于直线 m 并且平行于平面 ， C 错误；对于 D，与直线 m 平行且与平面 垂直的平面有无数个， D 错误故选 B. 答案 B 2 (2016 浙江卷 )已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m， n 满足 m ，n ，则 ( ) A m l B m n C n l D m n 解析 对于选项 A， l， l? ， m ， m 与 l 可能平行，也可能异面，故选项 A 不正确；对于选项 B， D， ， m ， n ， m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面，故选项 B， D 不正确对于选项 C， l， l? . n ， n l.故选 C. 答案 C 3 (20
3、18 湖南长沙模拟 )已知 ， ， 为平面， l 是直线，若 l，则 “ ， ” 是 “ l ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由 ， ， l 可以推出 l ；反过来，若 l ， l，则根据面面垂直的判定定理，可知 ， .所以若 l，则 “ ， ” 是 “ l ” 的充要条件 答案 C 4如图，已知 ABC 为直角三角形，其中 ACB 90 ， M 为 AB 的中点， PM 垂直于 =【 ;精品教育资源文库 】 = ABC 所在平面，那么 ( ) A PA PBPC B PA PBPC C PA PB PC D PA PB PC 解析
4、 M 为 AB 的中点， ACB 为直角三角形， BM AM CM，又 PM 平面 ABC， Rt PMB Rt PMA Rt PMC， 故 PA PB PC. 答案 C 5 (2017 贵阳监测 )如图，在三棱锥 P ABC 中，不能证明 AP BC 的条件是 ( ) A AP PB， AP PC B AP PB， BC PB C平面 BPC 平面 APC， BC PC D AP 平面 PBC 解析 A 中，因为 AP PB， AP PC， PB PC P，所以 AP 平面 PBC，又 BC?平面 PBC，所以 AP BC，故 A 正确； C 中，因为平面 BPC 平面 APC， BC PC
5、，所以 BC 平面 APC，又AP? 平面 APC，所以 AP BC，故 C 正确； D 中，由 A 知 D 正确； B 中条件不能判断出 AP BC，故选 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 6.(2017 湖北孝感高中期中 )如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BC AC， AC1 A1B，M， N 分别是 A1B1， AB 的中点，给出下列结论： C1M 平面 A1ABB1； A1B NB1； 平面 AMC1 平面 CBA1. 其中正确结论的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 在直三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 A1B1C1 平面 ABB
6、1A1.因为 BC AC，所以 B1C1 A1C1.因为 M 为 A1B1的中点，所以 C1M A1B1.因为平面 A1B1C1 平面 ABB1A1 A1B1，所以 C1M 平面 ABB1A1.故 正确 由 知， C1M A1B，又因为 AC1 A1B， C1M AC1 C1，所以 A1B平面 AMC1，所以 A1B AM.因为 M， N 分别是 A1B1， AB 的中点，所以 ANB1M 是平行四边形，所以 AM NB1.因为 A1B AM，所以 A1B NB1.故 正确 由 知 A1B 平面 AMC1，因为 A1B?平面 CBA1，所以平面 AMC1 平面 CBA1.故 正确综上所述，正确
7、结论的个数为 3.故选 D. 答案 D 二、填空题 7.(2017 河北石家庄调研 )如图，已知 PA 平面 ABC， BC AC，则图中直角三角形的个数为 _ 解析 PA 平面 ABC， AB， AC， BC?平面 ABC， PA AB， PA AC， PA BC，则 PAB， PAC 为直角三角形 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 BC AC，且 AC PA A， BC 平面 PAC，从而 BC PC，因此 ABC， PBC 也是直角三角形 答案 4 8如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足 _时，平面
8、 MBD 平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可 ) 解析 由定理可知， BD PC. 当 DM PC(或 BM PC)时，就有 PC 平面 MBD， 而 PC? 平面 PCD， 平面 MBD 平面 PCD. 答案 DM PC(或 BM PC 等 ) 三、解答题 9 (2017 山东青岛质检 )如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 AB BC BD 2， ABC DBC 120 ， E， F， G 分别为 AC， DC， AD 的中点 (1)求证： EF 平面 BCG； (2)求三棱锥 D BCG 的体积 解 (1)证明：由已知得 ABC DBC，因此 AC DC. 又
9、 G 为 AD 的中点，所以 CG AD. 同理 BG AD，又 BG CG G，因此 AD 平面 BCG. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 EF AD，所以 EF 平面 BCG. (2)在平面 ABC 内，作 AO BC，交 CB 的延长线于 O，如图由平面 ABC 平面 BCD，平面ABC 平面 BDC BC， AO?平面 ABC，知 AO 平面 BDC.又 G 为 AD 中点，因此 G 到平面 BDC的距离 h 是 AO 长度的一半 在 AOB 中， AO ABsin60 3， 所以 VD BCG VG BCD 13S DBC h 13 12BD BCsin120 32 12. 1
10、0 (2017 云南省高中毕业班统一检测 )如图，在四棱锥 P ABCD 中， PC 平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形， AB BC 2a， AC 2 3a， E 是 PA 的中点 (1)求证：平面 BED 平面 PAC； (2)求点 E 到平面 PBC 的距离 解 (1)证明：在平行四边形 ABCD 中， AB BC， 四边形 ABCD 是菱形， BD AC. PC 平面 ABCD， BD?平面 ABCD， PC BD. 又 PC AC C， BD 平面 PAC， BD?平面 BED， 平面 BED 平面 PAC. (2)设 AC 交 BD 于点 O，连接 OE，如图 =【 ;精
11、品教育资源文库 】 = 在 PCA 中，易知 O 为 AC 的中点， E 为 PA 的中点， EO PC. PC?平面 PBC， EO?平面 PBC， EO 平面 PBC， 点 O 到平面 PBC 的距离就是点 E 到平面 PBC 的距离 PC 平面 ABCD， PC?平面 PBC， 平面 PBC 平面 ABCD，交线为 BC. 在平面 ABCD 内过点 O 作 OH BC 于点 H，则 OH 平面 PBC. 在 Rt BOC 中， BC 2a， OC 12AC 3a， OB a.S BOC 12OC OB 12BC OH， OH OB OCBC a 3a2a 32 a. 点 E 到平面 PB
12、C 的距离为 32 a. 能力提升 11空间四边形 ABCD 中， AB CD 2， AD BC 3， M， N 分别是对角线 AC 与 BD 的中点，则 MN 与 ( ) A AC， BD 之一垂直 B AC， BD 不一定垂直 C AC， BD 都不垂直 D AC， BD 都垂直 解析 连接 BM， DM， AN， CN，在 ABC 和 ACD 中， AB CD， AD BC， AC CA，故 ABC CDA.又 M 为 AC 中点， BM DM. N 为 BD 的中点， MN BD.同理可证 MN AC，故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 12如图，四边形 ABCD
13、中， AD BC， AD AB， BCD 45 ， BAD 90. 将 ADB 沿BD 折起，使平面 ABD 平面 BCD，构成三棱锥 A BCD，则在三棱锥 A BCD 中，下列命题正确的是 ( ) A平面 ABD 平面 ABC B平面 ADC 平面 BDC C平面 ABC 平面 BDC D平面 ADC 平面 ABC 解析 在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD 45 ， BAD 90 ， BD CD. 又平面 ABD 平面 BCD， 且平面 ABD 平面 BCD BD， 故 CD 平面 ABD，则 CD AB. 又 AD AB， CD AD D， 故 AB 平面 AD
14、C. 平面 ABC 平面 ADC.故选 D. 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 13 (2017 内蒙古包头一模 )已知直线 a， b，平面 ，且满足 a ， b ，有下列四个命题： 对任意直线 c? ，有 c a； 存在直线 c? ，使 c b 且 c ； 对满足 a? 的任意平面 ，有 ； 存在平面 ，使 b . 其中正确的命题有 _ (填序号 ) 解析 因为 a ，所以 a 垂直于 内任一直线，所以 正确；由 b 得 内存在一直线 l 与 b 平行，在 内作直线 m l，则 m b， m a，再将 m 平移得到直线 c，使 c? 即可，所以 正确；由面面垂直的判定定理可得 不正确；若 b ，则由 b 得 内存在一条直线 l 与 b 平行，必有 l ，即有 ，而 b 的平面 有无数个，所以 正确 答案 14如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为 BC 的中点，点 P 在线 段 D1E 上点P 到直线 CC1的距离的最小值为 _ 解析 点 P 到直线 CC1的距离等于点 P 在平面 ABCD 上的射影到点 C 的距离，设点 P在平面 ABCD上的射影为 P ，显然点 P到直线 CC1的距离的最小值为 P C的长度的最小值当P C DE 时， P C 的长度最小，此时 P C 2122 1 2 55 . 答案 2 55 15
