1、=【 ;精品 教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (四十一 ) 空间几何体的表面积和体积 基础巩固 一、选择题 1如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为 8 2的矩形则该几何体的表面积是 ( ) A 8 B 20 8 2 C 16 D 24 8 2 解析 由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，其侧棱为 4，故其表面积 S 表 24 24 2 24 12222 20 8 2. 答案 B 2 已知三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为 1，且 AA1 底面 ABC，则三棱锥 B1 ABC1的体积为 ( ) A. 312 B. 34 C. 612 D. 64 解析 VB1
2、 ABC1 VC1 ABB1 13 1211 32 312. =【 ;精品 教育资源文库 】 = 答案 A 3 (2015 全国卷 )九章算术是我 国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？ ” 其意思为： “ 在屋内墙角处堆放米 (如图，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ ” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有 ( ) A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 解析 米堆的体积为 14 13 ? ?84
3、2 25 3203 .将 3代入上式，得体积为 3209 立方尺从而这堆米约有 32091.62 22( 斛 ) 答案 B 4 (2017 河北唐山二模 )一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为 ( ) A 24 B 24 3 C 24 D 24 2 解析 由三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体挖去右下方 18球后得到的几何体，=【 ;精品 教育资源文库 】 = 该球以顶点为球心， 2 为半径，则该几何体 的表面积为 226 3 142 2 1842 2 24 ，故选 A. 答案 A 5 (2017 浙江卷 )某几何体的三视图如图所示 (单位： cm)，则该几何体的体积 (单位：
4、cm3)是 ( ) A. 2 1 B. 2 3 C.32 1 D.32 3 解析 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积 V 13 123 13 12213 2 1，故选 A. 答案 A 6 (2017 全国卷 )某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ( ) A 10 B 12 C 14 D 16 =【 ;精品 教育资源文库 】 = 解析 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面
5、是一个底面是 等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为 2，直三棱柱的高为 2，三棱锥的高为 2，易知该多面体有 2 个面是梯形，这些梯形的面积之和为2 2 12，故选 B. 答案 B 二、填空题 7 (2017 天津卷 )已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 _ 解析 由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为 3.设该正方体外接球的半径为 R，则 2R 3， R 32，所以这个球的体积为 43 R3 43 278 92 . 答案 92 8下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是 _ 解析 该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直
6、观图如图所示， (半 )球的半径为 1，长方体的长、宽、高分别为 2、 2、 1， =【 ;精品 教育资源文库 】 = 该几何体的表面积为： S 16 1241 2 1 2 16 . 答案 16 9 (2017 山东卷 )由一个长方体和两个 14圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _ 解析 由三视图可知，该组合体中的长方体的长、宽、高分别为 2,1,1，其体积 V1 211 2； 两个 14圆柱合起来就是圆柱的一半，圆柱的底面半径 r 1，高 h 1，故其体积 V2 121 21 2. 故该几何体的体积 V V1 V2 2 2. 答案 2 2 三、解答题 10如图，在四边形
7、 ABCD 中， DAB 90 ， ADC 135 ， AB 5， CD 2 2， AD 2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积 解 由已知得： CE 2， DE 2， CB 5， S 表面 S 圆台侧 S 圆台下底 S 圆锥侧 (2 5)5 25 22 2 (60 4 2) ， =【 ;精品 教育资源文库 】 = V V 圆台 V 圆锥 13(2 2 5 2 225 2 2)4 132 22 1483 . 能力提升 11 (2015 全国卷 )已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB 90 ， C 为该球面上的动点若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36
8、，则球 O 的表面积为 ( ) A 36 B 64 C 144 D 256 解析 如图，设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球 O 的半径为 R，因为 AOB 90 ，所以 S OAB 12R2，要使 VO ABC 13 S OAB h 最大，则 OA， OB， OC 应两两垂直，且 (VO ABC)max 13 12R2 R 16R3 36，此时 R 6，所以球 O 的表面积为 S 球 4 R2 144. 故选 C. 答案 C 12 (2017 重庆诊断 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A.3 32 B 2 3 C.5 32 D 3 3 解析 该几何体的直观图是如
9、图所示的不规则几何体 ABB1DC1C，其体积是底边边长为2 的等边三角形，高为 3 的正三棱柱 ABC A1B1C1的体积减去三棱锥 A A1C1D 的体积，即 3 3=【 ;精品 教育资源文库 】 = 133 32 5 32 . 答案 C 13 (2017 河南南阳一中四模 )球 O 为正方体 ABCD A1B1C1D1 的内切球， AB 2， E， F分别为棱 AD， CC1的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段长为 _ 解析 设 EF 与球面交于 M， N 两点，因为 AB 2， E， F 分别为棱 AD， CC1的中点，所以 EF 6， OE OF 2，取 EF 中点 O ，则
10、O F 62 ，所以 OO 2 2 ? ?62 2 22 .由球 O 为正方体 ABCD A1B1C1D1的内切球，可得 ON 1，由勾股定理得 O N 22 ，故MN 2.所以直线 EF 被球 O 截得的线段长为 2. 答案 2 14如图所示，在四棱锥 P ABCD 中 ，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PD 底面 ABCD，且 PD 2， PA PC 2 2，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是 _ =【 ;精品 教育资源文库 】 = 解析 由已知得， PAD， PDC， PAB， PBC 都是直角三角形设内切球的球心为 O，半径为 R，连接 OA， OB， OC， OD
11、， OP，易知 VP ABCD VO ABCD VO PAD VO PAB VO PBC VO PCD，即 132 22 132 2 R 13 122 2 R 13 122 22 R 13 122 22 R 13 122 2 R，解得 R 2 2，所以此球的最大半径是 2 2. 答案 2 2 15如图，在直三棱柱 ABC A B C 中， ABC 为等边三角形， AA 平面 ABC， AB 3， AA 4， M 为 AA 的中点， P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC 到 M 的最短路线长为 29，设这条最短路线与 CC 的交点为 N，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线
12、长； (2)PC 与 NC 的长； (3)三棱锥 C MNP 的体积 解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形，故对角线长为 42 92 97. (2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB 展开，如 下 图， =【 ;精品 教育资源文库 】 = 设 PC x，则 MP2 MA2 (AC x)2. MP 29， MA 2， AC 3， x 2， 即 PC 2. 又 NC AM，故 PCPA NCAM，即 25 NC2. NC 45. (3)S PCN 12 CP CN 122 45 45. 在三棱锥 M PCN 中， M 到面 PCN 的距离， 即 h 32 3 3 32 . VC
13、 MNP VM PCN 13 h S PCN 13 3 32 45 2 35 . 16 (2017 全国卷 )如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， AD CD. (1)证明： AC BD； (2)已知 ADC 是正三角形， AB BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 解 (1)证明： =【 ;精品 教育资源文库 】 = 取 AC 的中点 O，连接 BO、 DO，如图所示 因为 AD CD，所以 AC DO.又由于 ABC 是正三角形， 所以 AC BO. 从而 AC 平面 DOB，故 AC BD. (2)
14、连接 EO. 由 (1)及题设知， ADC 90 ，所以 DO AO. 在 Rt AOB 中， BO2 AO2 AB2.又 AB BD，所以 BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故 DOB 90. 由题设知 AEC 为直角三角形，所以 EO 12AC. 又 ABC 是正三角形，且 AB BD，所以 EO 12BD. 故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 12，四面体 ABCE的体积为四面体 ABCD 的体积的 12，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 1 1. 延伸拓展 (2017 安徽蚌埠一模 )如图所示，用一边长为 2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为 4
