1、=【 ;精品教育资源 文库 】 = 热点探究训练 (四 ) 立体几何中的高考热点问题 (对应学生用书第 260 页 ) 1 (2018 临沂模拟 )如图 7，在直角梯形 ABCD 中， AB CD， AB 2CD， BCD 90 ， BCCD， AE BE， ED 平面 ABCD (1)若 M 是 AB 的中点，求证：平面 CEM 平面 BDE； (2)若 N 为 BE 的中点，求证： CN 平面 ADE. 【导学号： 00090262】 图 7 证明 (1) ED 平面 ABCD， ED AD， ED BD， AE BE， ADE BDE，则 AD BD 2 分 连接 DM，则 DM AB，
2、 AB CD， BCD 90 ， BC CD， 四边形 BCDM 是正方形，则 BD CM. 4 分 又 DE CM， CM 平面 BDE， CM 平面 CEM， 平面 CEM 平面 BDE； 6 分 (2)由 (1)知， AB 2CD，取 AE 中点 G，连接 NG， DG， 在 EBA 中， N 为 BE 的中点， NG AB 且 NG 12AB， 8 分 又 AB CD，且 AB 2CD， NG CD，且 NG CD， 又四边形 CDGN 为平行四边形， CN DG.10 分 又 CN 平面 ADE， DG 平面 ADE， CN 平 面 ADE. 12 分 2 (2017 合肥质检 )如
3、图 8，直角三角形 ABC 中， A 60 ，沿斜边 AC 上的高 BD 将 ABD折起到 PBD 的位置，点 E 在线段 CD 上 =【 ;精品教育资源 文库 】 = 图 8 (1)求证： BD PE； (2)过点 D 作 DM BC 交 BC 于点 M，点 N 为 PB 的中点，若 PE 平面 DMN，求 DEDC的值 解 (1)证明： BD PD， BD CD 且 PD DC D， BD 平面 PCD，而 PE 平面 PCD， BD PE. 5 分 (2)由题意得 BM 14BC， 取 BC 的中点 F，则 PF MN， PF 平面 DMN， 7 分 由条件 PE 平面 DMN， PE
4、PF P， 平面 PEF 平面 DMN， EF DM. 10 分 DEDC MFMC 13. 12 分 3 (2017 西安调研 )如图 9 ，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， BAD 2 ， AB BC 12ADa， E 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点将 ABE 沿 BE 折起到图 9 中 A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE. 图 9 (1)证明： CD 平面 A1OC； (2)当平面 A1BE 平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2，求 a 的值 =【 ;精品教育资源 文库 】 = 解 (1)证明：在图 中，因为 AB BC 12A
5、D a， E 是 AD 的中点， BAD 2 ，所以BE AC 2 分 则在图 中， BE A1O， BE OC，且 A1O OC O， 从而 BE 平面 A1OC 又 CD BE，所以 CD 平面 A1OC 5 分 (2)由已知，平面 A1BE 平面 BCDE， 且平面 A1BE 平面 BCDE BE， 又由 (1)可得 A1O BE， 所以 A1O 平面 BCDE. 8 分 即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高 由图 知， A1O 22 AB 22 a，平行四边形 BCDE 的面积 S BC AB a2， 从而四棱锥 A1BCDE 的体积为 V 13S A1O 13 a2 22 a 2
6、6 a3. 由 26 a3 36 2， 得 a 6. 12 分 4 (2017 贵阳模拟 )已知如图 10， ABC 和 DBC 所在的平面互相垂直 ， 且 AB BC BD 1， ABC DBC 120. 图 10 (1)在直线 BC 上求作一点 O，使 BC 平面 AOD，写出作法并说明理由； (2)求三棱锥 ABCD 的体积 解 (1)作 AO BC，交 CB 延长线于点 O，连接 DO，则 BC 平面 AOD 1 分 证明如下： =【 ;精品教育资源 文库 】 = AB DB， OB OB， ABO DBO， AOB DOB， 3 分 则 AOB DOB 90 ，即 OD BC 又 A
7、O OD O， BC 平面 AOD 5 分 (2) ABC 和 DBC 所在的平面互相垂直， AO 平面 BCD，即 AO 是三棱锥 ABCD 底面 BCD 上的高， 7 分 在 Rt AOB 中， AB 1， ABO 60 ， AO ABsin 60 32 . 10 分 又 S BCD 12BC BDsin CBD 34 ， V 三棱锥 ABCD 13 S BCD AO 13 34 32 18. 12 分 5. 如图 11，三棱锥 PABC 中， PA 平面 ABC， PA 1， AB 1， AC 2， BAC 60. 图 11 (1)求三棱锥 PABC 的体积； (2)在线段 PC 上是否
8、存在点 M，使得 AC BM，若存在点 M，求出 PMMC的值；若不存在，请说明理由 【导学号： 00090263】 解 (1)由题知 AB 1， AC 2， BAC 60 ， 可得 S ABC 12 AB ACsin 60 32 . 2 分 =【 ;精品教育资源 文库 】 = 由 PA 平面 ABC，可知 PA 是三棱锥 PABC 的高又 PA 1， 所以三棱锥 PABC 的体积 V 13 S ABC PA 36 . 5 分 (2)证明：在平面 ABC 内，过点 B 作 BN AC，垂足为 N.在平面 PAC 内，过点 N 作 MN PA交 PC 于点 M，连接 BM. 7 分 由 PA 平
9、面 ABC 知 PA AC，所以 MN AC 由于 BN MN N，故 AC 平面 MBN. 又 BM 平面 MBN，所以 AC BM. 10 分 在 Rt BAN 中， AN ABcos BAC 12， 从而 NC AC AN 32.由 MN PA，得 PMMC ANNC 13. 12 分 6. (2015 湖南高考 )如图 12，直三棱柱 ABCA1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形， E， F 分别是 BC， CC1的中点 图 12 (1)证明：平面 AEF 平面 B1BCC1； (2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角为 45 ，求三棱锥 FAEC 的体积 解 (1)证明
10、：如图，因为 三棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 AE BB1. 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 AE BC 3 分 因此 AE 平面 B1BCC1. 而 AE 平面 AEF，所以平面 AEF 平面 B1BCC1. 5 分 (2)设 AB 的中点为 D，连接 A1D， CD 因为 ABC 是正三角形，所以 CD AB 又三棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CD AA1. 因此 CD 平面 A1ABB1，于是 CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角 . 8 分 由题设， CA1D 45 ，所以 A1D CD 32 AB 3. =【 ;精品教育资源 文库 】 = 在 Rt AA1D 中， AA1 A1D2 AD2 3 1 2，所以 FC 12AA1 22 . 故三棱锥 FAEC 的体积 V 13S AEC FC 13 32 22 612. 12 分
