1、1.2直线的方程12.1直线的点斜式方程学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题导语斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索的位置确定吗？一、直线的点斜式方程问题1给定一个点P1(x1，y1)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线怎样将直线上不同于P1的所有点的坐标P(x，y)满足的关系表达出来提示k.知识梳理我们把方程yy1k(xx1)称为过点P1(x1
2、，y1)，斜率为k的直线l的方程方程yy1k(xx1)叫作直线的点斜式方程注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为yy1.特别地，x轴的方程是y0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程此时可将方程写成xx1.特别地，y轴的方程是x0.例1写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点(2,5)，倾斜角为45；(2)直线yx1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90后得直线l，求直线l的点斜式方程；(3)经过点C(1，1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直解(1)因为倾斜角为45，所以斜率ktan
3、451，所以直线的方程为y5x2.(2)直线yx1的斜率k1，所以倾斜角为45.由题意知，直线l的倾斜角为135，所以直线l的斜率ktan 1351.所以直线的方程为y4(x3)(3)由题意知，直线的斜率ktan 00，所以直线的点斜式方程为y(1)0，即y1.(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x1，该直线没有点斜式方程. 反思感悟求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)定斜率k写出方程yy1k(xx1)(2)点斜式方程yy1k(xx1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但xx1除外跟踪训练1求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(
4、2，3)，倾斜角是直线yx的倾斜角的2倍；(2)经过点P(5，2)，且与y轴平行；(3)过P(2,3)，Q(5，4)两点解(1)直线yx的斜率为，直线yx的倾斜角为30.所求直线的倾斜角为60，故其斜率为.所求直线方程为y3(x2)，即xy230.(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x5.(3)过P(2,3)，Q(5，4)两点的直线斜率kPQ1.直线过点P(2,3)，由直线的点斜式方程可得直线方程为y3(x2)，即xy10.二、直线的斜截式方程问题2直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程提示ykxb.知识梳理1
5、直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距2把方程ykxb叫作直线的斜截式方程注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是ykxb的形式，但有区别：当k0时，ykxb为一次函数；当k0时，yb，不是一次函数故一次函数ykxb(k0)一般可看成一条直线的斜截式方程例2根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是
6、3；(2)倾斜角是60，在y轴上的截距是5；(3)过点A(1，2)，B(2,3)解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y3x3.(2)倾斜角是60，斜率ktan 60，由斜截式可得方程为yx5.(3)斜率为k5，由点斜式得y35(x2)，化为斜截式为y5x7.反思感悟求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在(2)直线的斜截式方程ykxb中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可跟踪训练2(1)写出直线斜率为1，在y轴上截距为2的直线的斜截式方程；(2)求过点A(6，4)，斜率为的直线的斜截式方程；(3)已知直线l的方程为2xy10，求直线的
7、斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标解(1)易知k1，b2，故直线的斜截式方程为yx2.(2)由于直线的斜率k，且过点A(6，4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y4(x6)，化成斜截式为yx4.(3)直线方程2xy10可化为y2x1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k2，在y轴上的截距b1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)三、点斜式直线方程的应用例3(1)(多选)在同一直角坐标系中，下列选项能正确表示直线yax与yxa的是()答案BC解析当a0时，直线yax的倾斜角为锐角，直线yxa在y轴上的截距a0，B成立；当a0时，直线yax的倾斜角为0，A，B，C，D都不成立；当a0时，直线ya
8、x的倾斜角为钝角，直线yxa的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a0)有两个公共点，则a的取值范围是()Aa1 B0a1Ca1 D0a1答案A解析yxa(a0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a0)的直线，ya|x|表示关于y轴对称的两条射线所以当01时，有两个公共点，如图.(2) 已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程解设直线l的斜截式方程为yxb，则x0时，yb；y0时，x6b.由已知可得|b|6b|3，即b21，所以b1.从而所求直线l的方程为yx1或yx1.1知识清单：(1)直线的点斜式方程(2)直线的斜截式方程2方法归纳：待定系数法、数形结合法3常见误区：
9、求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离1方程yk(x2)表示()A通过点(2,0)的所有直线B通过点(2,0)的所有直线C通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D通过点(2,0)且除去x轴的所有直线答案C解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴2已知直线l的方程为y(x1)，则l在y轴上的截距为()A9 B9 C. D答案B解析由y(x1)，得yx9，l在y轴上的截距为9.3已知直线l的倾斜角为60，且在y轴上的截距为2，则此直线的方程为()Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx2答案D解析60，ktan 60，直线l的方程为yx2.4若直线ykxb通过第一、
10、三、四象限，则有()Ak0，b0 Bk0，b0Ck0 Dk0，b0，b0时，直线在y轴上的截距0，此时直线yax过第一、二、三象限；当a0时，直线在y轴上的截距0，此时直线yax过第二、三、四象限，只有选项B符合5(多选)直线(m22m)x(2m2m3)y4m1在y轴上的截距为1，则m的值可以是()A2 B C. D2答案CD解析令x0，得y.由已知得1，则4m12m2m3，即2m25m20，解得m2或m(符合题意)6已知直线kxy13k0，当k变化时，所有的直线恒过定点()A(1,3) B(1，3)C(3,1) D(3，1)答案C解析直线kxy13k0变形为y1k(x3)，由直线的点斜式可得
11、直线恒过定点(3,1)7在y轴上的截距为6，且与y轴相交成30角的直线的斜截式方程是_答案yx6或yx6解析因为直线与y轴相交成30角，所以直线的倾斜角为60或120，所以直线的斜率为或，又因为在y轴上的截距为6，所以直线的斜截式方程为yx6或yx6.8与直线l：yx1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为_答案yx3解析根据题意知直线l的斜率k，故直线l1的斜率k1.设直线l1的方程为yxb，则令y0，得它在x轴上的截距为b.又直线l在y轴上的截距为b，bbb1，b3.直线l1的方程为yx3.9直线l过点(2,2)，且与x轴和直线yx围成的三角形的面积为2，求直线l的方程解当直线
12、l的斜率不存在时，l的方程为x2，经检验符合题目的要求当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x2)，即ykx2k2.令y0，得x，由三角形的面积为2，得22.解得k.可得直线l的方程为y2(x2)综上可知，直线l的方程为x2或y2(x2)10已知ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1,1)，B(5,1)，A45，B45.求：(1)直线AB的方程；(2)直线AC和BC的方程解(1)因为A(1,1)，B(5,1)，所以直线AB平行于x轴，所以直线AB的方程为y1.(2)由题意知，直线AC的倾斜角为A45，所以kACtan 451.又直线AC过点A(1,1)，所以直线AC的方程为y11(x1
13、)，即yx.同理可知，直线BC的倾斜角为180B135，所以kBCtan 1351.又直线BC过点B(5,1)，所以直线BC的方程为y11(x5)，即yx6.11已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b0)，则()Akb0 Dkb0答案B解析当k0时，直线l不经过第三象限，k0，kb0时，l也不过第三象限，kb0.12次函数yx的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()Am1，且n1 Bmn0，且n0 Dm0，且n0，0，n0，此为充要条件因此，其必要不充分条件为mn0.13(多选)下列结论正确的是()A方程k与方程y2k(x1)可表示同一直线B直线l过点P(x1
14、，y1)，倾斜角为90，则其方程是xx1C直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是yy1D所有的直线都有点斜式和斜截式方程答案BC解析对于A，方程k表示的直线不含点(1,2)，所以A错误；B，C显然正确；对于D，当直线的倾斜角为90时，直线的斜率不存在，此时它的方程不能用点斜式和斜截式表示，所以D错误14将直线yx1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15，所得到的直线的点斜式方程是_答案y(x1)解析由yx1得直线的斜率为1，倾斜角为45.沿逆时针方向旋转15后，倾斜角变为60，所求直线的斜率为.又直线过点(1，)，由直线的点斜式方程可得y(x1)15已知直线l过点P(2,1)，且直
15、线l的倾斜角为直线yx的倾斜角的2倍，则直线l的点斜式方程为_答案y1(x2)解析由yx，得斜率为，设直线yx的倾斜角为，直线l的倾斜角为，斜率为k，则tan ，ktan tan 2.又直线l过点P(2,1)，所以直线l的点斜式方程为y1(x2)16已知直线l：ykx2k1.(1)求证：直线l恒过一个定点；(2)当3x3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围(1)证明由ykx2k1，得y1k(x2)由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(2,1)(2)解设函数f(x)kx2k1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当3x3时，直线上的点都在x轴上方，需满足即解得k1.所以实数k的取值范围是.
