1、1.1直线的斜率与倾斜角学习目标1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率导语我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？一、直线的斜率问题1交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数
2、)，则坡度k.若k0，则表示上坡，若k0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？提示坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦问题2若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1x2时，你能用一个量反应直线l的倾斜程度吗？提示可以用的符号及大小反应直线l的倾斜程度问题3运用k(x1x2)计算直线AB的斜率时，需要考虑A，B的顺序吗？提示kABkBA，所以直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关知识梳理对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(1)如果x1x2：由相似三角形的知识可知，是一个定值，我
3、们将其称为直线l的斜率k(x1x2)直线的斜率也可以看作k.(2)如果x1x2，那么直线l的斜率不存在注意点：直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式例1如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(2，1)，Q2(4，2)，Q3(3,2)(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；(2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率解(1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在设它们的斜率分别为k1，k2，k3.则由斜率公式得k1，k24，k30.(2)当a3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在当a3时，其斜率k.反思感悟(1)若给出两个点的横
4、坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”(2)由例题中图可以看出：当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合跟踪训练1经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(2,3)，D(2，1)；(3)P(3,1)，Q(3,10)；(4)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率解(1)存在直线AB的斜率kAB1.(2)存在直线CD的斜率kCD1.(3)不存在因为xPxQ3，所以直线PQ的斜率不存在
5、(4)当a3时，斜率不存在；当a3时，直线的斜率k.二、直线的倾斜角知识梳理1直线的倾斜角(1)倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角称为这条直线的倾斜角(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0.(3)倾斜角的范围为0，)2直线的倾斜角与斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为，则：(1)当y1y2时(此时必有x1x2)，0.(2)当x1x2时(此时必有y1y2)，90.(3)当x1x2且y1y2时，tan .例2
6、(1)(多选)下列命题中，正确的是()A任意一条直线都有唯一的倾斜角B一条直线的倾斜角可以为30C倾斜角为0的直线有无数条D若直线的倾斜角为，则sin (0,1)答案AC解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确D中，当0时，sin 0；当90时，sin 1，故D错误(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为()A45 B135C135 D45答案AB解析根据题意，画出图形，如图所示通过图象可知，当0135，l1的倾斜角为45；当13
7、5180时，l1的倾斜角为45180135.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论(2)注意倾斜角的范围跟踪训练2已知直线l1的倾斜角为115，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120，如图所示，求直线l2的倾斜角解l1与l2向上的方向之间所成的角为120，l2与x轴交于点B，倾斜角ABx12015135.三 、倾斜角和斜率的应用问题4当直线的倾斜角由0逐渐增大到180，其斜率如何变化？为什么？提示当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，
8、斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大知识梳理设直线的倾斜角为，斜率为k.的大小009090900不存在k0k的增减性随的增大而增大随的增大而增大注意点：正切函数在0，)上不单调例3已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解如图，由题意可知kPA1，kPB1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(，11，)(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.反思感悟倾斜角和斜率的应用(
9、1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解跟踪训练3已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围解(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB.直线AC的斜率kAC.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.1知识清单：(1)直线斜率的定义和斜率公式(2)直线的倾斜角及其范围2方法归纳：数形结合3常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清
10、1(多选)下列说法正确的是()A若是直线l的倾斜角，则0180B若k是直线的斜率，则kRC任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角答案ABC2若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45，则m等于()A2 B1 C1 D2答案A解析由题意知，tan 45，得m2.3若A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为_答案解析设直线AB，BC的斜率分别为kABkBC，则由斜率公式，得kAB1，kBC(m2)A，B，C三点共线，kABkBC，即1(m2)，解得m.4经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角的取值范围是_(其中m1)答案
11、01时，tan 0，090.故090.课时对点练1下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()A(4,2)与(4,1) B(0,3)与(3,0)C(3，1)与(2，1) D(2,2)与(2,5)答案D解析D项，因为x1x22，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90，斜率不存在2(多选)已知直线斜率的绝对值为，则直线的倾斜角可以为()A30 B60 C120 D150答案BC解析由题意得直线的斜率为或，故直线的倾斜角为60或120.3已知经过点P(3，m)和点Q(m，2)的直线的斜率为2，则m的值为()A1 B1 C2 D.答案D解析由2，得m.4若某直线的斜率k(，则该直线的倾斜角的取值范围是()
12、A. B.C. D.答案C解析直线的斜率k(，ktan ，该直线的倾斜角的取值范围是.5若A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为()A2 B2 C. D答案C解析因为A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，所以kABkAC，即，所以，解得m.6直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是()A0,2 B0,1C. D.答案A解析如图所示，当直线l在l1的位置时，ktan 00；当直线l在l2的位置时，k2，故直线l的斜率的取值范围是0,27已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135，则点P的坐标为_答案(3,0)或(0,3)解析
13、由题意知，kPA1，若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m1)，则1，解得m3，即P(3,0)若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)，则1，解得n3，即P(0,3)综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3)8若经过点A(1t,1t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是_答案(2,1)解析由题意知，kAB.因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB0，解得2t0，即0，解得1m1.10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知BOD60，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率解在菱形OBCD中，ODBC，BOD60，所以直
14、线OD，BC的倾斜角相等，都为60，所以kODkBCtan 60.因为CDOB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0，所以kOBkCD0，由菱形的性质，知COB30，OBD60，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30，120，所以kOCtan 30，kBDtan 120.11如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是()A2 B1 C1 D2答案B解析设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A (a2，b2)，于是直线l的斜率kkAA1.12已知点A(2,3)，B(3，2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是()A. B.C. Dk|kbc0，则，的大小关系为()A. B.C. D.bc0，所以.故选B.16已知实数x，y满足方程x2y6，当1x3时，求的取值范围解的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率因为点M在函数x2y6的图象上，且1x3，所以可设该线段为AB，且A，B，又kNA，kNB，所以的取值范围是.
