1、直线与方程章末复习课一、求圆的方程1求圆的方程的两种方法直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程待定系数法(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值2确定圆心位置的三种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线3通过求圆的方程，体现了数学运算与逻辑推理的核心素养例1求圆心在直线3x4y10上，且经
2、过两圆x2y2xy20与x2y25的交点的圆的方程解方法一设所求圆的方程为x2y2xy2(x2y25)0，化为一般方程得x2y2xy0.故圆心坐标为，代入直线3x4y10，得.再把代入所设方程，得x2y22x2y110，故所求圆的方程为x2y22x2y110.方法二解方程组得两圆的交点为A(1，2)和B(2，1)设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.A，B在圆上，且圆心在直线3x4y10上，解得所求圆的方程是x2y22x2y110.反思感悟求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当
3、已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答过两个已知圆x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)跟踪训练1圆心在直线5x3y8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程解设所求圆的标准方程为(xx0)2(yy0)2r2(r0)因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0y00或x0y00.又圆心在直线5x3y8上，所以5x03y08.由得由得所以圆心坐标为(4,4)或(1，1)，相应的半径为r4或r1，故所求圆的标准方程为(x4)2(y4)216或(x1)2
4、(y1)21.二、直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dr，则直线和圆相离(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为.0直线与圆相切；0直线与圆相交；0直线与圆相离2圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径和与差的大小关系来判断两圆的位置关系3直线与圆、圆与圆的位置关系的转化，体现了直观想象、逻辑推理的数学核心素养例2已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且AB2，求直线l的方程解(1)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y3k(x2
5、)，即kxy32k0.示意图如图，作MCAB于C. 在RtMBC中，BCAB，MB2，故MC1，又M(1,1)，故由点到直线的距离公式得1，解得k.故直线l的方程为3x4y60.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，且AB2，所以符合题意综上所述，直线l的方程为3x4y60或x2.反思感悟(1)判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题跟踪训练2已知圆C1：x2y22x0，圆C2：x2y2
6、2x2y20.(1)求圆C1和圆C2的公共弦长；(2)过点C1的直线l交圆C2于A，B，且AB，求直线l的方程解(1)两圆相减可得2xy10，圆C1的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线的距离d，所以圆C1和圆C2的公共弦长2.(2)圆C2的圆心为(1,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为，由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0，所以，所以k1或，所以直线l的方程为yx1或y(x1)三、轨迹问题1求与圆有关的轨迹问题的四种方法2通过求圆的轨迹问题，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养例3如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O24，过动点P分别作圆O1、圆O2的
7、切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PMPN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程解如图，以O1O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则O1(2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)在RtPMO1中，PM2PO121，在RtPNO2中，PN2PO221.又因为PMPN，所以PM22PN2，即PO12(PO1)，即PO12PO，所以(x2)2y212(x2)2y2，整理得x2y212x30，即为所求点P的轨迹方程反思感悟(1)求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代入法等(2)求轨迹方程的步
8、骤：建系设点；列出动点满足的轨迹条件；把轨迹条件坐标化；化简整理；检验在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分跟踪训练3等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么解设另一端点C的坐标为(x，y) .依题意，得ACAB.由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210.这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线即点B，C不能重合且B，C不能为圆A的一直径的两个端点所以点C不能为(3,5)，且4，2，即点C不能为(5，1)故端点C的轨迹方程是(x4)2
9、(y2)210(除去点(3,5)和(5，1)综上，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，1)两点1若直线3x4ym0与圆x2y22x4y10没有公共点，则实数m的取值范围是()A5m15 Bm15Cm13 D4m2，m15.故选B.2若直线xy30截圆x2y22x4ym0所得弦长为6，则实数m的值为()A1 B2 C4 D31答案C解析圆的方程可化为(x1)2(y2)25m，圆心(1，2)，设圆心到直线的距离为d，则d0，因此弦长6就是直径2r，r3.r25m9m4，故选C.3(多选)点P是直线xy30上的动点，由点P向圆O：x2y24作切线，则切线长可能为()
10、A. B. C1 D.答案ACD解析根据题意，由点P向圆O：x2y24作切线，设T为切点，圆O：x2y24，其圆心为(0,0)，半径r2，则切线长PT，当PO最小时，PT最小，POmin，则PTmin，ACD选项中都满足PT，符合题意4(多选)以下四个命题表述正确的是()A直线mx4y120(mR)恒过定点(0,3)B圆C：x2y22x8y130的圆心到直线4x3y30的距离为2C圆C1：x2y22x0与圆C2：x2y24x8y40恰有三条公切线D两圆x2y24x4y0与x2y22x120的公共弦所在的直线方程为x2y60答案AC解析对于A选项，当x0时y3，所以直线过定点(0,3)，故A选项正确；对于B选项，圆C的圆心为(1,4)，到直线4x3y30的距离为1，故B选项错误；对于C选项，圆C1的圆心为(1,0)，半径r11；圆C2的圆心为(2,4)，半径r24.圆心距为5r1r2，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故C正确；对于D选项，由两式相减并化简得x2y60，故D选项错误
