1、第2课时两平行直线间的距离学习目标1.理解两条平行直线间的距离公式的推导.2.会求两条平行直线间的距离导语前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的一、两条平行直线间的距离问题1已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？提示根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离问题2怎样求两条平行直线AxByC10与AxByC20间的距离？提示在直线AxByC10上任取一点P(x
2、0，y0)，点P(x0，y0)到直线AxByC20的距离，就是这两条平行直线间的距离即d，因为点P(x0，y0)在直线AxByC10上，所以Ax0By0C10，即Ax0By0C1，因此d.知识梳理1两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长2公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20(A，B不同时为0，C1C2)之间的距离d.注意点：(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离(2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同例1(1)分别过点A(2,1)和点B(3，5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是_答案5解
3、析两直线方程分别是x2和x3，故两条直线间的距离d|23|5.(2)若倾斜角为45的直线m被直线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段为AB，则AB的长为()A1 B. C. D2答案B解析由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得AB.反思感悟求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求(2)公式法：设直线l1：AxByC10，l2：AxByC20，则两条平行直线间的距离d.跟踪训练1已知直线5x12y30与直线10xmy200平行，则它们之间的距离是()A1 B2 C. D4答
4、案A解析由两条直线平行可得，解得m24.则直线10x24y200，即5x12y100，由两条平行直线间的距离公式得d1.二、由平行直线间的距离求参数例2已知直线l与直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程是_答案2xy10解析方法一由题意可设l的方程为2xyc0，于是有，即|c3|c1|，解得c1，则直线l的方程为2xy10.方法二由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2xyc0，则c1.则直线l的方程为2xy10.反思感悟由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题跟踪训练2(1)已知两条平行直线l1：3x4y50，l2：6xbyc0间的距离为3
5、，则bc等于()A12 B48 C36 D12或48答案D解析将l1：3x4y50改写为6x8y100，因为两条直线平行，所以b8.由3，解得c20或c40，所以bc12或48.(2)(多选)若直线x2y10与直线x2yc0的距离为2，则实数c的值为()A9 B9 C11 D11答案BC解析直线x2y10与直线x2yc0的距离为2，2，解得c11或c9.三、平行直线间的距离的最值问题例3两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(3，1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程解(1)如图，显然有00)在x轴、y轴上的
6、截距相等，则直线l1与直线l2：xy10间的距离为()A. B.C.或 D0或答案B解析直线l1：mx2y4m0(m0)在x轴、y轴上的截距相等，m2，直线l1：2x2y420，即xy30，直线l1与直线l2平行，则直线l1与直线l2：xy10间的距离为.12(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(1,3)，Q(2，1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为 ()A1 B3 C5 D7 答案ABC解析当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为PQ5，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,513已知m，n，a，bR，且满足3m4n
7、6,3a4b1，则的最小值为_答案1解析设点A(m，n)，B(a，b)，直线l1：3x4y6，直线l2：3x4y1.由题意知点A(m，n)在直线l1：3x4y6上，点B(a，b)在直线l2：3x4y1上，AB，由l1l2，得ABmin1.14若某直线被两平行直线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为_答案15或75解析由两平行直线的距离公式，可得直线l1：xy10与l2：xy30的距离为d，又直线被两平行直线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30，又直线l1的倾斜角为45，则该直线的倾斜角大小为15或75.15.如
8、图，已知直线l1：xy10，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为_答案xy30解析设l2的方程为yxb(b1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)所以AD，BCb.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h(b1)，由梯形面积公式得4，所以b29，b3.又b1，所以b3.所以所求直线l2的方程是xy30.16已知三条直线l1：2xya0(a0)，直线l2：4x2y10和直线l3：xy10，且l1和l2的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到l1的距离是P点到l2的距离的；P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由解(1)l2的方程即为2xy0，l1和l2的距离d，.a0，a3.(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件，则P点在与l1和l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或c.2x0y00或2x0y00.若点P满足条件，由点到直线的距离公式，得，x02y040或3x020.点P在第一象限，3x020不符合题意联立方程解得x03，y0，应舍去联立解得x0，y0.P即为同时满足三个条件的点
