1、第2课时等比数列的判定与简单应用学习目标 1.体会等比数列与指数函数的关系. 2.掌握等比数列的判断及证明方法.3.掌握等比数列中的项的设法一、等比数列的通项公式与函数的关系问题1观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？提示由ana1qn1qn可知，当q0且q1时，等比数列的第n项an是指数型函数f(x)qx(xR)当xn时的函数值，即anf(n)知识梳理等比数列的通项公式与指数型函数的关系(1)当q0且q1时，等比数列an的第n项an是指数型函数f(x)qx(xR)当xn时的函数值，即anf(n)(2)任意指数型函数f(x)kax(k，a是常数，k0，a0且a1)，则f(
2、1)ka，f(2)ka2，f(n)kan，构成一个等比数列kan，其首项为ka，公比为a.注意点：(1)a10，q1时，数列为正项的递增等比数列；(2)a10,0q1时，数列为正项的递减等比数列；(3)a11时，数列为负项的递减等比数列；(4)a10,0q1时，数列为负项的递增等比数列；(5)q1时，数列为常数列；(6)q1”是“数列是递增数列”的()A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分又不必要条件答案D解析当a11时，数列为递减数列，即充分性不成立；当“数列是递增数列”时，可能是a10,0q1”是“数列是递增数列”的既不充分又不必要条件延伸探究1.若为等比数列，则“a1a
3、3a5”是“数列是递增数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析若等比数列是递增数列，可得a1a3a5一定成立；反之：例如数列，此时满足a1a3a5，但数列不是递增数列，所以“a1a3a5”是“数列是递增数列”的必要不充分条件2设是等比数列，则“a1a2”是“数列是递增数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析设等比数列的公比为q，则a10，解得或此时数列不一定是递增数列；若数列为递增数列，可得或所以“a11，a10或0q1，a11，a10或0q0时，an是递减数列(3)当q1时，an是常数列；当q
4、an1，a43，a172，q13，则.二、等比数列的判定与证明问题2若数列的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？提示不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性知识梳理证明等比数列的方法1定义法：q(nN*且n2，q为不为0的常数)；2等比中项法：aan1an1(nN*且n2且an0)；3通项公式法：ana1qn1.注意点：用定义法证明时，和中的n的范围不同例2已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN*)(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列(1)解由S1(a11)，得a1(a11)，a1.又S2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)证明当n2时
5、，anSnSn1(an1)(an11)，得.又a1，所以an是首项为，公比为的等比数列反思感悟判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列an满足q(nN*，q为常数且不为零)或q(n2，且nN*，q为常数且不为零)，则数列an是等比数列(2)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列(3)等比中项法：若aanan2(nN*且an0)，则数列an为等比数列跟踪训练2数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(n1,2,3，)证明：数列是等比数列证明由a11，an1Sn，得an0，Sn0.由an1Sn，an1Sn1Sn，得(n2)Snn
6、(Sn1Sn)，整理，得nSn12(n1)Sn，所以2，则2.因为1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列三、等比数列中项的设法例3有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数解方法一设前三个数分别为，a，aq，则aaq216，所以a3216.所以a6.因此前三个数为，6,6q.由题意知第4个数为12q6.所以66q12q612，解得q.故所求的四个数为9,6,4,2.方法二设后三个数为4d,4,4d，则第一个数为(4d)2，由题意知(4d)2(4d)4216，解得4d6.所以d2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟几个数成
7、等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为，a，aq.推广到一般：奇数个数成等比数列设为，a，aq，aq2，(2)四个符号相同的数成等比数列设为，aq，aq3.推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为，aq，aq3，aq5，(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.跟踪训练3有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_答案45解析设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a1，aq1，aq24，aq313成等差数列即整理得解得a3，q2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.1知识清单：(1)等
8、比数列与函数的关系(2)等比数列的判定与证明(3)等比数列中项的设法2方法归纳：定义法、分类讨论3常见误区：四个数成等比数列时设成，aq，aq3，未考虑公比为负的情况1已知等比数列的公比为q，首项a10，则“q1”是“等比数列为递减数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析若q0.若a10，则ana1qn10，由an1an，所以q0，等比数列为递减数列0q0，“q1”是“等比数列为递减数列”的必要不充分条件2在数列中，如果an32n(n1,2,3，)，那么这个数列是()A公比为2的等比数列 B公差为3的等差数列C首项为3的等比数列 D首项为3的等
9、差数列答案C解析因为an32n(n1,2,3，)，所以a13，a21，an133n，则有，所以为等比数列，且公比q，首项a13.3在等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an等于()A(2)n1 B(2)n1C(2)n D(2)n答案A解析设公比为q，则a1q48a1q，又a10，q0，所以q38，q2，又a5a2，所以a20，a50，从而a10，即a11，故an(2)n1.4在数列中，a12,2an1an，则a6_.答案解析2an1an，a12，是等比数列，公比为q.a6a1q525.课时对点练1等比数列an的公比q，a1，则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动
10、数列答案D解析由公比q1，a7a81，0.则下列结论正确的是()A0q1Ca81 DTn的最大项为T7答案ABD解析a11，a7a81，1,0a81，A正确；B正确；C错误；D，T7是数列中的最大项，故正确7在数列中，a12，an13an，则an_.答案23n1解析因为an13an且a12，所以3，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以an23n1.8在九章算术中“衰分”是按比例递减分配的意思今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为_答案解析设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，2828q98，q2或.又0q1，an中有连续四项在集合54，24，18,
11、36,81中，则q等于()A B.C D.答案C解析an中的项必然有正有负，q1，q1.由此可得an的连续四项为24,36，54,81.q.12已知函数flogax，则下列条件能使数列成等比数列的是()Af2n Bfn2Cf2n Df答案C解析由flogax，令ylogax，可得xay，故对A，有an，非等比数列；对B，an，非等比数列；对C，an，为等比数列；对D，an，非等比数列13在等比数列中，首项a11 Bq1 C0q1 Dq0答案C解析先证必要性：a10，且是递增数列，an0，即q0，且q1，则此时公比q满足0q1；再证充分性：a10,0q1，an0，qan，则是递增数列，综上，是递
12、增数列的充要条件是公比q满足0q1.14在各项为正的递增等比数列中，a1a2a664，a1a3a521，则an_.答案2n1解析为等比数列，设其公比为q，a1a2a6aq63a64，则a34，a1a3a521，a3a3q221，即44q221，解得q2或q，又各项为正且递增，q2，ana3qn342n32n1.15已知数列的前n项和为Sn，且a11，an1Sn，若an(0,2 022)，则称项an为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的项数为()A10 B11 C12 D13答案C解析由a11，an1Sn，可得a2S1a11，当n2时，anSn1，又由an1Sn，两式相减，可得an1anSnSn
13、1an，即an12an，即2，则数列从第二项起是公比为2的等比数列，即an2n2，n2，又由an(0,2 022)，即2n22 022，可得n13，nN*，所以“和谐项”共有12项16设数列an是公比小于1的正项等比数列，已知a18，且a113,4a2，a39成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan(n2)，且数列bn是单调递减数列，求实数的取值范围解(1)设数列an的公比为q.由题意，可得an8qn1，且0q1.由a113,4a2，a39成等差数列，知8a230a3，所以64q308q2，解得q或(舍去)，所以an8n124n，nN*.(2)bnan(n2)(n2)24n，由bnbn1，得(n2)24n(n3)23n，即n1，所以(n1)min2，故实数的取值范围为(，2)
