1、4.3.3等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题导语在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任你知道这其中的缘由吗？其实这其中的缘由可由我们之前所学的指数函数来解释，还记得我们之前构造向家长索要零花钱的函数吗，原来我们想知道具体某一天你会得到多少钱，而现在我们想知道的是，经过一段时间，你一共获得了多少零花钱一、等比数列前n项和公式的推导问题1若等比数列的首项是a1，公
2、比是q，如何求该等比数列的前n项的和？提示思路一：因为Sna1a2a3an1an，所以Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得SnqSna1a1qn，即(1q)Sna1(1qn)，当q1时，有Sn，而当q1时，Snna1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”利用该公式，我们很容易解决一周能向家长要多少零花钱，S2222327282254.思路二：当q1时，由等比数列的定义得：q，根据等比数列的性质，有q，q(1q)Sna1anq，所以当q1时，Sn，该
3、推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用ana1qn1相互转化思路三：Sna1a2a3ana1q(a1a2an1)，所以有Sna1qSn1Sna1q(Snan)(1q)Sna1anq，所以当q1时，Sn或Sn，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决问题2同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？提示S64122223263264118 446 744
4、073 709 551 615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5 800亿年同学们，看来学好数学是多么的重要知识梳理等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式公式一Sn公式二Sn注意点：(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q1和q1进行分类讨论；(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数；(例如12222n)；(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项；(例如12222n)(4)等比数列前n项
5、和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数即SnAqnA.例1求下列等比数列前8项的和：(1)，；(2)a127，a9，q0.解(1)因为a1，q，所以S8.(2)由a127，a9，可得27q8.又由q0，因为a1a5a1，a3a1q21 ，所以111a1a5a11，解得或当a14，q时，S5，数列是递减数列；当a1，q2时，S5，数列是递增数列；综上，S5.7若等比数列an的前n项和Sn23nr，则r_.答案2解析Sn23nr，由等比数列前n项和的性质得r2.8设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1ab2ab3ab10_.答案1 033解析数列
6、是以2为首项，1为公差的等差数列，an21n1，是以1为首项，2为公比的等比数列，bn12n12n1，abn2n11，ab1ab2ab3ab10101 033.9已知等差数列的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)设bnan2n，求数列的前n项和Sn.解(1)设等差数列的公差为d，由题意，得解得或所以an或an233n5.(2)当an时，bn2n，此时Snb1b2bnn2n1n2；当an3n5时，bn2n，此时Snb1b2bnn2n1n2n2.10已知等差数列的前n项的和为Sn，且a35，S39.(1)求数列的通项公式；(2)若bn1，求数列的前n项和Tn.
7、解(1)设等差数列的公差为d，则解得故数列的通项公式为an12(n1)，即an2n1.(2)由(1)得bn13n1，所以Tnnn.11等比数列an的公比为q(q1)，则数列a3，a6，a9，a3n，的前n项和为()A. B.C. D.答案C解析依题意得等比数列an的通项ana1qn1，所以a3na1q3n1，因为q3，所以数列a3n是首项为a3，公比为q3的等比数列，因为q1，所以q31，所以数列a3n的前n项和为.12已知数列满足a1a2a3ann，记数列2ann的前n项和为Sn，则Sn等于()A2n B2n1C2n12 D2n2答案C解析因为a1a2a3ann，所以有a11，当n2，nN*
8、时，有a1a2a3an1n1，由得，an1an2n1，显然当n1时，也适合，所以an2n1(nN*)，令 2annbn，所以bn2nn，因此有Sn(21)(222)(233)(2nn)(222232n)(123n)2n122n12.13设f(n)223252722n7，则f(n)等于()A. B.C. D.答案D解析易知1,3,5,7，是首项为1，公差为2的等差数列，设该数列为，则am2m1，设an2n7，令2m12n7，mn4，f(n)是以2为首项，224为公比的等比数列的前n4项的和，f(n).14已知数列an的前n项和为Sn，a11,2Snan11，则Sn_.答案解析当n1时，则有2S1
9、a21，a22S112a113；当n2时，由2Snan11得出2Sn1an1，上述两式相减得2anan1an，an13an，得3且3，数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列，Sn.15已知数列：，的前n项和为Sn，则S120_.答案60解析将此数列分组，第一组：，共211项；第二组：，共221项的和；第三组：，共231项的和； 第n组：，共2n1项的和；由2n120，解得n6，因此前120项之和正好等于前6组之和，60.16已知数列an的通项公式为an求数列an的前n项和Sn.解当n为大于或等于3的奇数时，Sn113(6n5)(42444n1).当n1时，S1a11，上式同样成立当n为偶数时，Sn113(6n11)(42444n24n).综上，Sn
