1、习题课等比数列的综合问题学习目标1.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题. 2.理解等比数列的常用性质.3.掌握等比数列的判定及证明方法一、等比数列的实际应用例1某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值(1)用一个式子表示n(nN*)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，an，由题意，得a113.5，a213.5(110%)，a313.5(110%)2，.由等比数列的定义，知数列an是等比数列，首项a113.5，公比q110%0.9，ana1q
2、n113.50.9n1.n年后车的价值为an1(13.50.9n)万元(2)由(1)得a5a1q413.50.948.9(万元)，用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元反思感悟等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题跟踪训练1有纯酒精a(a1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精_升答案8解析由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，1为公比的等比数列，即第一次取出的纯酒精为1升，第二次取出的为升，第三次取出的为2升，第n次取出的纯酒精为n1升，则第九次和第十次
3、共取出纯酒精数量为a9a10898(升)二、等差数列与等比数列的转化问题1若等差数列an2n1，那么数列是等差或等比数列吗？提示设bn22n1，则bnbn122n122n122n1(41)322n1不是常数，故不是等差数列；而22n1(2n1)224，是常数，故是等比数列问题2若等比数列an2n，则lg an为等差数列吗？提示若等比数列an2n，则bnlg anlg 2nnlg 2是关于n的一次函数，是等差数列知识梳理1若数列是公差为d的等差数列，则数列是等比数列2若数列是公比为q(q0)的等比数列，则数列logaan是等差数列注意点：(1)其底数a满足a0，且a1；(2)等比数列的公比为ad
4、；(3)等差数列的公差为logaq.例2已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bn，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式解依题意得，an2(n1)(1)3n，于是bn3n.而12.数列bn是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn2n12n3.延伸探究已知各项均为正数的等比数列满足：a4128，a8215.设bnlog2an，求证：数列是等差数列，并求其通项公式解设等比数列的公比为q，由已知得q428.数列是各项均为正数的等比数列，q4，a12，an24n122n1.又bnbn1log2anlog2an1log242，b1log2a11，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，bn2
5、n1.反思感悟在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义跟踪训练2数列满足log2an1log2an1(nN*)，若a1a3a2n12n，则log2(a2a4a6a2n)的值是()An1 Bn1 C2n1 D2n1答案A解析由log2an1log2an1，即log2an1log2an1，即log21得，数列是等比数列，首项为a1，公比为，a1a3a2n12n，a2a4a2n(a1a3a2n1)2n1，则log2(a2a4a6a2n)n1.三、等比数列的综合应用例3已知an为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求an的通项公式；
6、(2)记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数k的值解(1)设数列an的公差为d，由题意知解得所以ana1(n1)d22(n1)2n.(2)由(1)可得Snn(1n)因为a1，ak，Sk2成等比数列，所以aa1Sk2，从而(2k)22(k2)(k3)，即k25k60，解得k6或k1(舍去)，因此k6.反思感悟解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用(2)对于解答题注意基本量及方程思想(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单
7、一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系跟踪训练3若等比数列满足2a1a2a3a4，a5a115.(1)求数列的首项a1和公比q；(2)若ann100，求n的取值范围解(1)由题意，得解得a11，q2.(2)由(1)可知an2n1，即2n1n100，验证可得n8，nN*.1知识清单：(1)等比数列的实际应用(2)等差数列与等比数列的相互转化(3)等比数列的综合应用2方法归纳：公式法、构造法3常见误区：在应用题中，容易忽视数列的首项和项数1某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成()A64个 B128个 C256个 D255个答案C解析某细菌培养过
8、程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28256个2已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)6，则a1a15的值为()A100 B100C10 000 D10 000答案C解析lg(a3a8a13)lg a6，a106，a8102100.a1a15a10 000.3若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcn()A是等比数列 B是等差数列C每项取倒数成等差数列 D每项取倒数成等比数列答案C解析因为a，b，c成等比数列，可知logna，lognb，lognc成等差数
9、列，即，成等差数列4若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.答案1解析an为等差数列，a11，a48a13d13d，d3，a2a1d132.bn为等比数列，b11，b48b1q3q3，q2，b2b1q2，则1.课时对点练1在正项等比数列an中，a2a74，则log2a1log2a2log2a8等于()A2 B4 C6 D8答案D解析原式log2(a1a2a3a8)log2(a2a7)44log248.2数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为()A. B4 C2 D.答案C解析因为a1，a3，a7为等比数列bn中的连续
10、三项，所以aa1a7，设数列an的公差为d，则d0，所以(a12d)2a1(a16d)，所以a12d，所以公比q2.3等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an的前6项和为()A24 B3 C3 D8答案A解析根据题意得aa2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，解得d0(舍去)，d2，所以数列an的前6项和为S66a1d16(2)24.4已知a1，a2，a3，an为各项都大于零的等比数列，公比q1，则()Aa1a8a4a5Ba1a80，q0，q1，所以若q1，则1q30,1q40，所以a1a8a4a5；若0q0,1q40，所以a1(1q3)(1q4)0，
11、所以a1a8a4a5.所以恒有a1a8a4a5.5已知是等差数列，且公差d0，若a，b，c，则a，b，c()A是等比数列，非等差数列B是等差数列，非等比数列C既非等比数列，又非等差数列D既是等差数列，又是等比数列答案A解析由是等差数列，且公差d0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列6(多选)已知等比数列an的公比q，等差数列bn的首项b112，若a9b9且a10b10，则以下结论正确的有()Aa9a100 Ba9a10Cb100 Db9b10答案AD解析由
12、题意，得a9a18，a10a19，a9a10a170，故A正确；a1正负不确定，故B错误；a10正负不确定，由a10b10，不能确定b10的符号，故C错误；由a9b9且a10b10，得a18128d，a19129d，由于a9，a10异号，因此a90或a100，故b90或b101，公比q0.设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项公式an.(1)证明因为bnlog2an，所以bn1bnlog2an1log2anlog2log2q(q0)为常数，所以数列bn为等差数列且公差dlog2q.(2)解因为b1b3b56，
13、所以(b1b5)b32b3b33b36，即b32.又因为a11，所以b1log2a10，又因为b1b3b50，所以b50，即即解得因此Sn4n(1).又因为dlog2q1，所以q，b1log2a14，即a116，所以an25n(nN*)11设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于()A2 B2C. D答案D解析因为an是首项为a1，公差为1的等差数列，所以Snna1n(n1)(1)，由S1，S2，S4成等比数列可知SS1S4，代入可得(2a11)2a1(4a16)，解得a1.12已知等比数列中，a2，a5，则数列的前10项之和是()A45
14、 B35 C55 D55答案D解析设等比数列的公比为q，由a2，a5，可得a2q3q3，解得q，又由a1qa1，解得a1，所以ann，则log2anlog2nn，数列的前10项之和为S1055.13若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.答案50解析根据等比数列的性质可得a10a11a9a12，所以a10a11e5.令Sln a1ln a2ln a20，则Sln a20ln a19ln a1，于是2S20ln(a1a20)20ln(a10a11)20ln e5100，所以S50.14若数列an的前n项和为Sn，且an2Sn3，则an的
15、通项公式是_答案an3(1)n1解析由an2Sn3得an12Sn13(n2)，两式相减得anan12an(n2)，anan1(n2)，又a13，故an是首项为3，公比为1的等比数列，an3(1)n1.15已知a1，a2，a3，an是各项不为零的n(n4)项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则n的值为()A4 B6 C7 D无法确定答案A解析当n6时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列，又是等比数列，则该数列为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则n4或n5.当n5时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时a1a5a2a4a1(a14
16、d)(a1d)(a13d)d0，不满足题意故n4.验证过程如下：当n4时，有a1，a2，a3，a4.将此数列删去某一项得到的数列(按照原来的顺序)是等比数列如果删去a1或a4，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意故可以知道删去的是a2或a3.如果删去的是a2，则a1a3a3a4，故a1(a13d)(a12d)2，整理得到3a1d4a1d4d2，即4d2a1d0，故4da10，即4.如果删去的是a3，则a1a2a2a4，故a1(a13d)(a1d)2，整理得3a1d2a1dd2，即a1dd2，故a1d，即1.可得4或1.16已知数列an的前n项和为Sn，且满足a11，nSn1(n1)Sn，
17、nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由解(1)方法一由nSn1(n1)Sn，得，数列是首项为1，公差为的等差数列，1(n1)(n1)，Sn.当n2时，anSnSn1n.而a11适合上式，ann.方法二由nSn1(n1)Sn，得n(Sn1Sn)Sn，nan1Sn，当n2时，(n1)anSn1，得nan1(n1)anan，nan1nann，an1an1，数列an是从第2项起的等差数列，且首项为a22，公差为1，an2(n2)1n(n2)而a11适合上式，ann.(2)由(1)知ann，Sn.假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列，则Saka4k，即2k4k.k为正整数，(2k1)24.得2k12或2k12，解得k或k，与k为正整数矛盾不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列
