苏教版高一数学选择性必修一第1章1.4《两条直线的交点》教案及课件.zip

1.4两条直线的交点两条直线的交点学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系导语在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等一、判断直线的交点及由交点求参数问题点 A(2,2)是否在直线 l1：3x4y20 和直线 l2：2xy20 上，点 A 和直线 l1，l2有什么关系？提示在，点 A 是 l1与 l2的交点知识梳理1设两条直线的方程分别是 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20：方程组Error!的解一组无数组无解直线 l1，l2的公共点一个无数个零个直线 l1，l2的位置关系相交重合平行2.已知两条直线的方程是 l1：A1xB1yC10,l2：A2xB2yC20，设这两条直线的交点为P，则点 P 既在直线 l1上，也在直线 l2上 所以点 P 的坐标既满足直线 l1的方程 A1xB1yC10，也满足直线 l2的方程 A2xB2yC20，即点 P 的坐标就是方程组Error!的解注意点：(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用(2)两条直线相交的等价条件是 A1B2A2B10.例 1(1)(多选)(教材 P27 例 1 改编)下列选项中，正确的有()A直线 l1：xy20 和 l2：2xy50 的交点坐标为(1,3)B直线 l1：x2y40 和 l2：2x4y80 的交点坐标为(2,1)C直线 l1：2xy20 和 l2：y2x3 的交点坐标为(2,2)D直线 l1：x2y10，l2：yx，l3：2xy30 两两相交答案AD解析方程组Error!的解为Error!因此直线 l1和 l2相交，交点坐标为(1,3)，A 正确；方程组Error!有无数个解，这表明直线 l1和 l2重合，B 错误；方程组Error!无解，这表明直线 l1和 l2没有公共点，故 l1l2，C 错误；方程组Error!的解为Error!方程组Error!的解为Error!方程组Error!的解也为Error!所以，三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D 正确(2)直线 2x3yk0 和直线 xky120 的交点在 x 轴上，则 k 的值为()A24 B24 C6 D6答案A解析联立Error!解得Error!因为直线 2x3yk0 和直线 xky120 的交点在 x 轴上，所以 yk2432k0，解得 k24.反思感悟(1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线延伸探究若将(1)中选项 D 改为“三条直线 mx2y70，y144x 和 2x3y14 相交于一点”，求 m 的值解解方程组Error!得Error!所以这两条直线的交点坐标为(4，2).由题意知点(4，2)在直线 mx2y70 上，将(4，2)代入，得 4m2(2)70，解得 m34.跟踪训练 1(1)直线 3x2y60 和 2x5y70 的交点为()A.(4，3)B.(4，3)C.(4，3)D.(4，3)答案B解析由Error!得Error!所以交点为(4，3).(2)若直线 l1：ykxk2 与直线 l2：y2x4 的交点在第一象限内，则实数 k 的取值范围是()Ak23 Bk2C23k2 Dk23或 k2答案C解析方法一由题意知，直线 l1过定点 P(1,2)，斜率为 k，直线 l2与 x 轴、y 轴分别交于点 A(2,0)，B(0,4)，若直线 l1与 l2的交点在第一象限内，则 l1必过线段 AB 上的点(不包括 A，B)，因为 kPA23，kPB2，所以23k2.方法二由直线 l1，l2有交点，得 k2.由Error!得Error!又交点在第一象限内，所以Error!解得23k2.二、求过两直线交点的直线例 2求经过两直线 l1：3x4y20 和 l2：2xy20 的交点且过坐标原点的直线 l 的方程解由方程组Error!解得Error!即 l1与 l2的交点坐标为(2,2)直线过坐标原点，其斜率 k221.故直线方程为 yx，即 xy0.反思感悟求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下解法：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解跟踪训练 2求经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 P，且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线 l 的方程解由方程组Error!得Error!即 P(0,2)ll3，l3的斜率为34，kl43，直线 l 的方程为 y243x，即 4x3y60.三、过两直线交点的直线系方程知识梳理1平行于直线 AxByC0 的直线系方程为 AxBy0(C)2垂直于直线 AxByC0 的直线系方程为 BxAy0.3 过两条已知直线 A1xB1yC10，A2xB2yC20 交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线 A2xB2yC20)例 3求过两直线 2x3y30 和 xy20 的交点且与直线 3xy10 平行的直线方程解方法一解方程组Error!得Error!所以两直线的交点坐标为(35，75).又所求直线与直线 3xy10 平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为 y753(x35)，即 15x5y160.方法二设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直线与直线 3xy10 平行，所以有Error!得 112.代入(*)式，得(2112)x(1123)y(2 1123)0，即 15x5y160.延伸探究1本例中将“3xy10”改为“x3y10”，则如何求解？解由例题知直线 2x3y30 和 xy20 的交点坐标为(35，75)，所求直线与 x3y10 平行，故斜率为13，所以所求直线的方程为 y7513(x35)，即 5x15y240.2本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？解设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线 3xy10 垂直，则 3(2)(3)10，得 34，所以所求直线方程为 5x15y180.反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中 是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组Error!解得若整理成 yy0k(xx0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)跟踪训练 3无论 m 为何值，直线 l：(m1)xy7m40 恒过一定点 P，求点 P 的坐标解(m1)xy7m40，m(x7)(xy4)0，Error!Error!点 P 的坐标为(7,3)1知识清单：(1)方程组的解与直线交点个数的关系(2)两条直线的交点(3)直线系过定点问题2方法归纳：消元法、直线系法3常见误区：对两直线相交条件认识模糊1直线 2xy80 和直线 xy10 的交点坐标是()A(9，10)B(9,10)C(9,10)D(9，10)答案B解析解方程组Error!得Error!故两条直线的交点坐标为(9,10)2不论 m 为何实数，直线 l：(m1)x(2m3)ym0 恒过定点()A(3，1)B(2，1)C(3,1)D(2,1)答案C解析直线 l 的方程可化为 m(x2y1)x3y0，令Error!解得Error!直线 l 恒过定点(3,1)故选 C.3不论 a 取何值时，直线(a3)x2ay60 恒过第_象限答案四解析方程可化为 a(x2y)(3x6)0，由Error!得Error!(2，1)在第四象限，故直线恒过第四象限4若三条直线 2x3y80，xy10 和 xky0 相交于一点，则 k_.答案12解析解方程组Error!得Error!又该点(1，2)也在直线 xky0 上，12k0，k12.课时对点练课时对点练1两条直线 l1：2xy10 与 l2：x3y110 的交点坐标为()A(3,2)B(2,3)C(2，3)D(3，2)答案B解析解方程组Error!得Error!2直线 3xmy10 与 4x3yn0 的交点为(2，1)，则 mn 的值为()A12 B10 C8 D6答案B解析直线 3xmy10 与 4x3yn0 的交点为(2，1)将点(2，1)代入 3xmy10 得 32m(1)10，即 m5，将点(2，1)代入 4x3yn0 得 423(1)n0，即 n5，mn10.3两条直线 2x3yk0 和 xky120 的交点在 y 轴上，那么 k 的值是()A24 B6 C6 D24答案C解析因为两条直线 2x3yk0 和 xky120 的交点在 y 轴上，所以设交点为(0，b)，所以Error!消去 b，可得 k6.4ABC 的三个顶点分别为 A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，如果直线 xa 将ABC 分割成面积相等的两部分，那么实数 a 的值等于()A.3 B122C133 D222答案A解析lAC：x2y31，即 3x2y60.由Error!得Error!因为 SABC92，所以12a(363a2)94，得 a 3或 a 3(舍去)5过直线 l1：x2y40 与直线 l2：xy10 的交点，且过原点的直线方程为()A2xy0 B2xy0Cx2y0 Dx2y0答案D解析联立Error!解得两条直线 l1：x2y40 与直线 l2：xy10 的交点坐标为(2,1)所以过点 P(2,1)且过原点(0,0)的直线的斜率 k12.所以所求直线方程为 y012(x0)，即 x2y0.6若直线 l：ykx 3与直线 xy30 相交，且交点在第一象限，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是()A|060 B|3060C|3090 D|6033.又直线 l 的倾斜角为，则 tan 33，3090.7直线 l1：3xy120 和 l2：3x2y60 及 y 轴所围成的三角形的面积为_答案9解析易知三角形的三个顶点坐标分别为(2,6)，(0,12)，(0,3)，故所求三角形的面积为12929.8已知直线 ax2y10 与直线 2x5yc0 垂直相交于点(1，m)，则 m_.答案2解析由两直线垂直得 2a100，解得 a5.又点(1，m)在直线上，所以 a2m10，所以 m2.9求经过直线 l1：7x8y10 和 l2：2x17y90 的交点，且垂直于直线 2xy70的直线方程解由方程组Error!解得Error!所以交点坐标为(1127，1327).又因为所求直线斜率为 k12，所以所求直线方程为 y1327(12)(x1127)，即 27x54y370.10若两条直线 l1：ykx2k1 和 l2：x2y40 的交点在第四象限，求 k 的取值范围解联立两直线的方程Error!解得Error!该交点落在平面直角坐标系的第四象限，Error!解得Error!即12k16.则 k 的取值范围为(12，16).11已知 a，b 满足 2ab1，则直线 ax3yb0 必过定点()A.(13，2)B.(16，12)C.(12，16)D.(2，13)答案D解析由 2ab1，得 b12a，代入直线方程 ax3yb0 中，得 ax3y12a0，即 a(x2)3y10，令Error!解得Error!所以该直线必过定点(2，13).12经过直线 3x2y60 和 2x5y70 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_答案xy10 或 3x4y0解析设直线方程为 3x2y6(2x5y7)0，即(32)x(25)y670.令 x0，得 y7625，令 y0，得 x7632.由76257632，得 13或 67.所以直线方程为 xy10 或 3x4y0.13若三条直线 2xy0，xy60，mxny50 相交于同一点，则 2m4n_.答案5解析由Error!得Error!所以三条直线交点坐标(2，4)在直线 mxny50 上，2m4n50，所以 2m4n5.14已知 A(2,4)，B(4,2)，直线 l：axy20 与线段 AB 恒相交，则 a 的取值范围为_答案(，31，)解析如图所示，直线 l：axy20 经过定点 D(0，2)，a 表示直线 l 的斜率，设线段 AB 与 y 轴交于点 C，由图形知，当直线 l：axy20 与线段 AB 的交点在线段 CB 上时，a 大于或等于 DB 的斜率，即 a22401，即 a1.当直线 l：axy20 与线段 AB 的交点在线段 AC 上时，a 小于或等于 DA 的斜率，即 a42203，即 a3.综上，a 的取值范围为(，31，)15已知 A(3,1)，B(1,2)，若ACB 的平分线方程为 yx1，则 AC 所在直线方程为()Ay2x4 By12x3Cx2y10 D3xy10答案C解析设 B 关于直线 yx1 的对称点为 B(x，y)，则Error!即Error!解得Error!即 B(1,0)又 B在直线 AC 上，则直线 AC 的方程为y101x313，即 x2y10.16.如图，已知在ABC 中，A(8,2)，AB 边上的中线 CE 所在直线的方程为 x2y50，AC边上的中线 BD 所在直线的方程为 2x5y80，求直线 BC 的方程解设 B(x0，y0)，则 AB 的中点 E 的坐标为(x082，y022)，由条件可得Error!得Error!解得Error!即 B(6,4)同理可求得 C 点的坐标为(5,0)故所求直线 BC 的方程为y040 x565，即 4xy200.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件1.4 1.4 两条直线的交点两条直线的交点在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等.导导 语语一、判断直线的交点及由交点求参数一、判断直线的交点及由交点求参数问题点A(2,2)是否在直线l1：3x4y20和直线l2：2xy20上，点A和直线l1，l2有什么关系？提示在，点A是l1与l2的交点.1.设两条直线的方程分别是l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20：知识梳理知识梳理方程组 的解一组无数组_直线l1，l2的公共点一个_零个直线l1，l2的位置关系_重合_无解无数个相交平行2.已知两条直线的方程是l1：A1xB1yC10,l2：A2xB2yC20，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线 上，也在直线 上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1xB1yC10，也满足直线l2的方程A2xB2yC20，即点P的坐标就是方程组 的解.注意点：(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.(2)两条直线相交的等价条件是A1B2A2B10.l1l2例1(1)(多选)(教材P27例1改编)下列选项中，正确的有A.直线l1：xy20和l2：2xy50的交点坐标为(1,3)B.直线l1：x2y40和l2：2x4y80的交点坐标为(2,1)C.直线l1：2xy20和l2：y2x3的交点坐标为(2,2)D.直线l1：x2y10，l2：yx，l3：2xy30两两相交因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1,3)，A正确；这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2，C错误；这表明直线l1和l2重合，B错误；所以，三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D正确.(2)直线2x3yk0和直线xky120的交点在x轴上，则k的值为A.24 B.24 C.6 D.6因为直线2x3yk0和直线xky120的交点在x轴上，反思感悟(1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系.(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线.延伸探究若将(1)中选项D改为“三条直线mx2y70，y144x和2x3y14相交于一点”，求m的值.跟踪训练1(1)直线3x2y60和2x5y70的交点为(2)若直线l1：ykxk2与直线l2：y2x4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是解析方法一由题意知，直线l1过定点P(1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，方法二由直线l1，l2有交点，得k2.二、求过两直线交点的直线二、求过两直线交点的直线例例2求经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点且过坐标原点的直线l的方程.即l1与l2的交点坐标为(2,2).直线过坐标原点，故直线方程为yx，即xy0.反思感悟求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下解法：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解.跟跟踪踪训训练练2求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.即4x3y60.三、过两直线交点的直线系方程三、过两直线交点的直线系方程1.平行于直线AxByC0的直线系方程为AxBy0(C).2.垂直于直线AxByC0的直线系方程为BxAy0.3.过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20).知识梳理知识梳理例例3求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程.又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.即15x5y160.方法二设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直线与直线3xy10平行，即15x5y160.延伸探究延伸探究1.本例中将“3xy10”改为“x3y10”，则如何求解？即5x15y240.2.本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？所以所求直线方程为5x15y180.解设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组 解得.若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).跟跟踪踪训训练练3无论m为何值，直线l：(m1)xy7m40恒过一定点P，求点P的坐标.解(m1)xy7m40，m(x7)(xy4)0，点P的坐标为(7,3).1.知识清单：(1)方程组的解与直线交点个数的关系.(2)两条直线的交点.(3)直线系过定点问题.2.方法归纳：消元法、直线系法.3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练12341.直线2xy80和直线xy10的交点坐标是A.(9，10)B.(9,10)C.(9,10)D.(9，10)故两条直线的交点坐标为(9,10).12342.不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m3)ym0恒过定点A.(3，1)B.(2，1)C.(3,1)D.(2,1)解析直线l的方程可化为m(x2y1)x3y0，直线l恒过定点(3,1).故选C.1234解析方程可化为a(x2y)(3x6)0，(2，1)在第四象限，故直线恒过第四象限.3.不论a取何值时，直线(a3)x2ay60恒过第_象限.四4.若三条直线2x3y80，xy10和xky0相交于一点，则k_.1234又该点(1，2)也在直线xky0上，课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.两条直线l1：2xy10与l2：x3y110的交点坐标为A.(3,2)B.(2,3)C.(2，3)D.(3，2)2.直线3xmy10与4x3yn0的交点为(2，1)，则mn的值为A.12 B.10 C.8 D.612345678910 11 12 13 14 15 16解析直线3xmy10与4x3yn0的交点为(2，1).将点(2，1)代入3xmy10得32m(1)10，即m5，将点(2，1)代入4x3yn0得423(1)n0，即n5，mn10.12345678910 11 12 13 14 15 163.两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，那么k的值是A.24 B.6 C.6 D.24解析因为两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)，12345678910 11 12 13 14 15 164.ABC的三个顶点分别为A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，如果直线xa将ABC分割成面积相等的两部分，那么实数a的值等于12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.过直线l1：x2y40与直线l2：xy10的交点，且过原点的直线方程为A.2xy0 B.2xy0C.x2y0 D.x2y0解得两条直线l1：x2y40与直线l2：xy10的交点坐标为(2,1).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.若直线l：ykx 与直线xy30相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是A.|060 B.|3060C.|3090 D.|6090解析由题意可知k1，两直线的交点在第一象限，12345678910 11 12 13 14 15 163090.12345678910 11 12 13 14 15 167.直线l1：3xy120和l2：3x2y60及y轴所围成的三角形的面积为_.12345678910 11 12 13 14 15 169解析易知三角形的三个顶点坐标分别为(2,6)，(0,12)，(0,3)，8.已知直线ax2y10与直线2x5yc0垂直相交于点(1，m)，则m_.12345678910 11 12 13 14 15 16解析由两直线垂直得2a100，解得a5.又点(1，m)在直线上，所以a2m10，所以m2.29.求经过直线l1：7x8y10和l2：2x17y90的交点，且垂直于直线2xy70的直线方程.即27x54y370.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.若两条直线l1：ykx2k1和l2：x2y40的交点在第四象限，求k的取值范围.该交点落在平面直角坐标系的第四象限，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1611.已知a，b满足2ab1，则直线ax3yb0必过定点综合运用12345678910 11 12 13 14 15 16解析由2ab1，得b12a，代入直线方程ax3yb0中，得ax3y12a0，即a(x2)3y10，12.经过直线3x2y60和2x5y70的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_.12345678910 11 12 13 14 15 16xy10或3x4y0解析设直线方程为3x2y6(2x5y7)0，即(32)x(25)y670.所以直线方程为xy10或3x4y0.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 162m4n50，所以2m4n5.13.若三条直线2xy0，xy60，mxny50相交于同一点，则2m4n_.514.已知A(2,4)，B(4,2)，直线l：axy20与线段AB恒相交，则a的取值范围为_.12345678910 11 12 13 14 15 16(，31，)解析如图所示，直线l：axy20经过定点D(0，2)，a表示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C，由图形知，当直线l：axy20与线段AB的交点在线段CB上时，当直线l：axy20与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，综上，a的取值范围为(，31，).12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知A(3,1)，B(1,2)，若ACB的平分线方程为yx1，则AC所在直线方程为A.y2x4 B.y x3C.x2y10 D.3xy1012345678910 11 12 13 14 15 16解析设B关于直线yx1的对称点为B(x，y)，12345678910 11 12 13 14 15 16又B在直线AC上，即x2y10.12345678910 11 12 13 14 15 1616.如图，已知在ABC中，A(8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x2y50，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x5y80，求直线BC的方程.解设B(x0，y0)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16同理可求得C点的坐标为(5,0).即4xy200.