苏教版高一数学选择性必修一第2章2.1第1课时《圆的标准方程》教案及课件.zip

2.1圆的方程圆的方程第第 1 课时圆的标准方程课时圆的标准方程学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程.2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.3.能用圆的标准方程解决一些实际应用问题导语 人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头放出白毫千丈，散作太虚一色，万象入吾眸星斗避光彩，风露助清幽”圆是完美的图形，这节课我们继续学习在平面直角坐标系下有关圆的知识一、圆的标准方程问题 1圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？提示平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小问题 2已知圆的圆心为 A(a，b)，半径为 r，你能推导出该圆的方程吗？提示设圆上任一点 M(x，y)，则 MAr，由两点间的距离公式，得xa2yb2r，化简可得(xa)2(yb)2r2.知识梳理确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径注意点：(1)当圆心在原点即 A(0,0)，半径长 r1 时，方程为 x2y21，称为单位圆(2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上例 1(1)与 y 轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为_答案(x5)2(y3)225解析圆心坐标为(5，3)，又与 y 轴相切，该圆的半径为 5，该圆的标准方程为(x5)2(y3)225.(2)以两点 A(3，1)和 B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是_答案(x1)2(y2)225解析AB 为直径，AB 的中点(1,2)为圆心，12AB125325125 为半径，该圆的标准方程为(x1)2(y2)225.反思感悟直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等跟踪训练 1求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；(2)圆心在 y 轴上，半径为 5，且过点(3，4)解(1)r2(24)2(20)28，圆的标准方程为(x4)2y28.(2)设圆心为 C(0，b)，则(30)2(4b)252，b0 或 b8，圆心为(0,0)或(0，8)，又 r5，圆的标准方程为 x2y225 或 x2(y8)225.二、点与圆的位置关系问题 3点 M0(x0，y0)在圆 x2y2r2内的条件是什么？在圆 x2y2r2外的条件又是什么？提示点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径知识梳理点与圆的位置关系(xa)2(yb)2r2(r0)，其圆心为 C(a，b)，半径为 r，点 P(x0，y0)，设 dPCx0a2y0b2.位置关系d 与 r 的大小图示点 P 的坐标的特点点在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr(x0a)2(y0b)2r2点在圆内dr(x0a)2(y0b)2r2例 2已知圆的圆心 M 是直线 2xy10 与直线 x2y20 的交点，且圆过点 P(5,6)，求圆的标准方程，并判断点 A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解解方程组Error!Error!得Error!Error!圆心 M 的坐标为(0,1)，半径 rMP5216252.圆的标准方程为 x2(y1)250.AM2022125r，点 C 在圆外圆的标准方程为 x2(y1)250，且点 A 在圆内，点 B 在圆上，点 C 在圆外反思感悟判断点与圆的位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断跟踪训练 2已知圆心为点 C(3，4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点 P1(1,0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圆的位置关系解因为圆心是 C(3，4)，且经过原点，所以圆的半径 r3024025，所以圆的标准方程是(x3)2(y4)225.因为 P1C132042416255，所以 P3(3，4)在圆外三、圆的标准方程的实际应用例 3已知某圆拱桥，当水面距拱顶 2 米时，水面宽 12 米，当水面下降 1 米后，水面宽多少米？解以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为 x 轴，以过拱顶的竖直直线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系，则 O(0,0)，A(6，2)设圆的标准方程为 x2(yr)2r2(r0)将 A(6，2)的坐标代入方程得 r10，圆的标准方程为 x2(y10)2100.当水面下降 1 米后，可设点 A(x0，3)(x00)将 A(x0，3)代入圆的标准方程，解得 x051，水面下降 1 米后，水面宽为 2x0251(米)反思感悟解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面跟踪训练 3一辆卡车宽 1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为 3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A1.4 m B3.5 mC3.6 m D2.0 m答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为 h，则 A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为 x2y23.62，把点 A 的坐标代入上式可得，0.82h23.62，解得 h40.773.5 m.1知识清单：(1)圆的标准方程(2)点与圆的位置关系(3)与圆有关的实际应用问题2方法归纳：直接法、几何法、待定系数法3常见误区：几何法求圆的标准方程时出现漏解情况1圆 C：(x2)2(y1)23 的圆心坐标为()A(2,1)B(2，1)C(2,1)D(2，1)答案B解析结合圆的标准形式可知，圆 C 的圆心坐标为(2，1)2以(2 020,2 020)为圆心，2 021 为半径的圆的标准方程为()A(x2 020)2(y2 020)22 0212B(x2 020)2(y2 020)22 0212C(x2 020)2(y2 020)22 021D(x2 020)2(y2 020)22 021答案A解析由圆的标准方程知(x2 020)2(y2 020)22 0212.3若点(2a，a1)在圆 x2(y1)25 的外部，则 a 的取值范围为_答案a1 或 a15解析因为(2a，a1)在圆 x2(y1)25 的外部，所以 4a2(a2)25，解得 a1 或 a15.4若点(1,1)在圆(x2)2y2m 上，则圆的标准方程是_答案(x2)2y210解析因为点(1,1)在圆(x2)2y2m 上，故(12)21m.m10，即圆的标准方程为(x2)2y210.课时对点练课时对点练1已知两直线 x2y0 和 xy30 的交点为 M，则以点 M 为圆心，半径长为 1 的圆的方程是()A(x1)2(y2)21B(x1)2(y2)21C(x2)2(y1)21D(x2)2(y1)21答案D解析由Error!Error!解得Error!Error!即圆心 M(2,1)，又半径为 1，所以圆的方程为(x2)2(y1)21.2圆(x1)2(y1)22 关于直线 ykx3 对称，则 k 的值是()A2 B2 C1 D1答案B解析圆(x1)2(y1)22 关于直线 ykx3 对称，则直线过圆心(1,1)，即 1k3，解得 k2.3圆心在直线 2xy0 上，并且经过点 A(1,3)和 B(4,2)的圆的半径为()A3 B4 C5 D6答案C解析设圆心坐标为(a，b)，则Error!Error!解得Error!Error!所以该圆的半径 r1122325.4若点(5a1，a)在圆(x1)2y226 的内部，则 a 的取值范围是()A0a1 B0a1 Da1答案B解析由于点在圆的内部，所以(5a11)2(a)226，即 26a26，又 a0，解得0a0)，其中 O 为坐标原点，求实数 a 的取值范围解(1)设圆 M 的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，根据题意得Error!Error!解得Error!Error!所以圆 M 的方程为(x1)2(y1)24.(2)由(1)知 M(1,1)，r2，故 OM2，如图，得 aOP22，2211(多选)以直线 2xy40 与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为()Ax2(y4)220 B(x4)2y220Cx2(y2)220 D(x2)2y220答案AD解析令 x0，则 y4；令 y0，则 x2.所以直线 2xy40 与两坐标轴的交点分别为 A(0,4)，B(2,0)AB224225，以 A为圆心，过 B 点的圆的方程为 x2(y4)220.以 B 为圆心，过 A 点的圆的方程为(x2)2y220.12已知直线(32)x(32)y50 恒过定点 P，则与圆 C：(x2)2(y3)216 有公共的圆心且过点 P 的圆的标准方程为()A(x2)2(y3)236B(x2)2(y3)225C(x2)2(y3)218D(x2)2(y3)29答案B解析由(32)x(32)y50，得(2x3y1)(3x2y5)0，则由Error!Error!解得Error!Error!即 P(1,1)圆 C：(x2)2(y3)216 的圆心坐标是(2，3)，PC1221325，所求圆的标准方程为(x2)2(y3)225，故选 B.13 圆(x 3)2(y 1)2 1 关 于 直 线 x y 3 0 对 称 的 圆 的 标 准 方 程 是_答案(x4)2y21解析设圆心 A(3，1)关于直线 xy30 对称的点 B 的坐标为(a，b)，则Error!Error!解得Error!Error!故所求圆的标准方程为(x4)2y21.14若圆心在 x 轴上，半径为5的圆 C 位于 y 轴左侧，且圆心到直线 x2y0 的距离等于半径，则圆 C 的方程是_.答案(x5)2y25解析设圆心坐标为 C(a,0)(a0)，则|a|12225，所以|a|5.又因为 a0，所以 a5，故圆 C 的方程为(x5)2y25.15已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A4 B5 C6 D7答案A解析设圆心 C(x，y)，则x32y421，化简得(x3)2(y4)21，所以圆心 C 的轨迹是以 M(3,4)为圆心，1 为半径的圆，所以 OC1OM32425，所以 OC514，当且仅当 C 在线段 OM 上时取等号16.如图，矩形 ABCD 的两条对角线交于 M(3,0)，AB 边所在直线的方程为 x3y70，点E(0,1)在 BC 边所在直线上(1)求 AD 边所在的直线方程；(2)求点 A 的坐标以及矩形 ABCD 外接圆的方程解(1)因为 ABAD，所以 kAD1kAB1133，E(0,1)关于 M(3,0)的对称点为(6，1)在直线 AD 上，所以 AD 边所在直线的方程为 y13(x6)，即 3xy170.(2)联立Error!Error!解得 A(5.8，0.4)，r2AM2(5.83)2(0.40)28.所以矩形 ABCD 外接圆的方程为(x3)2y28.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件圆的标准方程圆的标准方程人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头.放出白毫千丈，散作太虚一色，万象入吾眸.星斗避光彩，风露助清幽.”圆是完美的图形，这节课我们继续学习在平面直角坐标系下有关圆的知识.导导 语语一、圆的标准方程一、圆的标准方程问题1圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？提示平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.问题2已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出该圆的方程吗？提示设圆上任一点M(x，y)，则MAr，化简可得(xa)2(yb)2r2.确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.知识梳理知识梳理(xa)2(yb)2r2x2y2r2注意点：(1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r1时，方程为x2y21，称为单位圆.(2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的.(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.例1(1)与y轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为_.解析圆心坐标为(5，3)，又与y轴相切，该圆的半径为5，该圆的标准方程为(x5)2(y3)225.(y3)225(x5)2(2)以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是_.解析AB为直径，AB的中点(1,2)为圆心，(y2)225(x1)2该圆的标准方程为(x1)2(y2)225.反思感悟直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.跟踪训练1求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；解r2(24)2(20)28，圆的标准方程为(x4)2y28.(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，4).解设圆心为C(0，b)，则(30)2(4b)252，b0或b8，圆心为(0,0)或(0，8)，又r5，圆的标准方程为x2y225或x2(y8)225.二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系问题3点M0(x0，y0)在圆x2y2r2内的条件是什么？在圆x2y2r2外的条件又是什么？提示点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.点与圆的位置关系(xa)2(yb)2r2(r0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设dPC .知识梳理知识梳理位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d r(x0a)2(y0b)2 r2点在圆上dr(x0a)2(y0b)2 r2点在圆内d r(x0a)2(y0b)2 r2例2已知圆的圆心M是直线2xy10与直线x2y20的交点，且圆过点P(5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？圆心M的坐标为(0,1)，圆的标准方程为x2(y1)250.点A在圆内.点B在圆上.点C在圆外.圆的标准方程为x2(y1)250，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外.反思感悟判断点与圆的位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.跟跟踪踪训训练练2已知圆心为点C(3，4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(1,0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圆的位置关系.解因为圆心是C(3，4)，且经过原点，所以圆的标准方程是(x3)2(y4)225.所以P1(1,0)在圆内；所以P2(1，1)在圆上；所以P3(3，4)在圆外.三、圆的标准方程的实际应用三、圆的标准方程的实际应用例3已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则O(0,0)，A(6，2).设圆的标准方程为x2(yr)2r2(r0).将A(6，2)的坐标代入方程得r10，圆的标准方程为x2(y10)2100.当水面下降1米后，可设点A(x0，3)(x00).反思感悟解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面跟跟踪踪训训练练3一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过A.1.4 m B.3.5 mC.3.6 m D.2.0 m解析建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2y23.62，把点A的坐标代入上式可得，0.82h23.62，1.知识清单：(1)圆的标准方程.(2)点与圆的位置关系.(3)与圆有关的实际应用问题.2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法.3.常见误区：几何法求圆的标准方程时出现漏解情况.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.圆C：(x2)2(y1)23的圆心坐标为A.(2,1)B.(2，1)C.(2,1)D.(2，1)解析结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，1).123412342.以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为A.(x2 020)2(y2 020)22 0212B.(x2 020)2(y2 020)22 0212C.(x2 020)2(y2 020)22 021D.(x2 020)2(y2 020)22 021解析由圆的标准方程知(x2 020)2(y2 020)22 0212.12343.若点(2a，a1)在圆x2(y1)25的外部，则a的取值范围为_.解析因为(2a，a1)在圆x2(y1)25的外部，a1或12344.若点(1,1)在圆(x2)2y2m上，则圆的标准方程是_.解析因为点(1,1)在圆(x2)2y2m上，故(12)21m.m10，即圆的标准方程为(x2)2y210.(x2)2y210课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.已知两直线x2y0和xy30的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是A.(x1)2(y2)21B.(x1)2(y2)21C.(x2)2(y1)21D.(x2)2(y1)21即圆心M(2,1)，又半径为1，所以圆的方程为(x2)2(y1)21.12345678910 11 12 13 14 15 162.圆(x1)2(y1)22关于直线ykx3对称，则k的值是A.2 B.2 C.1 D.1解析圆(x1)2(y1)22关于直线ykx3对称，则直线过圆心(1,1)，即1k3，解得k2.3.圆心在直线2xy0上，并且经过点A(1,3)和B(4,2)的圆的半径为A.3 B.4 C.5 D.6解析设圆心坐标为(a，b)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16A.0a1 B.0a1 D.a1即26a26，又a0，解得0a0)，所以圆M的方程为(x1)2(y1)24.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)若圆M上存在点P，使OPa(a0)，其中O为坐标原点，求实数a的取值范围.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.(多选)以直线2xy40与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为A.x2(y4)220 B.(x4)2y220C.x2(y2)220 D.(x2)2y22012345678910 11 12 13 14 15 16解析令x0，则y4；令y0，则x2.所以直线2xy40与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0).过B点的圆的方程为x2(y4)220.以B为圆心，过A点的圆的方程为(x2)2y220.12345678910 11 12 13 14 15 1612.已知直线(32)x(32)y50恒过定点P，则与圆C：(x2)2(y3)216有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为A.(x2)2(y3)236B.(x2)2(y3)225C.(x2)2(y3)218D.(x2)2(y3)2912345678910 11 12 13 14 15 16解析由(32)x(32)y50，得(2x3y1)(3x2y5)0，圆C：(x2)2(y3)216的圆心坐标是(2，3)，所求圆的标准方程为(x2)2(y3)225，故选B.12345678910 11 12 13 14 15 1613.圆(x3)2(y1)21关于直线xy30对称的圆的标准方程是_.解析设圆心A(3，1)关于直线xy30对称的点B的坐标为(a，b)，(x4)2y21故所求圆的标准方程为(x4)2y21.12345678910 11 12 13 14 15 1614.若圆心在x轴上，半径为 的圆C位于y轴左侧，且圆心到直线x2y0的距离等于半径，则圆C的方程是_.解析设圆心坐标为C(a,0)(a0)，(x5)2y25又因为a0，所以a5，故圆C的方程为(x5)2y25.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为A.4 B.5 C.6 D.7化简得(x3)2(y4)21，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以OC514，当且仅当C在线段OM上时取等号.16.如图，矩形ABCD的两条对角线交于M(3,0)，AB边所在直线的方程为x3y70，点E(0,1)在BC边所在直线上.(1)求AD边所在的直线方程；E(0,1)关于M(3,0)的对称点为(6，1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y13(x6)，即3xy170.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程.解得A(5.8，0.4)，r2AM2(5.83)2(0.40)28.所以矩形ABCD外接圆的方程为(x3)2y28.