苏教版高一数学选择性必修一第1章1.1《直线的斜率与倾斜角》教案及课件.zip

1.1直线的斜率与倾斜角直线的斜率与倾斜角学习目标 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率导语我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗？如图所示，过一点 P 可以作无数多条直线 a，b，c，我们可以看出这些直线都过点 P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？一、直线的斜率问题 1交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从 A 点前进到 B 点，在水平方向前进的距离为 AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则 DB 的值为负实数)，则坡度 k上升高度水平距离DBAD.若 k0，则表示上坡，若k0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？提示坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦问题 2若 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线 l 上两个不同的点，当 x1x2时，你能用一个量反应直线 l 的倾斜程度吗？提示可以用y2y1x2x1的符号及大小反应直线 l 的倾斜程度问题 3运用 ky2y1x2x1(x1x2)计算直线 AB 的斜率时，需要考虑 A，B 的顺序吗？提示kABy2y1x2x1kBAy1y2x1x2，所以直线 AB 的斜率与 A，B 两点的顺序无关知识梳理对于直线 l 上的任意两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(1)如果 x1x2：由相似三角形的知识可知，y2y1x2x1是一个定值，我们将其称为直线 l 的斜率ky2y1x2x1(x1x2)直线的斜率也可以看作 ky2y1x2x1纵坐标的增量横坐标的增量yx.(2)如果 x1x2，那么直线 l 的斜率不存在注意点：直线与 x 轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式例 1如图所示，直线 l1，l2，l3都经过点 P(3,2)，又 l1，l2，l3分别经过点 Q1(2，1)，Q2(4，2)，Q3(3,2)(1)试计算直线 l1，l2，l3的斜率；(2)若还存点 Q4(a,3)，试求直线 PQ4的斜率解(1)由已知得，直线 l1，l2，l3的斜率都存在设它们的斜率分别为 k1，k2，k3.则由斜率公式得 k1122335，k222434，k322330.(2)当 a3 时，直线 PQ4与 x 轴垂直，此时其斜率不存在当 a3 时，其斜率 k32a31a3.反思感悟(1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”(2)由例题中图可以看出：当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；当直线的斜率为 0 时(l3)，直线与 x 轴平行或重合跟踪训练 1经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(2,3)，D(2，1)；(3)P(3,1)，Q(3,10)；(4)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率解(1)存在直线 AB 的斜率 kAB53421.(2)存在直线 CD 的斜率 kCD13221.(3)不存在因为 xPxQ3，所以直线 PQ 的斜率不存在(4)当 a3 时，斜率不存在；当 a3 时，直线的斜率 k43a.二、直线的倾斜角知识梳理1直线的倾斜角(1)倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角 也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角 称为这条直线的倾斜角(2)当直线与 x 轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为 0.(3)倾斜角 的范围为0，)2直线的倾斜角与斜率一般地，如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线 l 上两个不同的点，直线 l 的倾斜角为，则：(1)当 y1y2时(此时必有 x1x2)，0.(2)当 x1x2时(此时必有 y1y2)，90.(3)当 x1x2且 y1y2时，tan y2y1x2x1.例 2(1)(多选)下列命题中，正确的是()A任意一条直线都有唯一的倾斜角B一条直线的倾斜角可以为30C倾斜角为 0的直线有无数条D若直线的倾斜角为，则 sin(0,1)答案AC解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为 0的直线有无数条，它们都垂直于 y 轴，因此 A 正确，B 错误，C 正确D 中，当 0时，sin 0；当 90时，sin 1，故 D 错误(2)(多选)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45，得到直线 l1，那么 l1的倾斜角可能为()A45 B135C135 D45答案AB解析根据题意，画出图形，如图所示通过图象可知，当 0135，l1的倾斜角为 45；当 135180时，l1的倾斜角为 45180135.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论(2)注意倾斜角的范围跟踪训练 2已知直线 l1的倾斜角为 115，直线 l1与 l2的交点为 A，直线 l1和 l2向上的方向之间所成的角为 120，如图所示，求直线 l2的倾斜角解l1与 l2向上的方向之间所成的角为 120，l2与 x 轴交于点 B，倾斜角ABx12015135.三、倾斜角和斜率的应用问题 4当直线的倾斜角由 0逐渐增大到 180，其斜率如何变化？为什么？提示当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大知识梳理设直线的倾斜角为，斜率为 k.的大小009090900不存在k0k 的增减性随 的增大而增大随 的增大而增大注意点：正切函数在0，)上不单调例 3已知两点 A(3,4)，B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共点(1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(2)求直线 l 的倾斜角 的取值范围解如图，由题意可知 kPA40311，kPB20311，(1)要使 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是(，11，)(2)由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间，又 PB 的倾斜角是 45，PA的倾斜角是 135，所以 的取值范围是 45135.反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解跟踪训练 3已知 A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)(1)求直线 AB 和 AC 的斜率；(2)若点 D 在线段 BC(包括端点)上移动时，求直线 AD 的斜率的变化范围解(1)由斜率公式可得直线 AB 的斜率 kAB234317.直线 AC 的斜率 kAC230353.故直线 AB 的斜率为17，直线 AC 的斜率为53.(2)如图所示，当 D 由 B 运动到 C 时，直线 AD 的斜率由 kAB增大到 kAC，所以直线 AD 的斜率的变化范围是17，53.1知识清单：(1)直线斜率的定义和斜率公式(2)直线的倾斜角及其范围2方法归纳：数形结合3常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清1(多选)下列说法正确的是()A若 是直线 l 的倾斜角，则 0180B若 k 是直线的斜率，则 kRC任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角答案ABC2若经过 A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为 45，则 m 等于()A2 B1 C1 D2答案A解析由题意知，tan 45231m，得 m2.3若 A(2,3)，B(3,2)，C(12，m)三点共线，则实数 m 的值为_答案92解析设直线 AB，BC 的斜率分别为 kABkBC，则由斜率公式，得 kAB32231，kBCm212325(m2)A，B，C 三点共线，kABkBC，即125(m2)，解得 m92.4经过 A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角 的取值范围是_(其中 m1)答案01 时，tan 32m10，090.故 090.课时对点练课时对点练1下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()A(4,2)与(4,1)B(0,3)与(3,0)C(3，1)与(2，1)D(2,2)与(2,5)答案D解析D 项，因为 x1x22，所以直线垂直于 x 轴，倾斜角为 90，斜率不存在2(多选)已知直线斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角可以为()A30 B60 C120 D150答案BC解析由题意得直线的斜率为3或3，故直线的倾斜角为 60或 120.3已知经过点 P(3，m)和点 Q(m，2)的直线的斜率为 2，则 m 的值为()A1 B1 C2 D.43答案D解析由m23m2，得 m43.4若某直线的斜率 k(，3，则该直线的倾斜角 的取值范围是()A.0，3 B.3，2C.0，3(2，)D.3，)答案C解析直线的斜率 k(，3，ktan 3，该直线的倾斜角 的取值范围是0，3(2，).5若 A(2,3)，B(3,2)，C(12，m)三点共线，则实数 m 的值为()A2 B2 C.52 D12答案C解析因为 A(2,3)，B(3,2)，C(12，m)三点共线，所以 kABkAC，即32233m212，所以153m52，解得 m52.6直线 l 过点 A(1,2)，且不过第四象限，则直线 l 的斜率的取值范围是()A0,2 B0,1C.0，12 D.12，0答案A解析如图所示，当直线 l 在 l1的位置时，ktan 00；当直线 l 在 l2的位置时，k20102，故直线 l 的斜率的取值范围是0,27已知点 A(1,2)，若在坐标轴上存在一点 P，使直线 PA 的倾斜角为 135，则点 P 的坐标为_答案(3,0)或(0,3)解析由题意知，kPA1，若点 P 在 x 轴上，设点 P 的坐标为 P(m,0)(m1)，则02m11，解得 m3，即 P(3,0)若点 P 在 y 轴上，设点 P 的坐标为 P(0，n)，则n2011，解得 n3，即 P(0,3)综上，点 P 的坐标为(3,0)或(0,3)8 若经过点 A(1t,1t)和点 B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数 t 的取值范围是_答案(2,1)解析由题意知，kAB2t1t31tt1t2.因为直线的倾斜角为钝角，所以 kABt1t20，解得2t0，即m11m0，解得1m1.10.如图所示，菱形 OBCD 的顶点 O 与坐标原点重合，OB 边在 x 轴的正半轴上，已知BOD60，求菱形 OBCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率解在菱形 OBCD 中，ODBC，BOD60，所以直线 OD，BC 的倾斜角相等，都为 60，所以 kODkBCtan 603.因为 CDOB，且 OB 在 x 轴上，所以直线 OB，CD 的倾斜角相等，都为 0，所以 kOBkCD0，由菱形的性质，知COB30，OBD60，所以直线 OC，BD 的倾斜角分别为 30，120，所以 kOCtan 3033，kBDtan 1203.11如果直线 l 先沿 x 轴负方向平移 2 个单位长度，再沿 y 轴正方向平移 2 个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线 l 的斜率是()A2 B1 C1 D2答案B解析设 A(a，b)是直线 l 上任意一点，则平移后得到点 A(a2，b2)，于是直线 l 的斜率 kkAAb2ba2a1.12已知点 A(2,3)，B(3，2)，若直线 l 过点 P(1,1)，且与线段 AB 始终没有交点，则直线l 的斜率 k 的取值范围是()A.Error!Error!B.Error!Error!C.Error!Error!Dk|kbc0，则faa，fbb，fcc的大小关系为()A.fccfbbfaa B.faafbbfccC.fccfaafbb D.faafccbc0，所以faafbbfcc.故选 B.16已知实数 x，y 满足方程 x2y6，当 1x3 时，求y1x2的取值范围解y1x2的几何意义是过 M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率因为点 M 在函数 x2y6 的图象上，且 1x3，所以可设该线段为 AB，且 A(1，52)，B(3，32)，又 kNA32，kNB12，所以y1x2的取值范围是(，3212，).苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件1.1 1.1 直线的斜率与倾斜角直线的斜率与倾斜角我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？导导 语语一、直线的斜率一、直线的斜率问题1交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k.若k0，则表示上坡，若k0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？提示坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦.问题2若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1x2时，你能用一个量反应直线l的倾斜程度吗？问题3运用k(x1x2)计算直线AB的斜率时，需要考虑A，B的顺序吗？对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(1)如果x1x2：知识梳理知识梳理(2)如果x1x2，那么直线l的斜率不存在.注意点：直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式.例1如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(2，1)，Q2(4，2)，Q3(3,2).(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；解由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在.设它们的斜率分别为k1，k2，k3.(2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率.解当a3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在.反思感悟(1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”.(2)由例题中图可以看出：当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合.跟踪训练1经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(2,3)，D(2，1)；(3)P(3,1)，Q(3,10)；(4)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率.解不存在.因为xPxQ3，所以直线PQ的斜率不存在.解当a3时，斜率不存在；二、直线的倾斜角二、直线的倾斜角1.直线的倾斜角(1)倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直线，把 x轴绕着交点按方向旋转到与直线重合时，所转过的最小也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角称为这条直线的倾斜角.(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为.(3)倾斜角的范围为.逆时针正角00，)知识梳理知识梳理2.直线的倾斜角与斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为，则：(1)当y1y2时(此时必有x1x2)，.(2)当x1x2时(此时必有y1y2)，.(3)当x1x2且y1y2时，tan.090例例2(1)(多选)下列命题中，正确的是A.任意一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为30C.倾斜角为0的直线有无数条D.若直线的倾斜角为，则sin(0,1)解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.D中，当0时，sin0；当90时，sin1，故D错误.(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为A.45B.135C.135D.45解析根据题意，画出图形，如图所示.通过图象可知，当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.(2)注意倾斜角的范围.跟跟踪踪训训练练2已知直线l1的倾斜角为115，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120，如图所示，求直线l2的倾斜角.解l1与l2向上的方向之间所成的角为120，l2与x轴交于点B，倾斜角ABx12015135.三三、倾斜角和斜率的应用、倾斜角和斜率的应用问问题题4当直线的倾斜角由0逐渐增大到180，其斜率如何变化？为什么？提示当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.设直线的倾斜角为，斜率为k.的大小009090900增大k0增大注意点：正切函数在0，)上不单调.知识梳理知识梳理例例3已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(，11，).(2)求直线l的倾斜角的取值范围.解由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.跟踪训练跟踪训练3已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2).(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.解如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，1.知识清单：(1)直线斜率的定义和斜率公式.(2)直线的倾斜角及其范围.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练12341.(多选)下列说法正确的是A.若是直线l的倾斜角，则0180B.若k是直线的斜率，则kRC.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角12342.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45，则m等于A.2B.1C.1D.21234解析设直线AB，BC的斜率分别为kABkBC，A，B，C三点共线，kABkBC，4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角的取值范围是_.(其中m1)1234解析当m1时，倾斜角90；090故090.课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是A.(4,2)与(4,1)B.(0,3)与(3,0)C.(3，1)与(2，1)D.(2,2)与(2,5)解析D项，因为x1x22，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90，斜率不存在.2.(多选)已知直线斜率的绝对值为，则直线的倾斜角可以为A.30B.60C.120D.15012345678910 11 12 13 14 15 16故直线的倾斜角为60或120.12345678910 11 12 13 14 15 163.已知经过点P(3，m)和点Q(m，2)的直线的斜率为2，则m的值为12345678910 11 12 13 14 15 16所以kABkAC，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是A.0,2B.0,1解析如图所示，当直线l在l1的位置时，ktan00；故直线l的斜率的取值范围是0,2.7.已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135，则点P的坐标为_.12345678910 11 12 13 14 15 16(3,0)或(0,3)12345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意知，kPA1，若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m1)，解得m3，即P(3,0).若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)，解得n3，即P(0,3).综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3).8.若经过点A(1t,1t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是_.12345678910 11 12 13 14 15 16因为直线的倾斜角为钝角，(2,1)解得2t0，解得1m1.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知BOD60，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.解在菱形OBCD中，ODBC，BOD60，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60，所以kODkBCtan60.因为CDOB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0，所以kOBkCD0，由菱形的性质，知COB30，OBD60，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30，120，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1611.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是A.2B.1C.1D.2综合运用解析设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A(a2，b2)，12.已知点A(2,3)，B(3，2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是直线l与线段AB始终没有交点，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(，11，)综上，直线l的斜率的取值范围是(，11，).14.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，AOy15，则斜边AB所在直线的斜率为_.12345678910 11 12 13 14 15 16解析设直线AB与x轴的交点为C，(图略)则ACO180AAOC1804510530，或ACO180AAOC180457560.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析作出函数f(x)log3(x2)的大致图象，如图所示.由图象可知，y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为点M在函数x2y6的图象上，且1x3，12345678910 11 12 13 14 15 16