苏教版高中数学选择性必修一第3章3.2.1第2课时《双曲线标准方程的综合应用》教案及课件.zip

第第 2 课时双曲线标准方程的综合应用课时双曲线标准方程的综合应用学习目标 1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.2.了解直线与双曲线的位置关系一、双曲线方程的设法例 1(1)与双曲线x216y241 有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点 P(3，154)，Q(163，5)且焦点在坐标轴上解(1)方法一焦点相同，设所求双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，c216420，即 a2b220.双曲线经过点(32，2)，18a24b21.由得 a212，b28，双曲线的标准方程为x212y281.方法二设所求双曲线的方程为x216y241(416)双曲线过点(32，2)，1816441，解得 4 或 14(舍去)双曲线的标准方程为x212y281.(2)设双曲线的方程为 Ax2By21，ABb0)有公共焦点的双曲线方程为x2a2y2b21(a2b0)有公共焦点的双曲线方程为y2a2x2b21(a20，b0)有公共焦点的双曲线方程为x2a2y2b21(a20，b0)有公共焦点的双曲线方程为y2a2x2b21(a20，b0)依题意知 b225a2，故所求双曲线方程可写为x2a2y225a21.因为点 P(52，6)在所求双曲线上，所以(52)2a26225a21，化简得 4a4129a21250，解得 a21 或 a21254.当 a21254时，b225a22512542540，不符合题意，舍去，所以 a21，b224，所以所求双曲线的标准方程为 x2y2241.方法二设所求双曲线的标准方程为x216y291(169)，因为点 P 在双曲线上，则5416691，解得 15，所以双曲线的方程为 x2y2241.二、双曲线定义的应用例 2已知 F1，F2分别是双曲线x29y2161 的左、右焦点，若 P 是双曲线左支上的点，且PF1PF232.试求F1PF2的面积解因为 P 是双曲线左支上的点，所以 PF2PF16，两边平方得 PF2 1PF2 22PF1PF236，所以 PF2 1PF2 2362PF1PF236232100.在F1PF2中，由余弦定理，得 cosF1PF2PF2 1PF2 2F1F2 22PF1PF21001002PF1PF20，所以F1PF290，所以12F PFS12PF1PF2123216.延伸探究1若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点 P 到焦点 F1的距离为 10.求点 P 到 F2的距离解由双曲线的标准方程x29y2161，得 a3，b4，c5.由双曲线定义得|PF1PF2|2a6，|10PF2|6，解得 PF24 或 PF216.2若本例条件“PF1PF232”改成“PF1PF225”，其他条件不变，求F1PF2的面积解由 PF1PF225，PF2PF16，可知 PF210，PF14，PF1上的高为100446，12F PFS1244686.3本例中，将条件“PF1PF232”改为“F1PF260”，其他条件不变，求F1PF2的面积解由x29y2161，得 a3，b4，c5.由定义和余弦定理得 PF1PF26，F1F2 2PF2 1PF2 22PF1PF2cos 60，102(PF1PF2)2PF1PF2，PF1PF264，12F PFS12PF1PF2sin F1PF2126432163.反思感悟求双曲线中的焦点PF1F2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|PF1PF2|2a；利用余弦定理表示出 PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；通过配方，整体的思想求出 PF1PF2的值；利用公式1 2PF FS12PF1PF2sinF1PF2求得面积(2)利用公式1 2PF FS12F1F2|yP|求得面积跟踪训练 2(1)在ABC 中，A(5,0)，B(5,0)，点 C 在双曲线x216y291 上，则sin Asin Bsin C等于()A.35 B35 C45 D45答案D解析在ABC 中，sin ABC2R，sin BAC2R，sin CAB2R102R(其中 R 为ABC 外接圆的半径)sin Asin Bsin CBCAC2R102RBCAC10.又BCAC8，sin Asin Bsin C81045.(2)已知 A(4,0)，B 是圆(x1)2(y4)21 上的点，点 P 在双曲线x29y271 的右支上，则PAPB 的最小值为()A9 B256 C10 D12答案C解析设点 C(1,4)，点 B 在圆上，则 PBPCrPC1，由点 P 在双曲线右支上，点 A 为双曲线左焦点，设 A为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知 PAPA2aPA6，所以 PAPBPAPB6PAPC61AC55510.三、直线与双曲线的位置关系例 3已知双曲线 x2y24，直线 l：yk(x1)，直线 l 与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数 k 的取值范围解联立Error!Error!消去 y，得(1k2)x22k2xk240.(*)当 1k20，即 k1 时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)由Error!Error!得233k0，直线 y2x1 与双曲线 x2y291 有 2 个交点课时对点练课时对点练1与椭圆x216y2251 共焦点，且过点(2，10)的双曲线方程为()A.x25y241 B.y25x241C.y25x231 D.x25y231答案B解析方法一由题意得椭圆的焦点为(0,3)，(0，3)，所以双曲线的焦点为(0,3)，(0，3)，设双曲线的方程为y2a2x2b21(a0，b0)，所以Error!Error!解得Error!Error!所以双曲线的方程为y25x241.方法二设双曲线的方程为x216y2251(250，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2.若双曲线上存在点 A 使得F1AF290，且 AF12AF24，则双曲线的方程为()Ax2y241 B.x24y21C.x22y231 D.x23y221答案A解析由题意，根据双曲线的定义及 AF12AF24，可得 AF1AF222a，解得 a1，因为F1AF290，所以 F1F2 2AF2 1AF2 220，即(2c)220，即 c25，又 b2a2c2，则 b2c2a24，所以双曲线的方程为 x2y241.3已知点 M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆 C 与直线 MN 切于点 B，过 M，N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则 P 点的轨迹方程为()Ax2y281(x1)Cx2y281(x0)Dx2y2101(x1)答案B解析PMPNBMBN21)4 已知 F1，F2为双曲线 C：x2y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，PF12PF2，则 cosF1PF2等于()A.14 B.35 C.34 D.45答案C解析由双曲线的定义知，PF1PF222，又 PF12PF2，所以 PF222，PF142，F1F22c2a2b24.所以 cosF1PF2PF2 1PF2 2F1F2 22PF1PF2328162 42 22243234.5已知 F 是双曲线x24y2121 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则 PFPA 的最小值为()A5 B6 C8 D9答案D解析对于双曲线x24y2121，a2，b23，c4，如图所示，设双曲线的右焦点为 M，则 M(4,0)，由双曲线的定义可得 PFPM4，则 PF4PM，所以 PFPAPMPA4AM414240249，当且仅当 A，P，M 三点共线时，等号成立因此 PFPA 的最小值为 9.6.若 A，B，C 是三个雷达观察哨，A 在 B 的正东，两地相距 6 km，C 在 A 的北偏东 30，两地相距 4 km，在某一时刻，B 观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为 1 km/s,4 s 后A，C 两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点 P 的坐标是()A(8,53)B(8,53)C(8，53)D(8，53)答案B解析由题意知，点 A(3,0)，B(3,0)，C(5,23)，则线段 AC 的中点为(4，3)，直线 AC 的斜率 kAC23533，所以线段 AC 的垂直平分线的斜率 k33，所以线段 AC 的垂直平分线的方程为 y333(x4)，即 y33x733，设 P(x，y)，由 PAPC 可得点 P 在线段 AC 的垂直平分线上，又 PAPB4AB6，所以点 P 在以 A，B 为焦点的双曲线的左支上，且 a2，c3，b2c2a25，所以该双曲线的方程为x24y251(x2)，所以Error!Error!解得Error!Error!所以点 P 的坐标为(8,53)7经过点 P(3,27)和 Q(62，7)，且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是_答案y225x2751解析设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0 可得2k0，b0)由 PMPN4，得 2a4，a2，a24.由 MN20，得 2c20，c10，c2100，所以 b2c2a2100496，故所求方程为x24y2961(x2)10已知双曲线 3x2y23，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45，与双曲线交于 A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长解双曲线方程可化为 x2y231，故 a21，b23，c2a2b24，c2.F2(2,0)，又直线 l 的倾斜角为 45，直线 l 的斜率 ktan 451，直线 l 的方程为 yx2，代入双曲线方程，得 2x24x70.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2722c10PF2133.且 cosPF2F1PF2 2F1F2 2PF2 12PF2F1F25131)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线上，且满足 PF1PF22n2，则PF1F2的面积为()A1 B.12 C2 D4答案A解析设点 P 在双曲线的右支上，则 PF1PF22n，已知 PF1PF22n2，解得 PF1n2n，PF2n2n，PF1PF22.又 F1F22n1，则 PF2 1PF2 2F1F2 2，所以PF1F2为直角三角形，且F1PF290，于是1 2PF FS12PF1PF21221.15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射 已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)与双曲线 C：x2m2y2n21(m0，n0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过 2k(kN*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为_答案2k(am)解析光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，BF22mBF1，BF1BAAF1BF22mBAAF1AF2AF12m2a2m，所以光线经过 2k(kN*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为 2k(am)16已知ABC 的一边的两个顶点 B(a,0)，C(a,0)(a0)，另两边的斜率之积等于m(m0)求顶点 A 的轨迹方程，并且根据 m 的取值情况讨论轨迹的图形解设顶点 A 的坐标为(x，y)，则kAByxa，kACyxa.由题意，得yxayxam，即x2a2y2ma21(y0)当 m0 时，轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(除去与 x 轴的两个交点)；当 m0 且 m1 时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与 x 轴的两个交点)，其中当1m0 时，椭圆焦点在 x 轴上；当 m1 时，椭圆焦点在 y 轴上；当 m1 时，轨迹是圆心在原点，半径为 a 的圆(除去与 x 轴的两个交点)苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件双曲线标准方程的综合应用双曲线标准方程的综合应用一、双曲线方程的设法一、双曲线方程的设法解方法一焦点相同，c216420，即a2b220.由得a212，b28，解得4或14(舍去).解设双曲线的方程为Ax2By21，AB0，2课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16解析方法一由题意得椭圆的焦点为(0,3)，(0，3)，所以双曲线的焦点为(0,3)，(0，3)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解得7(舍去)或20.12345678910 11 12 13 14 15 162.已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得F1AF290，且AF12AF24，则双曲线的方程为12345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意，根据双曲线的定义及AF12AF24，可得AF1AF222a，解得a1，因为F1AF290，即(2c)220，即c25，又b2a2c2，则b2c2a24，3.已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为解析PMPNBMBN26MN，所以P点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去点(1,0)，且a1，c3，b2c2a28，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 164.已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，PF12PF2，则cosF1PF2等于12345678910 11 12 13 14 15 16又PF12PF2，12345678910 11 12 13 14 15 165.已知F是双曲线 1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为A.5 B.6 C.8 D.912345678910 11 12 13 14 15 16如图所示，设双曲线的右焦点为M，则M(4,0)，由双曲线的定义可得PFPM4，则PF4PM，当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立.因此PFPA的最小值为9.12345678910 11 12 13 14 15 166.若A，B，C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6 km，C在A的北偏东30，两地相距4 km，在某一时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为1 km/s,4 s后A，C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点P的坐标是12345678910 11 12 13 14 15 16设P(x，y)，由PAPC可得点P在线段AC的垂直平分线上，又PAPB4AB6，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，且a2，c3，b2c2a25，12345678910 11 12 13 14 15 16解析设双曲线的方程为mx2ny21(mn0可得2kb0)与双曲线C：1(m0，n0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(kN*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为_.2k(am)12345678910 11 12 13 14 15 16解析光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，BF22mBF1，BF1BAAF1BF22mBAAF1AF2AF12m2a2m，所以光线经过2k(kN*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(am).12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知ABC的一边的两个顶点B(a,0)，C(a,0)(a0)，另两边的斜率之积等于m(m0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.12345678910 11 12 13 14 15 16当m0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；当m0且m1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当1m0时，椭圆焦点在x轴上；当m1时，椭圆焦点在y轴上；当m1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).