苏教版高一数学选择性必修一第1章1.5.1《平面上两点间的距离》教案及课件.zip

1.5平面上的距离平面上的距离15.1平面上两点间的距离平面上两点间的距离学习目标 1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题导语在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点 C，以方便居住在两个小区住户的出行如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？一、两点之间的距离公式问题 1在数轴上已知两点 A，B，如何求 A，B 两点间的距离？提示AB|xAxB|.问题 2已知平面内两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？提示(1)当 P1P2与 x 轴平行时，P1P2|x2x1|；(2)当 P1P2与 y 轴平行时，P1P2|y2y1|；(3)当 P1P2与坐标轴不平行时，如图，在 RtP1QP2中，P1P2 2P1Q2QP2 2，所以 P1P2 x2x12y2y12.即两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离 P1P2 x2x12y2y12.知识梳理1平面上 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式 P1P2 x2x12y2y12.2原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离 OP x2y2.注意点：(1)此公式与两点的先后顺序无关(2)已知斜率为 k 的直线上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得 P1P2x2x12y2y12 1k2|x2x1|，或 P1P211k2|y2y1|.例 1已知ABC 的三个顶点 A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，试判断ABC 的形状解方法一AB 332312 522 13，AC 132712 522 13，又 BC 132732 1042 26，AB2AC2BC2，且 ABAC，ABC 是等腰直角三角形方法二kAC711332，kAB313323，kACkAB1，ACAB.又 AC 132712 522 13，AB 332312 522 13，ACAB，ABC 是等腰直角三角形反思感悟计算两点间距离的方法(1)对于任意两点 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，则 P1P2 x2x12y2y12.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解跟踪训练 1若点 M 到 x 轴和到点 N(4,2)的距离都等于 10，则点 M 的坐标为_答案(2,10)或(10,10)解析由点 M 到 x 轴的距离等于 10 可知，其纵坐标为10.设点 M 的坐标为(xM，10)由两点间距离公式，得 MN xM42102210 或 MN xM42102210，解得 xM10 或 xM2，所以点 M 的坐标为(2,10)或(10,10)二、由两点间距离求参数值例 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：xya0 与点 A(2,0)，若直线 l 上存在点 M满足 MA2MO(O 为坐标原点)，则实数 a 的取值范围是_答案24 23，24 23解析设 M(x，xa)，由 MA2MO，得(x2)2(xa)24x24(xa)2，整理，得 6x2(6a4)x3a240，由 0 得 9a212a280，解得24 23a24 23，故 a 的取值范围为24 23，24 23.反思感悟将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解跟踪训练 2在直线 2x3y50 上求点 P，使点 P 到 A(2,3)的距离为 13，则点 P 的坐标是()A(5,5)B(1,1)C(5,5)或(1,1)D(5,5)或(1，1)答案C解析设点 P(x，y)，则 y2x53.由 PA 13，得(x2)2(2x533)213，即(x2)29，解得 x1 或 x5.当 x1 时，y1；当 x5 时，y5，点 P 的坐标为(1,1)或(5,5)三、坐标法的应用例 3求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半证明如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，其中 D，E 分别为边 AC 和 BC 的中点设 A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则 AB|c|.又由中点坐标公式，得 D(m2，n2)，E(cm2，n2)，DE|cm2m2|c2|，DE12AB，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半反思感悟(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤建立坐标系，用坐标表示有关的量进行有关代数运算把代数运算的结果“翻译”成几何结论跟踪训练 3已知在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，对角线为 AC 和 BD.求证：ACBD.证明如图所示，建立平面直角坐标系，设 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点 D 的坐标是(ab，c)AC b02c02 b2c2，BD aba2c02 b2c2.故 ACBD.1知识清单：(1)两点间的距离(2)由两点间距离求参数(3)坐标法的应用2方法归纳：待定系数法、坐标法3常见误区：已知距离求参数问题易漏解1已知点 A(2，1)，B(a,3)，且 AB5，则 a 的值为()A1 B5C1 或5 D1,5答案C解析由两点间距离公式得 a223125.解得 a1 或 a5，故选 C.2直线 yx 上的两点 P，Q 的横坐标分别是 1,5，则 PQ 等于()A4 B4 2 C2 D2 2答案B解析P(1,1)，Q(5,5)，PQ 42424 2.3(多选)直线 xy10 上与点 P(2,3)的距离等于 2的点的坐标是()A(4,5)B(3,4)C(1,2)D(0,1)答案BC解析设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0y010，且 x022y032 2，两式联立解得Error!或Error!4 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(3,3)，B(1,1)，若直线 xym0 上存在点 P 使得 PA 3PB，则实数 m 的取值范围是_.答案2 3，2 3解析设 P(x，xm)，因为 PA 3PB，所以 PA23PB2，所以(3x)2(3xm)23(1x)23(1xm)2，化简得 2x22mxm260，则 4m242(m26)0，解得2 3m2 3，即实数 m 的取值范围是2 3，2 3课时对点练课时对点练1若 A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则ACCB等于()A.13 B.12 C3 D2答案D解析AC4 2，CB2 2，故ACCB2.2(多选)对于 x22x5，下列说法正确的是()A可看作点(x,0)与点(1,2)的距离B可看作点(x,0)与点(1，2)的距离C可看作点(x,0)与点(1,2)的距离D可看作点(x，1)与点(1,1)的距离答案BCD解析 x22x5 x124 x120 22 x12112，可看作点(x,0)与点(1，2)的距离，可看作点(x,0)与点(1,2)的距离，可看作点(x，1)与点(1,1)的距离，故选项 A 不正确3点 P(2,5)为平面直角坐标系内一点，线段 PM 的中点是(1,0)，那么点 M 到原点 O 的距离为()A41 B.41 C.39 D39答案B解析设 M(x，y)，由中点坐标公式得x221，y520，解得 x4，y5.所以点 M(4，5)，则 OM 4252 41.4在ABC 中，已知 A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，D 为 BC 边的中点，则线段 AD 的长是()A2 5 B3 5 C.5 52 D.7 52答案C解析由中点坐标公式可得，BC 边的中点 D(32，6).由两点间的距离公式得 AD(432)21625 52.5两直线 3axy20 和(2a1)x5ay10 分别过定点 A，B，则 AB 的值为()A.895 B.175 C.135 D.115答案C解析直线 3axy20 过定点 A(0，2)，直线(2a1)x5ay10 过定点 B(1，25)，由两点间的距离公式，得 AB135.6已知 A(5,2a1)，B(a1，a4)，当 AB 取最小值时，实数 a 的值是()A72 B12 C.12 D.72答案C解析A(5,2a1)，B(a1，a4)，AB a152a42a12 a42a32 2a22a252(a12)2492，当 a12时，AB 取得最小值7过点 A(4，a)和 B(5，b)的直线和直线 yxm 平行，则 AB_.答案 2解析由题意知 kABba54ba1，所以 AB 542ba2 2.8若动点 P 的坐标为(x,1x)，xR，则动点 P 到原点的最小值是_答案22解析由两点间的距离公式得 P 到原点的距离为 x21x2 2x22x12(x12)212，最小值为1222.9已知直线 ax2y10 和 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点到原点的距离为24，求 a 的值解由题易知 a0，直线 ax2y10 中，令 y0，有 x1a，则 A(1a，0)，令 x0，有 y12，则 B(0，12)，故 AB 的中点为(12a，14)，线段 AB 的中点到原点的距离为24，(12a0)2(140)224，解得 a2.10已知直线 l1：2xy60 和点 A(1，1)，过 A 点作直线 l 与已知直线 l1相交于 B 点，且使 AB5，求直线 l 的方程解当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为y1k(x1)，解方程组Error!得Error!即 B(7kk2，4k2k2).由 AB(7kk21)2(4k2k21)25，解得 k34，所以直线 l 的方程为 y134(x1)，即 3x4y10.当过 A 点的直线的斜率不存在时，方程为 x1.此时，与 l1的交点为(1,4)，也满足题意综上所述，直线 l 的方程为 3x4y10 或 x1.11 已知 A(2,4)，B(1,0)，动点 P 在直线 x1 上，当 PAPB 取最小值时，点 P 的坐标为()A.(1，85)B.(1，215)C(1,2)D(1,1)答案A解析点 B 关于直线 x1 对称的点为 B1(3,0)，由图形知，当 A，P，B1三点共线时，PAPB1(PAPB)min，此时，直线 AB1的方程为 y45(x3)，令 x1，得 y85，故选 A.12已知 x，yR，S x12y2 x12y2，则 S 的最小值是()A0 B2 C4 D.2答案B解析S x12y2 x12y2可以看作是点(x，y)到点(1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为 2.13已知ABC 的三顶点 A(3,8)，B(11,3)，C(8，2)，则 BC 边上的高 AD 的长度为_答案5 342解析由两点间距离公式得 AB 221，BC 34，AC 221.ABAC，ABC 是等腰三角形，D 为 BC 的中点，由中点坐标公式易得 D(192，12)，AD(1923)2(128)25 342.14在 RtABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则PA2PB2PC2_.答案10解析以 C 为原点，AC，BC 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设 A(4a,0)，B(0,4b)，则 D(2a,2b)，P(a，b)，所以 PA29a2b2，PB2a29b2，PC2a2b2，于是 PA2PB210(a2b2)10PC2，即PA2PB2PC210.15已知两点 A(2,3)，B(4,1)，P 为直线 l：x2y20 上一动点，则 PAPB 的最小值为_，PAPB 的最大值为_答案2 17052 2解析如图，可判断 A，B 在直线 l 的同侧，设点 A 关于 l 的对称点 A的坐标为(x1，y1)则有Error!解得Error!故 A(25，95).由平面几何知识可知，当点 P 为直线 AB 与直线 l 的交点时，PAPB 最小，此时 PAPBPAPBAB，故 PAPB 的最小值为AB(254)2(951)22 1705.由平面几何知识可知，当点 P 为直线 AB 与 l 的交点时，PAPB 最大，此时 PAPBAB.故 PAPB 的最大值为 AB 2423122 2.16.如图所示，已知 BD 是ABC 的边 AC 上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2BC212AC22BD2.证明如图所示，以 AC 所在的直线为 x 轴，点 D 为坐标原点，建立平面直角坐标系设 B(b，c)，C(a,0)，依题意得 A(a,0)AB2BC212AC2(ab)2c2(ab)2c212(2a)22a22b22c22a22b22c2，2BD22(b2c2)2b22c2，所以 AB2BC212AC22BD2.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件1.5.11.5.1 平面上两点间的距离平面上两点间的距离在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？导导 语语一、两点之间的距离公式一、两点之间的距离公式问题1在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？提示AB|xAxB|.问题2已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？提示(1)当P1P2与x轴平行时，P1P2|x2x1|；(2)当P1P2与y轴平行时，P1P2|y2y1|；(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在RtP1QP2中，1.平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式 _ .知识梳理知识梳理例1已知ABC的三个顶点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，试判断ABC的形状.AB2AC2BC2，且ABAC，ABC是等腰直角三角形.kACkAB1，ACAB.ACAB，ABC是等腰直角三角形.反思感悟计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.跟踪训练1若点M到x轴和到点N(4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为_.解析由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为10.设点M的坐标为(xM，10).由两点间距离公式，(2,10)或(10,10)解得xM10或xM2，所以点M的坐标为(2,10)或(10,10).二、由两点间距离求参数值二、由两点间距离求参数值例2在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xya0与点A(2,0)，若直线l上存在点M满足MA2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是_.解析设M(x，xa)，由MA2MO，得(x2)2(xa)24x24(xa)2，整理，得6x2(6a4)x3a240，由0得9a212a280，反思感悟将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解.跟跟踪踪训训练练2在直线2x3y50上求点P，使点P到A(2,3)的距离为 ，则点P的坐标是A.(5,5)B.(1,1)C.(5,5)或(1,1)D.(5,5)或(1，1)即(x2)29，解得x1或x5.当x1时，y1；当x5时，y5，点P的坐标为(1,1)或(5,5).三、坐标法的应用三、坐标法的应用例例3求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.证明如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点.设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则AB|c|.即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.反思感悟(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”.(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤建立坐标系，用坐标表示有关的量.进行有关代数运算.把代数运算的结果“翻译”成几何结论.跟跟踪踪训训练练3已知在等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：ACBD.证明如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c).故ACBD.1.知识清单：(1)两点间的距离.(2)由两点间距离求参数.(3)坐标法的应用.2.方法归纳：待定系数法、坐标法.3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知点A(2，1)，B(a,3)，且AB5，则a的值为A.1 B.5C.1或5 D.1,5解得a1或a5，故选C.123412342.直线yx上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则PQ等于解析P(1,1)，Q(5,5)，12343.(多选)直线xy10上与点P(2,3)的距离等于 的点的坐标是A.(4,5)B.(3,4)C.(1,2)D.(0,1)解析设所求点的坐标为(x0，y0)，4.在平面直角坐标系xOy中，点A(3,3)，B(1,1)，若直线xym0上存在点P使得PA PB，则实数m的取值范围是_.解析设P(x，xm)，因为PA PB，所以PA23PB2，所以(3x)2(3xm)23(1x)23(1xm)2，化简得2x22mxm260，则4m242(m26)0，1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 162.(多选)对于 ，下列说法正确的是A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离B.可看作点(x,0)与点(1，2)的距离C.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离D.可看作点(x，1)与点(1,1)的距离可看作点(x,0)与点(1，2)的距离，可看作点(x,0)与点(1,2)的距离，可看作点(x，1)与点(1,1)的距离，故选项A不正确.12345678910 11 12 13 14 15 163.点P(2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为解得x4，y5.4.在ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是12345678910 11 12 13 14 15 165.两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A，B，则AB的值为解析直线3axy20过定点A(0，2)，12345678910 11 12 13 14 15 166.已知A(5,2a1)，B(a1，a4)，当AB取最小值时，实数a的值是解析A(5,2a1)，B(a1，a4)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 167.过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线yxm平行，则AB_.12345678910 11 12 13 14 15 168.若动点P的坐标为(x,1x)，xR，则动点P到原点的最小值是_.12345678910 11 12 13 14 15 169.已知直线ax2y10和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为 ，求a的值.解由题易知a0，直线ax2y10中，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.已知直线l1：2xy60和点A(1，1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使AB5，求直线l的方程.解当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x1)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16即3x4y10.当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x1.此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意.综上所述，直线l的方程为3x4y10或x1.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.已知A(2,4)，B(1,0)，动点P在直线x1上，当PAPB取最小值时，点P的坐标为12345678910 11 12 13 14 15 16解析点B关于直线x1对称的点为B1(3,0)，由图形知，当A，P，B1三点共线时，PAPB1(PAPB)min，12345678910 11 12 13 14 15 16数形结合(图略)易知最小值为2.13.已知ABC的三顶点A(3,8)，B(11,3)，C(8，2)，则BC边上的高AD的长度为_.ABAC，ABC是等腰三角形，12345678910 11 12 13 14 15 1614.在RtABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 _.解析以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a,0)，B(0,4b)，则D(2a,2b)，P(a，b)，所以PA29a2b2，PB2a29b2，PC2a2b2，于是PA2PB210(a2b2)10PC2，1012345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知两点A(2,3)，B(4,1)，P为直线l：x2y20上一动点，则PAPB的最小值为_，PAPB的最大值为_.解析如图，可判断A，B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A的坐标为(x1，y1).12345678910 11 12 13 14 15 16由平面几何知识可知，当点P为直线AB与直线l的交点时，PAPB最小，此时PAPBPAPBAB，12345678910 11 12 13 14 15 16由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，PAPB最大，此时PAPBAB.12345678910 11 12 13 14 15 1616.如图所示，已知BD是ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2BC2 AC22BD2.证明如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系.设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(a,0).2a22b22c22a22b22c2，2BD22(b2c2)2b22c2，12345678910 11 12 13 14 15 16