1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥.赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁.赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格.虽然历经千年风霜及车压导 语导 语人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥.由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？一、圆的一般方程的理解一、圆的一般方程的理解问题1如果方程x2y2DxEyF0能表示圆的方程，有什么条件？提示将方程x2y2DxEyF0，当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示圆
2、.问题2当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示什么图形？提示当D2E24F0时，1.圆的一般方程的概念方程x2y2DxEyF0()叫作圆的一般方程(general equation of circle).2.圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为_，半径长为_.知识梳理知识梳理D2E24F03.对方程x2y2DxEyF0的说明方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何图形D2E24F0D2E24F0注意点：注意点：(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程
3、x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0.例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆.(1)求实数m的取值范围；解由表示圆的充要条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，(2)写出圆心坐标和半径.解将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，反思感悟圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，在x2y2DxEyF0中，若D2E24F0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.跟踪训练1(1)若方程2x22y22ax2ay0(a0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为_.解析方程2x22y22ax2ay0(a0)，(
4、2)点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的面积为_.由圆的性质，知直线xy10经过圆心，9该圆的面积为9.二、求圆的一般方程二、求圆的一般方程例2已知ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标.解设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0.ABC外接圆的方程为x2y26x2y150，即(x3)2(y1)225，ABC的外接圆圆心为(3,1).反思感悟应用待定系数法求圆的方程(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b
5、，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练跟踪训练2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求ABC的外接圆的方程.解设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，即ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120.三、圆的一般方程的实际应用三、圆的一般方程的实际应用例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB20 m，拱高OP4 m.建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).解建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，由题意知，P(0,4)，B(10,
6、0)，A(10,0)，设圆拱所在圆的方程为x2y2DxEyF0，因为点A，B，P在圆上，故圆拱所在圆的方程为x2y221y1000，将P2的横坐标x2代入圆的方程得y3.86(m).故支柱A2P2的高度约为3.86 m.反思感悟解应用题的步骤(1)建模.(2)转化为数学问题求解.(3)回归实际问题，给出结论.跟踪训练跟踪训练3赵州桥的跨度是37.4 m，圆拱高约为7.2 m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.(精确到0.01)解建立如图所示的坐标系，则A(18.7,0)，B(18.7,0)，P(0,7.2)，设圆的方程为x2y2DxEyF0，所以圆的方程为x2y241.37y349.690.1.知识清
7、单：(1)圆的一般方程的理解.(2)求圆的一般方程.(3)圆的一般方程的实际应用.2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法.3.常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.方程2x22y24x8y100表示的图形是A.一个点 B.一个圆C.一条直线 D.不存在解析方程2x22y24x8y100，可化为x2y22x4y50，即(x1)2(y2)20，方程2x22y24x8y100表示点(1，2).123412342.若方程x2y2xym0表示一个圆，则实数m的取值范围是解析由D2E24F0得(1)2124m0，12343.若圆x2y22kx2y40关于直线
8、2xy30对称，则实数k_.解析由条件可知，直线经过圆的圆心(k，1)，2k(1)30，解得k2.212344.若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则F_.解析以(2，4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x2)2(y4)216.即x2y24x8y40，故F4.4课时对点练课时对点练基础巩固1.(多选)若a ，方程x2y22ax2ay2a2a10表示圆，则a的值可以为解析根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2(2a)24(2a2a1)0，解得a0解析AB显然正确；C中方程可化为(x1)2(y3)20，所以表示点(1,3)；D正确.12345678910 11 12 13
9、 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 164.若直线2xym0过圆x2y22x4y0的圆心，则m的值为A.2 B.1 C.2 D.0解析圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心坐标为(1，2)，直线2xym0过x2y22x4y0的圆心.22m0，解得m0.12345678910 11 12 13 14 15 165.圆C：x2y24x2y0关于直线yx1对称的圆的方程是A.(x1)2(y2)25 B.(x4)2(y1)25C.(x2)2(y3)25 D.(x2)2(y3)25解析把圆C的方程化为标准方程为(x2)2(y1)25，圆心C(2，1).设圆心C关
10、于直线yx1的对称点为C(x0，y0)，圆C关于直线yx1对称的圆的方程为(x2)2(y3)25.12345678910 11 12 13 14 15 166.若当方程x2y2kx2yk20所表示的圆取得最大面积时，则直线y(k1)x2的倾斜角等于所以当k0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为1，12345678910 11 12 13 14 15 167.方程x2y2axbyc0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则abc_.解析根据题意，得方程x2y2axbyc0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，2abc2.12345678910 11 12 13 14 15 16解析设圆C的圆
11、心坐标为(a,0)(a0)，x2y24x50解得a2(a2舍去)，所以圆C的方程为x2y24x50.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 169.已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490表示一个圆.(1)求t的取值范围；解圆的方程化为x(t3)2y(14t2)216t7t2.(2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.已知圆的方程为x2y22(m1)x
12、4my5m22m80.(1)求此圆的圆心与半径.解x2y22(m1)x4my5m22m80可化为x(m1)2(y2m)29，所以圆心为(1m,2m)，半径r3.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求证：无论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上且为半径相等的圆.证明由(1)可知，圆的半径为定值3，即2ab2.所以无论m为何值，方程表示的是圆心在直线2xy20上，且半径都等于3的圆.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.圆x2y2ax2y10关于直线xy10对称的圆的方程是x2y24x30，则a的值为A.0 B.1 C.2 D.3圆x
13、2y24x30的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线xy10对称，12345678910 11 12 13 14 15 1612.若直线l：axby10始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为解析圆M的圆心为(2，1)，由题意知点M在直线l上，所以2ab10，所以b2a1，所以(a2)2(b2)2(a2)2(2a12)25a255.12345678910 11 12 13 14 15 1613.已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为_.2解析设圆的方程为x2y2DxEyF0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程
14、中，所以圆的方程为x2y22x4y200.令x0，则y24y200，由根与系数的关系得y1y24；令y0，则x22x200，由根与系数的关系得x1x22，故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1y2x1x2422.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.设直线2x3y10和圆x2y22x30相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是_.解析圆的方程x2y22x30，化为标准方程为(x1)2y24，圆心坐标为(1,0)，3x2y30拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知点P(7,
15、3)，圆M：x2y22x10y250，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则SPSQ的最小值为A.7 B.8 C.9 D.10解析由题意知圆M的方程可化为(x1)2(y5)21，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P(7，3)，连接MP，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时SPSQ的值最小，否则，在x轴上另取一点S，连接SP，SP，SQ，由于P与P关于x轴对称，所以SPSP，SPSP，所以SPSQSPSQPQSPSQSPSQ.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.在平面几何中，通
16、常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆.锐角ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线W：x2y416，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(4,0)为曲线W上不同的四点.(1)求实数t的值及ABC的最小覆盖圆的方程；12345678910 11 12 13 14 15 16解由题意，得t2，由于ABC为锐角三角形，所以其外接圆就是ABC的最小覆盖圆.设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0，所以ABC的最小覆盖圆的方程为x2y23x40.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；解因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2y216.又因为OAOC24(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内.所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2y216.12345678910 11 12 13 14 15 16(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.12345678910 11 12 13 14 15 16解由题意，知曲线W为中心对称图形.设P(x0，y0)，且2y02.
