1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件一、椭圆方程的设法一、椭圆方程的设法例1求下列椭圆的方程.解得a215(a23舍去)，b210，因为ab0，所以方程组无解.解方法一当椭圆的焦点在x轴上时，当椭圆的焦点在y轴上时，方法二设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2ny21(m0，n0，mn)，进而求解.跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：解方法一(分类讨论法)若焦点在x轴上，则a2b0矛盾，舍去.方法二(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB).所以其焦点在y轴上，且
2、c225916.因为c216，且c2a2b2，故a2b216.由得b24，a220，二、椭圆定义的应用二、椭圆定义的应用例2设P是椭圆 1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若F1PF260，求F1PF2的面积.在PF1F2中，由椭圆的定义，得10PF1PF2，由，得3PF1PF275，所以PF1PF225，延伸探究1.将本例中的“F1PF260”改为“F1PF230”，其余条件不变，求F1PF2的面积.在PF1F2中，由椭圆的定义得10PF1PF2，2.将椭圆的方程改为“1”其余条件不变，求F1PF2的面积.解PF1PF22a20，又F1F22c12.由余弦定理知，即144(PF1PF2)23P
3、F1PF2，反思感悟椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若PF1PF22a(2aF1F2)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.跟踪训练跟踪训练2(1)已知椭圆 1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1PF2等于A.35 B.34C.53 D.43解析依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴PF2，又根据椭圆定义知PF1PF28
4、，所以PF1PF22，从而PF15，PF23，即PF1PF253.(2)已知椭圆 1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且PF1F2120，则PF1F2的面积为_.由椭圆定义得PF1PF22a4.三、与椭圆有关的轨迹问题三、与椭圆有关的轨迹问题例3点B是椭圆 1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程.解设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，即点B的坐标可表示为(2x2a,2y).反思感悟相关点代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).(2)找出(x，
5、y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.(4)化简方程得所求方程.跟踪训练跟踪训练3已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆的标准方程；若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为F(2,0)，又a2b2c2，b212，(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.解设P(x0，y0)，Q(x，y)，Q为PF的中点，1.知识清单：(1)椭圆方程的设法.(2)椭圆定义的应用.(3)与椭圆有关的轨迹.2.方法归纳：数形结合、待定系数法、分类讨论法.3.常见误区：漏掉验证曲线方程的
6、完备性.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为1234解析由椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)可知，椭圆的焦点在x轴上，且c1.又点P(2,0)在椭圆上，a2.12342.已知椭圆 1(ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线解析设椭圆的右焦点为F2，又MF1MF22a，所以POPF1aF1Oc，故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆.12343.椭圆的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大值为12，则椭圆方程
7、为_.解析如图，当P在y轴上时PF1F2的面积最大，又c4，a2b2c225.123412344.已知椭圆 1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF14，则F1PF2_.1201234解析由椭圆的定义知a29，b22，PF14，PF22aPF12.又0F1PF20，m3；若焦点在y轴上，则c25m24，又m0，m1.故选A.12345678910 11 12 13 14 15 163.已知ABC的周长为20，且顶点B(0，4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是解析由ABC的周长为20，且顶点B(0，4)，C(0,4)，可得ABAC12BC，所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a12,2
8、c8，所以a6，c4.因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，所以x0，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析设椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，12345678910 11 12 13 14 15 165.椭圆 1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为解析如图，当点P在x轴上方时，OM为PF1F2的中位线，12345678910 11 12 13 14 15 166.如图，已知椭圆C的中心为原点
9、O，F(2 ，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OPOF，且PF4，则椭圆C的方程为焦距为2c，右焦点为F，连接PF，如图所示.由OPOFOF知，FPF90，即FPPF.由椭圆定义，得PFPF2a4812，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析设Q(x，y)，12345678910 11 12 13 14 15 168.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米
10、，那么隧道设计的拱宽d至少应是_米.3212345678910 11 12 13 14 15 16解得a16，车辆高度不超过4.5米，a16，d2a32，故拱宽至少为32米.12345678910 11 12 13 14 15 169.已知椭圆 1(ab0)的焦点分别是F1(0，1)，F2(0,1)，且3a24b2.(1)求椭圆的标准方程；解依题意，知c21，又c2a2b2，且3a24b2，12345678910 11 12 13 14 15 16(2)设点P在这个椭圆上，且PF1PF21，求F1PF2的余弦值.解由于点P在椭圆上，所以PF1PF22a224.12345678910 11 12
11、 13 14 15 1610.设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程.12345678910 11 12 13 14 15 16解圆A的方程整理可得(x1)2y216，点A的坐标为(1,0)，如图所示，因为ADAC，所以ACDADC.因为EBAC，所以EBDACD，故EBDACDADC.所以EBED，故EAEBEAEDAD.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而AD4，所以EAEB4.12345678910 11 12 13 14 15 16由题设得A(1,0)，
12、B(1,0).AB2，由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a4，c1，所以a24，b23，12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用又a5，b3，c4，由2，得2PF1PF236，PF1PF218，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16如图所示，设F2是椭圆的右焦点，由椭圆的定义可知，PFPF22a6，所以PAPFPA6PF26(PF2PA)，所以求PAPF的最小值，也就是求PF2PA的最大值.由图易知，当P，A，F2三
13、点共线时，PF2PA取得最大值，12345678910 11 12 13 14 15 1613.(多选)已知F1，F2为椭圆 1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是A.MF2的最大值大于3B.MF1MF2的最大值为4C.F1MF2的最大值为60D.若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为l上满足PAPB2的解析由椭圆方程得a24，b23，c21，因此F1(1,0)，F2(1,0).选项A中，(MF2)maxac3，A错误；当且仅当MF1MF2时取等号，B正确；选项C中，当点M在y轴上时，F1MF2取得最大值，F1MF2的最大值为60，C正确；12345678910 1
14、1 12 13 14 15 16选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(x1，y)，PAPB2，|xx1|xx1|2，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 ANBN_.解析取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，12所以ANBN2(GF1GF2)4a12.12345678910 11 12 13 14 15 16PF1PF29，12345678910 11 12
15、13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.(1)已知F1，F2是椭圆 1的两个焦点，P是椭圆上一点，求PF1PF2的最大值；当且仅当PF1PF2时取等号，PF1PF2100，当且仅当PF1PF2时取等号，PF1PF2的最大值为100.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)已知A(1,1)，F1是椭圆5x29y245的左焦点，点P是椭圆上的动点，求PAPF1的最大值和最小值.由已知，得PF1PF22a6，PF16PF2，PAPF16(PF2PA).当PAPF2时，有0PAPF2AF2，等号成立时，PAPF1最大，此时点P是射线AF2与椭圆的交点，12345678910 11 12 13 14 15 16当PAPF2时，有0PF2PAAF2，等号成立时，PAPF1最小，12345678910 11 12 13 14 15 16
