1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处.当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有).所以能产生很好的听觉效果.其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？导 语导 语一、椭圆的几何性质一、椭圆的几何性质问题1观察椭圆 1(ab0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？提示范围：axa，byb；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(a,0)，A2
2、(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b).1.椭圆的简单几何性质知识梳理知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程 (ab0)范围_对称性对称轴为 ，对称中心为_顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长B1B2 ，长轴长A1A2_焦点_焦距F1F2_axa且bybbxb且aya坐标轴原点2b2aF1(0，c)，F2(0，c)F1(c,0)，F2(c,0)2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的 .(2)性质：离心率e的范围是 .当e越接近于1时，椭圆 ；当e越接近
3、于 时，椭圆就越接近于圆.注意点：注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为ac，最小值为ac.离心率(0,1)越扁0例1设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为 ，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.焦点坐标为F1(1,0)，F2(1,0)，反思感悟用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.跟踪训练1已知椭圆C1
4、：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.几何性质如下：范围：8x8，10y10；对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)，焦距为12；二、利用几何性质求椭圆的二、利用几何性质求椭圆的标准方程标准方程例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：解若焦点在x轴上，则a3，b2a2c2963.若焦点在y轴上，则b3，反思感悟利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用
5、椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e 等.(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.跟踪训练跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程：b2a2c225169.(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OFc，
6、A1A22b,2c6，cb3，a2b2c218，三、求椭圆的离心率三、求椭圆的离心率问题问题2椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？假设a固定，当e0时，c0，因为a2c2b2，则ba，所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁.问题问题3已知 的值能求出离心率吗？提示可以.解由题意知PF1PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2y2c2上.连接OP(图略)，则易知0bca，所以b2c2a2，即a2c2c2a2.延伸探究1.本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率.解当PF1F2为等腰直角三角形时，F1PF290，2.把本例中条件“使 0
7、”改为“使F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围.解由题意，知cb，c2b2.又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2.反思感悟求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e 求解.若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e 求解.(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.跟踪训练跟踪训练3已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF
8、2是正三角形，求该椭圆的离心率.焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0).1.知识清单：(1)椭圆的简单几何性质.(2)由椭圆的几何性质求标准方程.(3)求椭圆的离心率.2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法).3.常见误区：忽略椭圆离心率的范围0e1及长轴长与a的关系.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.椭圆3x24y212的长轴长、短轴长分别为123412342.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为解析不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，BF
9、1F2是正三角形.在RtOBF2中，OF2c，BF2a，OF2B60，12341234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析当0m2时，焦点在y轴上，此时a2m，b22，所以c2a2b2m2，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16A.有相等的焦距，相同的焦点B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对但焦点所在的坐标轴不同.12345678910 11 12 13 14 15 161
10、2345678910 11 12 13 14 15 164.(多选)已知椭圆C：16x225y2400，则关于椭圆C下列叙述正确的是A.椭圆C的长轴长为10B.椭圆C的两个焦点分别为(0，3)和(0,3)C.椭圆C的离心率等于D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则PQ则a5，b4，c3.长轴长为2a10，A正确；两焦点为(3,0)，(3,0)，B错误；将x3代入椭圆方程得163225y2400，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析如图，F2PF1是底角为30的等腰三角形PF2F2F112
11、345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则解析地球的中心是椭圆的一个焦点，由(*)，可得2amn2R，故C不正确；由(*)，可得(mR)(nR)a2c2.a2c2b2，b2(mR)(nR)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15
12、 16又F1F2M的周长为2a2c16t16，t1，a5，c3，b2a2c216.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 168.已知F1为椭圆 1(ab0)的右焦点，过椭圆长轴上一点M(不含端点)任意作一条直线l，交椭圆于A，B两点，且ABF1的周长的最大值为5b，则该椭圆的离心率为_.解析设椭圆的左焦点为F2，则有AF1BF1ABAF1BF1AF2BF24a5b，12345678910 11 12 13 14 15 169.我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R34百公里)的中心F为右焦点的椭圆.
13、已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里.求该探测器的运行轨道方程.12345678910 11 12 13 14 15 16ac80034，ac834，a438，c396.于是b2a2c235 028.10.如图，已知椭圆 1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；解若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.12345678910 11 12 13 14 15 16123
14、45678910 11 12 13 14 15 16解由题意知A(0，b)，F2(1,0)，又c21，所以b22，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.(多选)F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且cosOFA ，则椭圆的标准方程为解析当焦点在x轴上时，因为2a6，所以a3，c2，所以b2a2c2945.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于
15、椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2 ，过点F1的直线交C于点A，B，且ABF2的周长为8，则C的标准方程为解析因为ABF2的周长为8，所以ABAF2BF28，所以AF1BF1AF2BF28，即(AF1AF2)(BF1BF2)8，由椭圆的定义可知，AF1AF22a，BF1BF22a，所以2a2a8，解得a2，因为椭圆的焦点在x轴上，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.椭圆 1(ab0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且PF15PF2，则此椭圆离心
16、率的取值范围是12345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意可知PF1PF22a，PF15PF2，PF1PF2F1F2，14.如图，把椭圆 1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1FP2FP3FP7F的值为_.28解析设椭圆的另一个焦点为F，由椭圆的几何性质可知P1FP7F，P1FP7FP7FP7F2a，同理可得P2FP6FP3FP5F2P4F2a，又a4，故P1FP2FP3FP7F7a28.12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 16当点P在椭圆的上顶点或下顶点时，PF1F2的面积最大，以线段F1F2为直径的圆的方程为x2y21，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解设椭圆上任一点为P(x，y)(3x3)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16当且仅当x3时，(PA2)mina26a91，解得a2或a4(舍去)，综上可得a2.
