1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电导 语导 语视天线、雷达等.当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线抛物线的几何性质.一、抛物线的几何性质一、抛物线的几何性质问题1类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y22px(p0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？提示范围、对称性、顶点.1.抛
2、物线的几何性质知识梳理知识梳理标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴轴轴轴轴焦点坐标F_F_准线方程x_x_y_y_顶点坐标O(0,0)离心率e_xxyy12.通径：过焦点且与对称轴垂直的弦叫通径，通径长等于2p.注意点：注意点：只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.解析抛物线的标准方程为x22y，p1，通径为2.2(2)已知双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.反思感悟把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象
3、开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0).抛物线的焦点到顶点的距离为3，抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3.二、由抛物线的几何性质求标准方程二、由抛物线的几何性质求标
4、准方程例2(1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的标准方程是_.解析线段OA的垂直平分线为4x2y50，y25x其标准方程是y25x.(2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程.解设抛物线方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0).因为点P到对称轴距离为6，所以y06，因为点P在抛物线上，所以362ax0.所以所求抛物线方程为y24x或y236x.反思感悟求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置.不同的焦点设出不同的方程.跟踪训练跟踪训练2(1)已知双
5、曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_.x216y所以p8，所以所求的抛物线方程为x216y.(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若BC2BF，且AF4，求抛物线的方程.解如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，准线交x轴于点G，设BFa，则由已知得，BC2a，由定义得，BDa，故BCD30，在RtACE中，2AEAC，AF4，AC43a，BDFG，三、抛物线性质的实际应用三、抛物线性质的实际应用例3如图，A地在B地东偏北45方向，相距
6、2km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电.(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；解如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B(0,2)，A(2,4).因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点，l为准线的抛物线.设抛物线方程为x22py(p0)，则p4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x
7、28y.(2)问变电房M建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.解要使架设电路所用电线长度最短，即使MAMB的值最小.如图所示，过M作MHl，垂足为H，依题意得MBMH，所以MAMBMAMH，故当A，M，H三点共线时，MAMH取得最小值，即MAMB取得最小值，所用电线长度最短，最短长度为6km.反思感悟解决与抛物线有关的实际应用问题时，一般可根据题意(或图形)建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而利用其几何性质进行推理、运算.跟踪训练3有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条
8、小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1,0)，如图所示.(1)求菜地内的分界线C的方程；解因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点，EH为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分，易得其方程为y24x(0y0)，2p8，p4.抛物线方程为x28y或x28y.12343.抛物线y2x的焦点到准线的距离等于_.解析在抛物线y22px(p0)中，p的几何意义为焦点到准线的距离
9、.12344.已知抛物线y22px(p0)，直线xm与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1y2_.解析因为抛物线y22px(p0)关于x轴对称，xm与x轴垂直，故y1y2，即y1y20.0课时对点练课时对点练基础巩固1.若抛物线y22mx的焦点与圆x2y24x0的圆心重合，则m的值为A.2B.2C.4D.4将圆的方程变形为(x2)2y24可知其圆心为(2,0)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 162.若抛物线y22x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若AB，则抛物线的焦点到直线AB的距离为解析线段
10、AB所在的直线方程为x1，12345678910 11 12 13 14 15 163.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是A.(6，)B.6，)C.(3，)D.3，)所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，).12345678910 11 12 13 14 15 164.已知点M(4，y0)在抛物线C：y22px(p0)上，点M到抛物线C的焦点F的距离为5，设O为坐标原点，则OFM的面积为由抛物线的性质知点M到焦点的距离等于到准线的距离，解得p2，即抛物线的方程为y24x，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910
11、11 12 13 14 15 165.抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是解析设抛物线yx2上一点M为(m，m2)，12345678910 11 12 13 14 15 166.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是12345678910 11 12 13 14 15 16解析设抛物线方程为y2ax(a0).12345678910 11 12 13 14 15 167.抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为_.解析据题意知，PMF为等边三角形时，PFPM，则M(1，m)
12、，因为F(1,0)，解得m212，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 168.已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则FN_.解析如图，过点M作MMy轴，垂足为M，OF2，M为FN的中点，MM1，6MF3，FN6.12345678910 11 12 13 14 15 169.已知抛物线y28x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；解抛物线y28x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x2，x轴，x0.1
13、2345678910 11 12 13 14 15 16(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，OAOB，若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长.解如图所示，由OAOB可知ABx轴，垂足为点M，又焦点F是OAB的重心，因为F(2,0)，所以M(3,0).故设A(3，m)，代入y28x得m224，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的
14、容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米？解如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径.由已知，得A点坐标是(2,6)，设抛物线方程为y22px(p0)，则362p2，p9.所以所求抛物线的标准方程是y218x，12345678910 11 12 13 14 15 16因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋的长度.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.已知
15、P是抛物线C：y22px(p0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若PF2，PFO，则抛物线C的方程为A.y26xB.y22xC.y2xD.y24x解析过P向x轴作垂线，设垂足为Q(图略)，将P点的坐标代入y22px，得p3，故C的方程为y26x.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612.抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则p的值为A.2B.4C.6D.812345678910 11 12 13 14 15
16、16解析OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.圆的面积为36，圆的半径为6.12345678910 11 12 13 14 15 1613.(多选)点M(1,1)到抛物线yax2的准线的距离为2，则a的值可以为因为点M(1,1)到抛物线yax2的准线的距离为2，14.抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解得p236，p6.612345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知点A是抛物线x24y的对称轴与准
17、线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足PAmPB，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为12345678910 11 12 13 14 15 16解析设P(x，y)，y0，当且仅当y1时取等号，16.如图，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，CO为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求MN；解抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，所以点C到准线l的距离d2，12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若AF2AMAN，求圆C的半径.12345678910 11 12 13 14 15 16由x1，12345678910 11 12 13 14 15 16设M(1，y1)，N(1，y2)，由AF2AMAN，得|y1y2|4，12345678910 11 12 13 14 15 16此时0，
