苏教版高中数学选择性必修一第4章4.2.3第1课时《等差数列的前n项和》教案及课件.zip

4.2.3等差数列的前等差数列的前 n 项和项和第第 1 课时等差数列的前课时等差数列的前 n 项和项和学习目标 1.了解等差数列前 n 项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前 n 项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量 a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个导语同学们，印度有一著名景点泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有 100 层，你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和一、等差数列前 n 项和公式的推导问题 1请同学们欣赏唐代诗人张南史的花并回答下面的问题：花，花深浅，芬葩凝为雪，错为霞莺和蝶到，苑占宫遮已迷金谷路，频驻玉人车芳草欲陵芳树，东家半落西家愿得春风相伴去，一攀一折向天涯从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？提示诗中文字有对称性；S24681012142(1234567)，根据对称性，可先取其一半来研究其数的个数较少，大家很容易求出答案问题 2网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第 1 行到第 n 行一共有多少个字？提示方法一对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是 Snn12，可见，结果与项数的奇偶无关方法二(如图)在原式的基础上，再加一遍 123n，即 S123n，Sn(n1)(n2)1，避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将 2n 个数重新分组配对求和问题 3对于一般的等差数列an，如何求其前 n 项和 Sn？设其首项为 a1，公差为 d.提示倒序相加法Error!Error!Error!Error!两式相加可得 2Snn(a1an)，即 Snna1an2，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等知识梳理 等差数列的前 n 项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Snna1an2Snna1nn12d注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知 d0 时，Snna1；d0 时，等差数列的前 n 项和 Sn是关于 n 的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的 n 表示的是所求等差数列的项数二、等差数列中与前 n 项和有关的基本运算例 1在等差数列an中：(1)已知 a610，S55，求 a8和 S10；(2)已知 a14，S8172，求 a8和 d.解(1)Error!Error!解得Error!Error!a8a62d102316，S1010a110 92d10(5)59385.(2)由已知得 S88a1a8284a82172，解得 a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.反思感悟等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1，d，n，an和 Sn，这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量 a1和 d 的方程组，解出 a1和 d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq，常与求和公式Snna1an2结合使用跟踪训练 1在等差数列an中：(1)a11，a47，求 S9；(2)a3a1540，求 S17；(3)a156，an32，Sn5，求 n 和 d.解(1)设等差数列an的公差为 d，则 a4a13d13d7，所以 d2.故 S99a19 82d99 82281.(2)S1717 a1a17217 a3a15217 402340.(3)由题意得，Snna1an2n(5632)25，解得 n15.又 a1556(151)d32，所以 d16，所以 n15，d16.三、利用等差数列前 n 项和公式判断等差数列问题 4等差数列前 n 项和 Snna1nn12d 是关于 n 的二次函数，它可以写成什么形式？提示Snd2n2(a1d2)n.例 2若数列an的前 n 项和 Sn2n23n，求数列an的通项公式，并判断数列an是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由解当 n1 时，S1a11；当 n2 时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5，经检验，当 n1 时，a11 满足上式，故 an4n5.数列an是等差数列，证明如下：因为 an1an4(n1)54n54，所以数列an是等差数列延伸探究若数列an的前 n 项和 Sn2n23n1，求数列an的通项公式，并判断数列an是否是等差数列若是，请证明；若不是，请说明理由解Sn2n23n1，当 n1 时，S1a12312，当 n2 时，Sn12(n1)23(n1)1，得 anSnSn12n23n12(n1)23(n1)14n5，经检验当 n1 时，an4n5 不成立，故 anError!Error!故数列an不是等差数列，数列an是从第二项起以 4 为公差的等差数列反思感悟由 Sn求通项公式 an的步骤(1)令 n1，则 a1S1，求得 a1.(2)令 n2，则 anSnSn1.(3)验证 a1与 an的关系：若 a1适合 an，则 anSnSn1，若 a1不适合 an，则 anError!Error!跟踪训练 2已知数列an的前 n 项和为 Snn2n1，求数列an的通项公式，并判断它是不是等差数列解当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n.又 a11 不满足 an2n，数列an的通项公式是 anError!Error!a2a14132，数列an中每一项与前一项的差不是同一个常数，an不是等差数列，数列an是从第二项起以 2 为公差的等差数列1知识清单：(1)等差数列前 n 项和公式的推导过程(2)等差数列前 n 项和有关的基本运算(3)利用等差数列前 n 项和公式判断等差数列2方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法3常见误区：由 Sn求通项公式时忽略对 n1 的讨论1已知数列an的通项公式为 an23n，nN*，则an的前 n 项和 Sn等于()A32n2n2 B32n2n2C.32n2n2 D.32n2n2答案A解析an23n，a1231，Snn123n232n2n2.2在等差数列an中，若 a2a88，则该数列的前 9 项和 S9等于()A18 B27 C36 D45答案C解析S992(a1a9)92(a2a8)36.3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S36，a34，则公差 d 为()A1 B.53 C2 D3答案C解析因为 S3a1a3 326，而 a34，所以 a10，所以 da3a122.4数列an的前 n 项和 Snn2n，则它的通项公式是 an_.答案an2n2(n N*)解析当 n1 时，a1S1110；当 n2 且 nN*时，anSnSn1(n2n)(n1)2(n1)2n2，经检验，n1 也适合该式故 an2n2(n N*).课时对点练课时对点练1已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 2a6a86，则 S7等于()A49 B42 C35 D28答案B解析2a6a8a46，S772(a1a7)7a442.2已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1a27，amam173(m3)，Sm2 020，则 m 的值为()A100 B101 C200 D202答案B解析a1ama2am180，由等差数列的性质可知，a1ama2am1，故 a1am40.Smm(a1am)220m2 020，故 m101.3设an为等差数列，公差 d2，Sn为其前 n 项和若 S10S11，则 a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析由 S10S11，得 a11S11S100，所以 a1a11(111)d0(10)(2)20.4 等差数列an满足 a1a2a324，a18a19a2078，则此数列的前 20 项和等于()A160 B180C200 D220答案B解析由 a1a2a33a224，得 a28，由 a18a19a203a1978，得 a1926，S201220(a1a20)10(a2a19)1018180.5在等差数列an中，已知 a112，S130，则使得 an0 的最小正整数 n 为()A7 B8C9 D10答案B解析由 S1313a1a1320，得 a1312，则 a112d12，得 d2，数列an的通项公式为an12(n1)22n14，由 2n140，得 n7，即使得 an0 的最小正整数 n 为 8.6(多选)在等差数列an中，d2，an11，Sn35，则 a1等于()A1 B3 C5 D7答案AB解析由题意知 a1(n1)211，Snna1nn12235，由解得 a13 或 a11.7设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a11，公差 d2，Sk2Sk24，则 k_.答案5解析因为 Sk2Skak1ak2a1kda1(k1)d2a1(2k1)d21(2k1)24k424，所以 k5.8在等差数列an中，S104S5，则a1d_.答案12解析设数列an的公差为 d，由题意得 10a112109d4(5a112 5 4d)，所以 10a145d20a140d，所以 10a15d，所以a1d12.9在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列的通项公式；(2)若 Sn242，求 n.解(1)设数列an的首项为 a1，公差为 d.则Error!Error!解得Error!Error!ana1(n1)d12(n1)2102n.(2)由 Snna1nn12d 以及 a112，d2，Sn242，得方程 24212nnn122，即 n211n2420，解得 n11 或 n22(舍去)故 n11.10设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S5a5a625.(1)求an的通项公式；(2)求等差数列an的前 n 项和 Sn.解(1)设公差为 d，由 S5a5a625，得 5a15 42da14da15d25，a11，d3.an的通项公式为 an3n4.(2)由(1)知 an3n4，得an的前 n 项和为Snn(a1an)2n(13n4)23n25n2，则 Sn32n252n.11在小于 100 的自然数中，所有被 7 除余 2 的数之和为()A765 B665 C763 D663答案B解析a12，d7,2(n1)7100，n1，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为 an，则 a2a3a4an等于()A.3n22 B.nn12C.3nn12 D.nn12答案C解析由图案的点数可知 a23，a36，a49，a512，所以 an3n3，n2，所以 a2a3a4ann133n323nn12.14把形如 Mmn(m，nN*)的正整数表示为各项都是整数、公差为 2 的等差数列的前 m 项和，称作“对 M 的 m 项划分”例如：932135，称作“对 9 的 3 项划分”；把 64 表示成 644313151719，称作“对 64 的 4 项划分”据此，对 324 的 18 项划分中最大的数是_答案35解析设对 324 的 18 项划分中最小数为 a1，最大数为 a18，则由Error!Error!解得Error!Error!15(多选)已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，则下列选项中可能是 Sn所对应的函数的图象的是()答案ABC解析因为 Sn是等差数列an的前 n 项和，所以 Snan2bn(a，b 为常数，nN*)，则其对应函数为 yax2bx.当 a0 时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项 C；当 a0 时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项 A，B；选项 D 中的曲线不过原点，不符合题意16已知等差数列an的公差 d0，前 n 项和为 Sn，且 a2a345，S428.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnSnnc(c 为非零常数)，且数列bn也是等差数列，求 c 的值解(1)S428，a1a4 4228，a1a414，a2a314，又 a2a345，公差 d0，a2a3，a25，a39，Error!Error!解得Error!Error!an4n3，nN*.(2)由(1)，知 Sn2n2n，bnSnnc2n2nnc，b111c，b262c，b3153c.又bn也是等差数列，b1b32b2，即 262c11c153c，解得 c12(c0 舍去)苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等差数列的前等差数列的前n n项和项和同学们，印度有一著名景点泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和.导导 语语一、等差数列前一、等差数列前n项和公式的推导项和公式的推导问题1请同学们欣赏唐代诗人张南史的花并回答下面的问题：花，花.深浅，芬葩.凝为雪，错为霞.莺和蝶到，苑占宫遮.已迷金谷路，频驻玉人车.芳草欲陵芳树，东家半落西家.愿得春风相伴去，一攀一折向天涯.从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？提示诗中文字有对称性；S24681012142(1234567)，根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案.问题2网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？提示方法一对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，方法二(如图)在原式的基础上，再加一遍123n，即S123n，Sn(n1)(n2)1，避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和.问题3对于一般的等差数列 ，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.提示倒序相加法上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等.等差数列的前n项和公式知识梳理知识梳理已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn_Sn_注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d0时，Snna1；d0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.二、等差数列中与前二、等差数列中与前n项和有关的基本运算项和有关的基本运算例1在等差数列an中：(1)已知a610，S55，求a8和S10；a8a62d102316，(2)已知a14，S8172，求a8和d.解得a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.反思感悟等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，常与求和公式Sn 结合使用.跟踪训练跟踪训练1在等差数列an中：(1)a11，a47，求S9；解设等差数列an的公差为d，则a4a13d13d7，所以d2.(2)a3a1540，求S17；解得n15.三、利用等差数列前三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列项和公式判断等差数列问问题题4等差数列前n项和Snna1 是关于n的二次函数，它可以写成什么形式？例2若数列 的前n项和Sn2n23n，求数列 的通项公式，并判断数列 是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.解当n1时，S1a11；当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5，经检验，当n1时，a11满足上式，故an4n5.数列an是等差数列，证明如下：因为an1an4(n1)54n54，延伸探究若数列 的前n项和Sn2n23n1，求数列 的通项公式，并判断数列 是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.解Sn2n23n1，当n1时，S1a12312，得anSnSn1经检验当n1时，an4n5不成立，反思感悟由Sn求通项公式an的步骤(1)令n1，则a1S1，求得a1.(2)令n2，则anSnSn1.(3)验证a1与an的关系：若a1适合an，则anSnSn1，跟跟踪踪训训练练2已知数列an的前n项和为Snn2n1，求数列an的通项公式，并判断它是不是等差数列.解当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n.又a11不满足an2n，a2a14132，数列an中每一项与前一项的差不是同一个常数，an不是等差数列，数列an是从第二项起以2为公差的等差数列.1.知识清单：(1)等差数列前n项和公式的推导过程.(2)等差数列前n项和有关的基本运算.(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法.3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n1的讨论.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知数列an的通项公式为an23n，nN*，则an的前n项和Sn等于解析an23n，a1231，123412342.在等差数列an中，若a2a88，则该数列的前9项和S9等于A.18 B.27 C.36 D.4512343.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a34，则公差d为4.数列 的前n项和Snn2n，则它的通项公式是an_.解析当n1时，a1S1110；当n2且nN*时，1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.已知等差数列an的前n项和为Sn，若2a6a86，则S7等于A.49 B.42 C.35 D.282.已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足a1a27，amam173(m3)，Sm2 020，则m的值为A.100 B.101 C.200 D.202解析a1ama2am180，由等差数列的性质可知，a1ama2am1，故a1am40.故m101.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 163.设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和.若S10S11，则a1等于A.18 B.20 C.22 D.24解析由S10S11，得a11S11S100，所以a1a11(111)d0(10)(2)20.12345678910 11 12 13 14 15 164.等差数列an满足a1a2a324，a18a19a2078，则此数列的前20项和等于A.160 B.180C.200 D.220解析由a1a2a33a224，得a28，由a18a19a203a1978，得a1926，5.在等差数列an中，已知a112，S130，则使得an0的最小正整数n为A.7 B.8C.9 D.10得a1312，则a112d12，得d2，数列an的通项公式为an12(n1)22n14，由2n140，得n7，即使得an0的最小正整数n为8.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)在等差数列an中，d2，an11，Sn35，则a1等于A.1 B.3 C.5 D.7解析由题意知a1(n1)211，由解得a13或a11.12345678910 11 12 13 14 15 167.设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k_.解析因为Sk2Skak1ak2a1kda1(k1)d2a1(2k1)d21(2k1)24k424，所以k5.512345678910 11 12 13 14 15 168.在等差数列an中，S104S5，则 _.解析设数列an的公差为d，所以10a145d20a140d，所以10a15d，12345678910 11 12 13 14 15 169.在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列的通项公式；解设数列an的首项为a1，公差为d.ana1(n1)d12(n1)2102n.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若Sn242，求n.即n211n2420，解得n11或n22(舍去).故n11.12345678910 11 12 13 14 15 16解设公差为d，由S5a5a625，a11，d3.12345678910 11 12 13 14 15 16解由(1)知an3n4，12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为A.765 B.665 C.763 D.663解析a12，d7,2(n1)7100，n1，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2a3a4an等于12345678910 11 12 13 14 15 16解析由图案的点数可知a23，a36，a49，a512，所以an3n3，n2，12345678910 11 12 13 14 15 1614.把形如Mmn(m，nN*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：932135，称作“对9的3项划分”；把64表示成644313151719，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是_.解析设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，35拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.(多选)已知Sn是等差数列an的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为Sn是等差数列an的前n项和，所以Snan2bn(a，b为常数，nN*)，则其对应函数为yax2bx.当a0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知等差数列an的公差d0，前n项和为Sn，且a2a345，S428.(1)求数列an的通项公式；解S428，a2a314，又a2a345，公差d0，a2a3，a25，a39，an4n3，nN*.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)若bn (c为非零常数)，且数列bn也是等差数列，求c的值.解由(1)，知Sn2n2n，又bn也是等差数列，b1b32b2，12345678910 11 12 13 14 15 16