苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《等差数列的性质》教案及课件.zip

习题课等差数列的性质习题课等差数列的性质学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算导语同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一个非常有意思的事情，比如说 ann，这是一个正整数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即 2,4,6,8,10容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质一、由等差数列构造新等差数列问题 1若数列an是等差数列，首项为 a1，公差为 d，在an中每相邻两项之间都插入 4 个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？提示设新数列为bn，公差为 d，则有 b1a1，b6a2，所以 b6b1a2a1d，故有 5dd，所以 d15d.知识梳理 若an，bn分别是公差为 d，d的等差数列，则有数列结论can公差为 d 的等差数列(c 为任一常数)can公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数)anank公差为 kd 的等差数列(k 为常数，kN*)panqbn公差为 pdqd的等差数列(p，q 为常数)例 1有两个等差数列 2,6,10，190 和 2,8,14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为()A15 B16 C17 D18答案B解析易知，第一个数列的公差为 4，第二个数列的公差为 6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为 12，首项为 2，所以通项公式为 an12n10，所以 12n10190，解得 n503，而 nN*，所以 n 的最大值为 16.反思感悟对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：anan1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于 n 的一次函数跟踪训练 1已知两个等差数列an：5,8,11，与bn：3,7,11，它们的公共项组成数列cn，则数列cn的通项公式 cn_；若数列an和bn的项数均为 100，则cn的项数是_答案12n125解析由于数列an和bn都是等差数列，所以cn也是等差数列，且公差为 3412，又 c111，故 cn1112(n1)12n1.又 a100302，b100399，所以Error!解得 1n25.25，故cn的项数为 25.二、等差数列中任意两项之间的关系问题 2如果an是等差数列，a35，d2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？提示由定义可知 a3a12d，ana1(n1)d，两式相减得 ana3(n3)d，即 ana3(n3)d.知识梳理设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则(1)andn(a1d)(nN*)；(2)anam(nm)d(m，nN*)；(3)danamnm(m，nN*，且 mn)注意点：若 anm，amn(nm)，则 anm0.(证明：anamnmanmannmn，mnnmanmmnmn，anmmm1，故 anm0)例 2已知an为等差数列，a158，a6020，求 a75.解方法一(利用 anam(nm)d)设数列 an的公差为 d，则 a60a15(6015)d845d，所以 d208451245415，所以 a75a60(7560)d201541524.方法二(利用隔项成等差数列)因为an为等差数列，所以 a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为 d，a15为首项，则 a60为第四项，所以 a60a153d，解得 d4，所以 a75a60d24.反思感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算令 m1，anam(nm)d 即变为 ana1(n1)d，可以减少记忆负担跟踪训练 2已知bn为等差数列，若 b32，b1012，则 b8_.答案8解析方法一bn为等差数列，可设其公差为 d，则 db10b310312272，bnb3(n3)d2n8.b82888.方法二由b8b383b10b3103d，得 b8b10b31035b325(2)8.三、等差数列中多项之间的关系问题 3若数列an是等差数列，公差为 d，mnpq(m，n，p，qN*)，则 am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？提示由等差数列的定义可知，ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，容易发现 aman2a1(mn2)d，apaq2a1(pq2)d，因为 mnpq，故有 amanapaq.知识梳理1下标性质：在等差数列an中，若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq.2特别地，若 mn2p(m，n，pN*)，则有 aman2ap.注意点：(1)推广：若 mnpxyz，则 amanapaxayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即 a1ana2an1.例 3已知数列an是等差数列，若 a1a9a177，则 a3a15等于()A7 B14 C21 D7(n1)答案B解析因为 a1a9a17(a1a17)a92a9a9a97，所以 a3a152a92714.延伸探究在等差数列an中，a3a72a1540，求 a10.解方法一设数列an的公差为 d.则 a3a72a15a12da16d2(a114d)4a136d4(a19d)4a1040，a1010.方法二a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040，a1010.反思感悟等差数列运算的两种常用思路(1)基本量法：根据已知条件，列出关于 a1，d 的方程(组)，确定 a1，d，然后求其他量(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足 mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则 amanapaq2ar.跟踪训练 3数列an满足 3anan1且 a2a4a69，则 log6(a5a7a9)的值是()A2 B12 C2 D.12答案C解析由 3anan1，得 an1an3.所以an是公差为 3 的等差数列又 a2a4a69，且 a2a62a4，所以 3a49，则 a43，所以 a7a43d33312，故 log6(a5a7a9)log6(3a7)log6362.1知识清单：(1)由等差数列构造新的等差数列(2)等差数列中任意两项之间的关系(3)等差数列中多项之间的关系2方法归纳：公式法、构造法、解方程组法3常见误区：不注意运用性质而出错或解法烦琐1在等差数列an中，已知 a310，a820，则公差 d 等于()A3 B6 C4 D3答案B解析由等差数列的性质得 a8a3(83)d5d，所以 d201056.2在等差数列an中，a4a515，a712，则 a2等于()A3 B3 C.32 D32答案A解析由数列的性质，得 a4a5a2a7，所以 a215123.3在等差数列an中，a3a74，则必有()Aa54 Ba64Ca52 Da62答案C解析因为 a3a72a54，所以 a52.4在等差数列an(nN*)中，若 a1a2a4，a83，则 a20的值是_答案15解析数列an是等差数列，a1a5a2a4，又 a1a2a4，a50，da8a585331，故 a20a515d15.课时对点练课时对点练1已知数列an，bn为等差数列，且公差分别为 d12，d21，则数列2an3bn的公差为()A7 B5C3 D1答案D解析由于an，bn为等差数列，故数列2an3bn的公差 d(2an13bn1)(2an3bn)2(an1an)3(bn1bn)2d13d21.2在等差数列an中，a12，a3a510，则 a7等于()A5 B8C10 D14答案B解析方法一设等差数列的公差为 d，则 a3a52a16d46d10，所以 d1，a7a16d268.方法二由等差数列的性质可得 a1a7a3a510，又 a12，所以 a78.3 已知等差数列an的公差为 d(d0)，且 a3a6a10a1332，若 am8，则 m 的值为()A12 B8C6 D4答案B解析由等差数列的性质，得a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又 d0，m8.4在等差数列an中，a1a5a7a9a13100，a6a212，则 a1等于()A1 B2 C3 D4答案B解析a1a5a7a9a13100，5a7100，a720，a6a212，4d12，d3，a7a16d20，a12.5若等差数列an的首项 a15，am3，则 am2等于()A13 B34m1C32m1 D52m1答案B解析设等差数列an的公差为 d，因为 a15，am3，所以 dama1m12m1.所以 am2am2d34m134m1.6(多选)若an是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是()A|an|Ban1anCpanq(p，q 为常数)D2ann答案BCD解析数列1,1,3 是等差数列，取绝对值后：1,1,3 不是等差数列，A 不成立若an是等差数列，利用等差数列的定义知，an1an为常数列，故是等差数列，B 成立若an的公差为 d，则(pan1q)(panq)p(an1an)pd 为常数，故panq是等差数列，C 成立(2an1n1)(2ann)2(an1an)12d1 为常数，故2ann是等差数列，D 成立7在等差数列an中，若 a2 22a2a8a6a1016，则 a4a6_.答案4解析在等差数列an中，a2 22a2a8a6a1016，a2 2a2(a6a10)a6a1016，(a2a6)(a2a10)16，2a42a616，a4a64.8设数列an，bn都是等差数列，若 a1b17，a3b321，则 a5b5_.答案35解析因为数列an，bn都是等差数列，所以数列anbn也构成等差数列，所以 2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，所以 2217a5b5，所以 a5b535.9在等差数列an中(1)已知 a2a3a23a2448，求 a13；(2)已知 a2a3a4a534，a2a552，求公差 d.解(1)根据已知条件 a2a3a23a2448，得 4a1348，a1312.(2)由 a2a3a4a534，得 2(a2a5)34，即 a2a517，由Error!解得Error!或Error!da5a25213433 或 da5a25241333.10在等差数列an中，若 a3a8a1312，a3a8a1328.(1)求数列an的通项公式；(2)求 a23的值解(1)根据题意，设等差数列an的公差为 d，若 a3a8a1312，则 3a812，则 a84，又由 a3a8a1328，得 a3a13(45d)(45d)7，解得 d35，当 d35时，ana8(n8)d3n45；当 d35时，ana8(n8)d443n5.(2)由(1)的结论，当 d35时，an3n45，此时 a233 234513，当 d35时，an443n5，则 a23443 2355，则 a2313 或5.11在等差数列an中，若 a4a6a8a10a12120，则 a913a11的值为()A14 B15 C16 D17答案C解析设公差为 d，a4a6a8a10a12120，5a8120，a824，a913a11(a8d)13(a83d)23a816.12 等差数列 an中，若 a2，a2 020为方程 x210 x160 的两根，则 a1a1 011a2 021等于()A10 B15 C20 D40答案B解析a2，a2 020为方程 x210 x160 的两根，a2a2 02010，由等差数列的性质得 2a1 01110，即 a1 0115，a1a1 011a2 0213a1 01115.13已知等差数列an满足 a1a2a3a1010，则有()Aa1a1010 Ba2a1010Ca3a990 Da5151答案C解析由等差数列的性质得，a1a101a2a100a50a522a51，由于 a1a2a3a1010，所以 a510，故 a3a992a510.14已知等差数列an，若 a1a2a3a1221，则 a2a5a8a11_.答案7解析a1a2a3a1221，a1a12a2a11a3a10a4a9a5a8a6a721672，a2a5a8a117.15等差数列an，bn满足对任意 nN*都有anbn2n34n9，则a7b3b9a5b4b8_.答案1解析由等差数列的性质可得 b3b9b4b82b6，a7a52a6，所以a7b3b9a5b4b82a62b6a6b62 634 691.16已知等差数列an中，a54，公差 d4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列bn，求新数列的第 50 项，a50是新数列的第几项？解ana5(n5)d4n16.在新数列bn中，b1a112，公差 d13d43，bn1243(n1)43n403.b501603.由 a5018443n403，得 n148.a50是新数列的第 148 项苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等差数列的性质等差数列的性质同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一个非常有意思的事情，比如说ann，这是一个正整数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2,4,6,8,10容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质.导导 语语一、由等差数列构造新等差数列一、由等差数列构造新等差数列问题1若数列 是等差数列，首项为a1，公差为d，在 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？则有b1a1，b6a2，所以b6b1a2a1d，故有5dd，若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有知识梳理知识梳理数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为kd的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)例1有两个等差数列2,6,10，190和2,8,14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为A.15 B.16 C.17 D.18解析易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an12n10，而nN*，所以n的最大值为16.反思感悟对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：anan1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数.跟踪训练1已知两个等差数列an：5,8,11，与bn：3,7,11，它们的公共项组成数列cn，则数列cn的通项公式cn_；若数列an和bn的项数均为100，则cn的项数是_.解析由于数列an和bn都是等差数列，所以cn也是等差数列，且公差为3412，又c111，故cn1112(n1)12n1.又a100302，b100399，12n12525，故cn的项数为25.二、等差数列中任意两项之间的关系二、等差数列中任意两项之间的关系问题2如果 是等差数列，a35，d2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？提示由定义可知a3a12d，ana1(n1)d，两式相减得ana3(n3)d，即ana3(n3)d.设等差数列an的首项为a1，公差为d，则(1)andn(a1d)(nN*)；(2)anam (m，nN*)；(3)d (m，nN*，且mn).知识梳理知识梳理(nm)d例2已知an为等差数列，a158，a6020，求a75.解方法一(利用anam(nm)d)设数列an的公差为d，则a60a15(6015)d845d，方法二(利用隔项成等差数列)因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60a153d，解得d4，所以a75a60d24.反思感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m1，anam(nm)d即变为ana1(n1)d，可以减少记忆负担.跟踪训练跟踪训练2已知bn为等差数列，若b32，b1012，则b8_.解析方法一bn为等差数列，可设其公差为d，8bnb3(n3)d2n8.b82888.三、等差数列中多项之间的关系三、等差数列中多项之间的关系问问题题3若数列 是等差数列，公差为d，mnpq(m，n，p，qN*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？提示由等差数列的定义可知，ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，容易发现aman2a1(mn2)d，apaq2a1(pq2)d，因为mnpq，故有amanapaq.1.下标性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则aman .2.特别地，若mn2p(m，n，pN*)，则有aman .注意点：(1)推广：若mnpxyz，则amanapaxayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1ana2an1.知识梳理知识梳理apaq2ap例3已知数列an是等差数列，若a1a9a177，则a3a15等于A.7 B.14 C.21 D.7(n1)解析因为a1a9a17(a1a17)a92a9a9a97，所以a3a152a92714.延伸探究在等差数列an中，a3a72a1540，求a10.解方法一设数列an的公差为d.则a3a72a15a12da16d2(a114d)4a136d4(a19d)4a1040，a1010.方法二a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040，a1010.反思感悟等差数列运算的两种常用思路(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则amanapaq2ar.跟跟踪踪训训练练3数列an满足3anan1且a2a4a69，则log6(a5a7a9)的值是解析由3anan1，得an1an3.所以an是公差为3的等差数列.又a2a4a69，且a2a62a4，所以3a49，则a43，所以a7a43d33312，故log6(a5a7a9)log6(3a7)log6362.1.知识清单：(1)由等差数列构造新的等差数列.(2)等差数列中任意两项之间的关系.(3)等差数列中多项之间的关系.2.方法归纳：公式法、构造法、解方程组法.3.常见误区：不注意运用性质而出错或解法烦琐.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于A.3 B.6 C.4 D.3解析由等差数列的性质得a8a3(83)d5d，123412342.在等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于解析由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.12343.在等差数列an中，a3a74，则必有A.a54 B.a64C.a52 D.a62解析因为a3a72a54，所以a52.12344.在等差数列an(nN*)中，若a1a2a4，a83，则a20的值是_.解析数列an是等差数列，a1a5a2a4，又a1a2a4，a50，15 课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.已知数列an，bn为等差数列，且公差分别为d12，d21，则数列2an3bn的公差为A.7 B.5C.3 D.1解析由于an，bn为等差数列，故数列2an3bn的公差d(2an13bn1)(2an3bn)2(an1an)3(bn1bn)2d13d21.12345678910 11 12 13 14 15 162.在等差数列an中，a12，a3a510，则a7等于A.5 B.8C.10 D.14解析方法一设等差数列的公差为d，则a3a52a16d46d10，所以d1，a7a16d268.方法二由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.12345678910 11 12 13 14 15 163.已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m的值为A.12 B.8C.6 D.4解析由等差数列的性质，得a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.12345678910 11 12 13 14 15 164.在等差数列an中，a1a5a7a9a13100，a6a212，则a1等于A.1 B.2 C.3 D.4解析a1a5a7a9a13100，5a7100，a720，a6a212，4d12，d3，a7a16d20，a12.12345678910 11 12 13 14 15 165.若等差数列an的首项a15，am3，则am2等于解析设等差数列an的公差为d，因为a15，am3，12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)若an是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是A.|an|B.an1anC.panq(p，q为常数)D.2ann解析数列1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立.若an是等差数列，利用等差数列的定义知，an1an为常数列，故是等差数列，B成立.若an的公差为d，则(pan1q)(panq)p(an1an)pd为常数，故panq是等差数列，C成立.(2an1n1)(2ann)2(an1an)12d1为常数，故2ann是等差数列，D成立.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(a2a6)(a2a10)16，2a42a616，a4a64.412345678910 11 12 13 14 15 168.设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.解析因为数列an，bn都是等差数列，所以数列anbn也构成等差数列，所以2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，所以2217a5b5，所以a5b535.3512345678910 11 12 13 14 15 169.在等差数列an中.(1)已知a2a3a23a2448，求a13；解根据已知条件a2a3a23a2448，得4a1348，a1312.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d.解由a2a3a4a534，得2(a2a5)34，即a2a517，若a3a8a1312，则3a812，则a84，又由a3a8a1328，得a3a13(45d)(45d)7，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)求a23的值.则a2313或5.综合运用11.在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9 a11的值为A.14 B.15 C.16 D.17解析设公差为d，a4a6a8a10a12120，5a8120，a824，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612.等差数列an中，若a2，a2 020为方程x210 x160的两根，则a1a1 011a2 021等于A.10 B.15 C.20 D.40解析a2，a2 020为方程x210 x160的两根，a2a2 02010，由等差数列的性质得2a1 01110，即a1 0115，a1a1 011a2 0213a1 01115.12345678910 11 12 13 14 15 1613.已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有A.a1a1010 B.a2a1010C.a3a990 D.a5151解析由等差数列的性质得，a1a101a2a100a50a522a51，由于a1a2a3a1010，所以a510，故a3a992a510.12345678910 11 12 13 14 15 1614.已知等差数列an，若a1a2a3a1221，则a2a5a8a11_.解析a1a2a3a1221，7a2a5a8a117.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 16解析由等差数列的性质可得b3b9b4b82b6，a7a52a6，116.已知等差数列an中，a54，公差d4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列bn，求新数列的第50项，a50是新数列的第几项？解ana5(n5)d4n16.在新数列bn中，b1a112，a50是新数列的第148项.12345678910 11 12 13 14 15 16