苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《等差数列的性质的综合问题》教案及课件.zip

习题课等差数列的性质的综合问题习题课等差数列的性质的综合问题学习目标 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.2.掌握等差数列中项的设法一、等差数列的实际应用例 1周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则立夏的日影子长为()A15.5 尺 B12.5 尺 C9.5 尺 D6.5 尺答案D解析设该等差数列为an，冬至、小寒、大寒芒种的日影子长分别记为 a1，a2，a3，a12，公差为 d，由题意可得，a1a4a737.5，即 a412.5，又 a124.5，所以 da12a41241.所以立夏的日影子长为 a10a46d12.566.5(尺)反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；判型，即判断该数列是否为等差数列；求解，即求出该问题的数学解；还原，即将所求结果还原到实际问题中(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题跟踪训练 1某企业 2020 年 7 月份到 12 月份的月产量(单位：吨)逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中 7 月份的产量为 10 吨，12 月份的产量为 20 吨，则 8 月到 11 月这四个月的产量之和为()A48 吨 B54 吨C60 吨 D66 吨答案C解析设 2020 年 n(1n12，nN*)月的产量为 an，由题意可知，数列an是等差数列，则 a710，a1220，则 8 月到 11 月这四个月的产量之和为 a8a9a10a112(a7a12)60(吨)二、等差数列中项的设法例 2(1)三个数成等差数列，其和为 9，前两项之积为后一项的 6 倍，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为 2，首末两项的积为8，求这四个数解(1)设这三个数依次为 ad，a，ad，则Error!解得Error!所以这三个数为 4,3,2.(2)设这四个数为 a3d，ad，ad，a3d(公差为 2d)，依题意得 2a2 且(a3d)(a3d)8，即 a1，a29d28，所以 d21，所以 d1 或 d1.又四个数成递增等差数列，所以 d0，所以 d1，故所求的四个数为2,0,2,4.反思感悟等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为 a1，公差为 d，利用已知条件建立方程(组)求出 a1和 d，即可确定此等差数列的通项公式(2)当已知数列有 3 项时，可设为 ad，a，ad，此时公差为 d.若有 5 项、7 项、时，可同理设出(3)当已知数列有 4 项时，可设为 a3d，ad，ad，a3d，此时公差为 2d.若有 6 项、8项、时，可同理设出跟踪训练 2已知五个数成等差数列，它们的和为 5，平方和为859，求这 5 个数解设第三个数为 a，公差为 d，则这 5 个数分别为 a2d，ad，a，ad，a2d.由已知有Error!整理得Error!解得Error!当 d23时，这 5 个数分别是13，13，1，53，73；当 d23时，这 5 个数分别是73，53，1，13，13.综上，这 5 个数分别是13，13，1，53，73或73，53，1，13，13.三、等差数列的综合应用例 3若关于 x 的方程 x2xm0 和 x2xn0(m，nR，且 mn)的四个根组成首项为14的等差数列，则数列的公差 d_，mn 的值为_答案163172解析设 x2xm0，x2xn0 的根分别为 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x41(且 14m0,14n0)设数列的首项为 x1，则根据等差数列的性质，数列的第 4 项为 x2.由题意知 x114，x234，数列的公差 d34144116，数列的中间两项分别为1416512，51216712.x1x2m316，x3x4n51271235144.mn316351443172.反思感悟解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项(2)利用通项公式，得到一个以首项 a1和公差 d 为未知数的方程或不等式(3)利用函数或不等式的有关方法解决跟踪训练 3已知等差数列an中，a1a4a739，a2a5a833，则 a3a6a9_.答案27解析方法一由性质可知，数列 a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9是等差数列，所以 2(a2a5a8)(a1a4a7)(a3a6a9)，则 a3a6a92333927.方法二设等差数列an的公差为 d，则(a2a5a8)(a1a4a7)(a2a1)(a5a4)(a8a7)3d6，解得 d2，所以 a3a6a9a2da5da8d27.1知识清单：(1)等差数列的实际应用(2)等差数列中项的设法(3)等差数列的综合应用2方法归纳：解方程组法3常见误区：对等差数列的性质不理解而致错1已知等差数列 1，a1，a2,9，则 a2a1的值为()A8 B8 C8 D.83答案D解析根据等差数列 1，a1，a2,9 知，1 和 9 是该数列的第一项和第四项，所以 a2a1914183.2在等差数列an中，a2a510，a3a614，则 a5a8等于()A12 B22 C24 D34答案B解析设数列an的公差为 d，则 da3a6(a2a5)2141022，故 a5a8a5a26d106222.3由公差 d0 的等差数列 a1，a2，an组成一个新的数列 a1a3，a2a4，a3a5，下列说法正确的是()A新数列不是等差数列B新数列是公差为 d 的等差数列C新数列是公差为 2d 的等差数列D新数列是公差为 3d 的等差数列答案C解析因为(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)2d，所以数列 a1a3，a2a4，a3a5，是公差为 2d 的等差数列4我国南北朝时的数学著作张邱建算经 有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金()A多821斤 B少821斤C多13斤 D少13斤答案A解析设十等人得金从高到低依次为 a1，a2，a10，则an为等差数列，设公差为 d，则由题意可知Error!a243，a91，da9a27121，a1a98d821.即等级较高一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多821斤课时对点练课时对点练1已知各项不为 0 的等差数列an满足 a6a2 7a80，则 a7等于()A1 B8 C4 D2答案D解析因为各项不为 0 的等差数列an满足 a6a2 7a80，所以 2a7a2 70，解得 a72 或 a70(舍去)2已知数列an，bn都是等差数列，且 a125，b175，a2b2100，那么数列anbn的第 37 项为()A0 B37 C100 D37答案C解析设等差数列an，bn的公差分别为 d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以数列anbn仍然是等差数列又 d1d2(a2b2)(a1b1)100(2575)0，所以 a37b37a1b1100.3已知等差数列an的首项是 2，公差为 d(d Z)，且an中有一项是 14，则 d 的取值的个数为()A3 B4 C6 D7答案C解析等差数列an的首项是 2，公差为 d(d Z)，有一项是 14，设第 n 项为 14，有 ana1(n1)d2(n1)d14，即(n1)d12，由 nN*知，n10，n1N*，而 121122634，d 的取值有 1,2,3,4,6,12.4若三个数成等差数列，它们的和为 12，积为36，则这三个数的平方和为()A98 B88 C78 D68答案A解析设这三个数为 ad，a，ad，则Error!解得Error!或Error!这三个数为1,4,9 或 9,4，1.它们的平方和为 98.5已知等差数列an中，a2a5a89，那么关于 x 的方程 x2(a4a6)x100()A无实根 B有两个相等的实根C有两个不等的实根 D不能确定有无实根答案A解析因为 a4a6a2a82a5，a2a5a83a59，所以 a53，则方程为 x26x100，因为 6241040，所以方程无实根6(多选)已知等差数列an中，a13，公差为 d(dN*)，若 2 021 是该数列的一项，则公差d 不可能是()A2 B3 C4 D5答案BCD解析由 2 021 是该数列的一项，得 2 0213(n1)d，所以 n2 018d1，因为 dN*，所以 d 是 2 018 的约数，故 d 不可能是 3,4 和 5.7若三个数成等差数列，它们的和为 9，平方和为 59，则这三个数的积为_答案21解析设这三个数为 ad，a，ad，则Error!解得Error!或Error!这三个数为1,3,7 或 7,3，1.它们的积为21.8若 a，b，c 成等差数列，则二次函数 yax22bxc 的图象与 x 轴的交点的个数为_答案1 或 2解析a，b，c 成等差数列，2bac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函数 yax22bxc 的图象与 x 轴的交点个数为 1 或 2.9四个数成递减等差数列，四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40.求这四个数解设这四个数为 a3d，ad，ad，a3d(公差为 2d)，依题意，得Error!解得Error!或Error!又四个数成递减等差数列，所以 d0 Bd0 Da1da1an，由等差数列的公差为 d 知，anan1d，所以 a1an1a1ana1ana1an10a1(anan1)0a1d0，则(a2d)(ad)a(ad)(a2d)5a100，a20.由17(aada2d)a2dad，得 3a3d7(2a3d)，24d11a，d556，最小的一份为 a2d20110653.14在等差数列an中，a23，若从第 5 项开始为负数，则公差 d 的取值范围是_答案32，1)解析等差数列an从第 5 项开始为负数，Error!即Error!Error!解得32d1.15一个三角形的三个内角 A，B，C 成等差数列，其三边 a，b，c 也成等差数列，则该三角形的形状为_答案等边三角形解析由三边成等差数列，得 2bac，三角形的三个内角 A，B，C 成等差数列，则 2BAC 且 ABC，得 B3.由余弦定理得 b2a2c22accos 60，即(ac2)2a2c2ac.即(ac)24a24c24ac，整理得 a2c22ac0，即(ac)20，所以 ac.所以在三角形中 AC，B3，则 ACB3.所以该三角形为等边三角形16设数列an(n1,2，)是等差数列，且公差为 d，若数列an中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”(1)若 a14，d2，求证：该数列是“封闭数列”；(2)试判断数列 an2n7(n N*)是否为“封闭数列”，为什么？(1)证明a14，d2，an4(n1)22n2.对任意的 m，nN*，有 aman(2m2)(2n2)2(mn1)2.mn1N*，令 pmn1，则有 ap2p2，它是该数列的项该数列是“封闭数列”(2)解an2n7(n N*)，a15，a23.a1a28.令 ana1a282n78n12N*.数列 an2n7(n N*)不是“封闭数列”苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等差数列的性质的综合问题等差数列的性质的综合问题一、等差数列的实际应用一、等差数列的实际应用例1周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为A.15.5尺 B.12.5尺 C.9.5尺 D.6.5尺冬至、小寒、大寒芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，a12，公差为d，由题意可得，a1a4a737.5，即a412.5，又a124.5，所以立夏的日影子长为a10a46d12.566.5(尺).反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；判型，即判断该数列是否为等差数列；求解，即求出该问题的数学解；还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.跟踪训练1某企业2020年7月份到12月份的月产量(单位：吨)逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为A.48吨 B.54吨C.60吨 D.66吨解析设2020年n(1n12，nN*)月的产量为an，由题意可知，数列an是等差数列，则a710，a1220，则8月到11月这四个月的产量之和为a8a9a10a112(a7a12)60(吨).二、等差数列中项的设法二、等差数列中项的设法例2(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；解设这三个数依次为ad，a，ad，所以这三个数为4,3,2.(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为8，求这四个数.解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意得2a2且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，所以d21，所以d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d1，故所求的四个数为2,0,2,4.反思感悟等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式.(2)当已知数列有3项时，可设为ad，a，ad，此时公差为d.若有5项、7项、时，可同理设出.(3)当已知数列有4项时，可设为a3d，ad，ad，a3d，此时公差为2d.若有6项、8项、时，可同理设出.跟跟踪踪训训练练2已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 ，求这5个数.解设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d.三、等差数列的综合应用三、等差数列的综合应用例3若关于x的方程x2xm0和x2xn0(m，nR，且mn)的四个根组成首项为 的等差数列，则数列的公差d_，mn的值为_.解析设x2xm0，x2xn0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x41(且14m0,14n0).设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.反思感悟解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.跟跟踪踪训训练练3已知等差数列an中，a1a4a739，a2a5a833，则a3a6a9_.解析方法一由性质可知，数列a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9是等差数列，所以2(a2a5a8)(a1a4a7)(a3a6a9)，则a3a6a92333927.方法二设等差数列an的公差为d，则(a2a5a8)(a1a4a7)(a2a1)(a5a4)(a8a7)3d6，解得d2，所以a3a6a9a2da5da8d27.271.知识清单：(1)等差数列的实际应用.(2)等差数列中项的设法.(3)等差数列的综合应用.2.方法归纳：解方程组法.3.常见误区：对等差数列的性质不理解而致错.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知等差数列1，a1，a2,9，则a2a1的值为解析根据等差数列1，a1，a2,9知，1和9是该数列的第一项和第四项，12341234故a5a8a5a26d106222.A.12 B.22 C.24 D.3412343.由公差d0的等差数列a1，a2，an组成一个新的数列a1a3，a2a4，a3a5，下列说法正确的是A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为d的等差数列C.新数列是公差为2d的等差数列D.新数列是公差为3d的等差数列解析因为(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)2d，所以数列a1a3，a2a4，a3a5，是公差为2d的等差数列.12344.我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金1234解析设十等人得金从高到低依次为a1，a2，a10，则an为等差数列，课时对点练课时对点练A.1 B.8 C.4 D.2基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 162.已知数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，那么数列anbn的第37项为A.0 B.37 C.100 D.37解析设等差数列an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以数列anbn仍然是等差数列.又d1d2(a2b2)(a1b1)100(2575)0，所以a37b37a1b1100.12345678910 11 12 13 14 15 16设第n项为14，有ana1(n1)d2(n1)d14，即(n1)d12，由nN*知，n10，n1N*，而121122634，d的取值有1,2,3,4,6,12.12345678910 11 12 13 14 15 164.若三个数成等差数列，它们的和为12，积为36，则这三个数的平方和为A.98 B.88 C.78 D.68解析设这三个数为ad，a，ad，这三个数为1,4,9或9,4，1.它们的平方和为98.12345678910 11 12 13 14 15 165.已知等差数列an中，a2a5a89，那么关于x的方程x2(a4a6)x100A.无实根 B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根 D.不能确定有无实根解析因为a4a6a2a82a5，a2a5a83a59，所以a53，则方程为x26x100，因为6241040，所以方程无实根.12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)已知等差数列an中，a13，公差为d(dN*)，若2 021是该数列的一项，则公差d不可能是A.2 B.3 C.4 D.5解析由2 021是该数列的一项，得2 0213(n1)d，因为dN*，所以d是2 018的约数，故d不可能是3,4和5.12345678910 11 12 13 14 15 167.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_.解析设这三个数为ad，a，ad，21这三个数为1,3,7或7,3，1.它们的积为21.12345678910 11 12 13 14 15 168.若a，b，c成等差数列，则二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点的个数为_.解析a，b，c成等差数列，2bac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点个数为1或2.1或212345678910 11 12 13 14 15 169.四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数.12345678910 11 12 13 14 15 16解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，又四个数成递减等差数列，所以d0 B.d0 D.a1da1an，由等差数列的公差为d知，anan1d，所以a1an1a1ana1ana1an10a1(anan1)0a1d0，则(a2d)(ad)a(ad)(a2d)5a100，a20.得3a3d7(2a3d)，24d11a，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.在等差数列 中，a23，若从第5项开始为负数，则公差d的取值范围是_.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.一个三角形的三个内角A，B，C成等差数列，其三边a，b，c也成等差数列，则该三角形的形状为_.等边三角形解析由三边成等差数列，得2bac，三角形的三个内角A，B，C成等差数列，由余弦定理得b2a2c22accos 60，所以该三角形为等边三角形.12345678910 11 12 13 14 15 1616.设数列 (n1,2，)是等差数列，且公差为d，若数列 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.(1)若a14，d2，求证：该数列是“封闭数列”；证明a14，d2，an4(n1)22n2.对任意的m，nN*，有aman(2m2)(2n2)2(mn1)2.mn1N*，令pmn1，则有ap2p2，它是该数列的项.该数列是“封闭数列”.12345678910 11 12 13 14 15 16a15，a23.a1a28.12345678910 11 12 13 14 15 16