1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件知识网络知识网络一、等差与等比数列的基本运算一、等差与等比数列的基本运算1.数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小.2.通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养.例1在等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；解设数列an的公比为q，由已知得162q3，解得q2，所以an22n12n，nN*.(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解由(1)得a38，a5
2、32，则b38，b532.设数列bn的公差为d，所以bn1612(n1)12n28，nN*.反思感悟在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.跟踪训练1已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；解因为数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，(2)在
3、(1)的条件下，若a10，求Sn.解因为a10，所以a12，二、等差、等比数列的判定二、等差、等比数列的判定1.判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列.2.通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养.(1)求b1，b2，b3；将n1代入得，a24a1，又a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.所以b11，b22，b34.(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；解bn是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为
4、2的等比数列.(3)求数列an的通项公式.反思感悟判断和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n1的任意自然数，验证an1an为与正整数n无关的常数.(2)中项公式法：若2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列.若 an1an1(nN*，n2且an0)，则an为等比数列.(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列.(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列；SnAqnA(A，q为常数，且A0，q0，q1，nN*)an是公比不为1的等比数列.证明当n2时，两边同除以an1an，假设
5、a1a2是数列an中的第t项，(2)试问a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.解得t11N*，所以a1a2是数列an中的第11项.三、数列求和三、数列求和1.数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现.一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题的形式出现，难度中等.2.通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养.例3已知数列an是n次多项式f(x)a1xa2x2anxn的系数，且f(1).(1)求数列an的通项公式；当n1时，a11，S11成立，所以ann(nN*).解由(1)知f(x)x2
6、x2nxn，反思感悟数列求和的常用类型(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sna1a2an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSna1qa2qanq，两式错位相减即可求出Sn.(2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和.(4)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，
7、一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数(是奇数还是偶数)的讨论.跟踪训练跟踪训练3正项数列an满足：(2n1)an2n0.(1)求数列an的通项公式an；得(an2n)(an1)0.由于an是正项数列，所以an2n，nN*.随堂演练随堂演练1.在等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列的前13项和为A.13 B.26C.52 D.1561234解析3(a3a5)2(a7a10a13)24，6a46a1024，a4a104，12342.等差数列an的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为119，则公差d，的值分别是1234解析设S奇a1a3a1
8、5，S偶a2a4a16，则有S偶S奇(a2a1)(a4a3)(a16a15)8d，12343.已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示数列an的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是A.21 B.20 C.19 D.18解析由a1a3a5105得，3a3105，a335.同理可得a433，da4a32，ana4(n4)(2)412n.1234使Sn取得最大值的n是20.4.记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1128，则m_.12344解析因为an为等比数列，又由am1am12am0(am0)，得am2.则22m1128，故m4.
