1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质.导 语导 语一、等比数列前一、等比数列前n项和公式的灵活应用项和公式的灵活应用问题1类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？则其偶数项和为S偶a2a4a2n，其奇数项和为S奇a1a3a2n1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶a1qa3qa2n1qqS奇，则其偶数项和为S偶a2a4a2n，其奇数项和为S奇a1a3a2n1
2、a2n1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇a1a3a2n1a2n1a2qa4qa2nqqS偶，即S奇a1qS偶.若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：知识梳理知识梳理在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1S奇a1qS偶.例1(1)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80，则公比q_.解析由题意知S奇S偶240，S奇S偶80，S奇80，S偶160，2S偶S奇100可知S偶200，S奇100，故S2n300.300反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(2)灵活运用等比数
3、列前n项和的有关性质.跟踪训练1(1)若等比数列 共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为_，项数为_.解析由性质S奇a1qS偶可知3411170q，所以q2，29解得n4，即这个等比数列的项数为9.(2)一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an_.解析设数列an的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶，因为数列an的项数为偶数，又因为a1a1qa1q264，即a112，二、等比数列中的片段和问题二、等比数列中的片段和问题问题2你
4、能否用等比数列 中的Sm，Sn来表示Smn?提示思路一：Smna1a2amam1am2amnSma1qma2qmanqmSmqmSn.思路二：Smna1a2anan1an2anmSna1qna2qnamqnSnqnSm.问题3类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2nSn，S3nS2n(n为偶数且q1除外)的关系吗？提示Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，证明如下：思路一：当q1时，结论显然成立；所以Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列.思路二：由性质SmnSmqmSn可知S2nSnqnSn，故有S2nSnqnSn，所以Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数
5、列.1.若an是公比为q的等比数列，则SnmSn (n，mN*).2.数列an为公比不为1的等比数列(或公比为1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，仍构成等比数列.注意点：注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn0.知识梳理知识梳理qnSmS3nS2n例2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.解方法一S2n2Sn，q1，方法二an为等比数列，显然公比不等于1，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，方法三由性质SmnSmqmSn可知S2nSnqnSn，反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)充分
6、利用SmnSmqmSn和Sn，S2nSn，S3nS2n(n为偶数且q1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算.(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.跟踪训练跟踪训练2已知等比数列an的前n项和为Sn，S41，S83，则a9a10a11a12等于A.8 B.6 C.4 D.2解析S4，S8S4，S12S8成等比数列.即1,2，a9a10a11a12成等比数列.a9a10a11a124.三、等比数列前三、等比数列前n项和公式的实际应用项和公式的实际应用例3算法统宗是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书
7、中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为A.96 B.126 C.192 D.252解析由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，因为该人6天后到达目的地，所以该人第1天所走路程里数为192.反思感悟(1)解应用问题的核心是建立数学模型.(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.(3)注意问题是求什么(n，an，Sn).跟踪训练3我国数学巨著九章算术
8、中，有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布 尺，则这位女子织布的天数是A.2 B.3 C.4 D.1解析依题意，每天的织布数构成一个公比q2的等比数列an，其前n项和为Sn，1.知识清单：(1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质.(2)片段和性质.(3)等比数列前n项和的实际应用.2.方法归纳：公式法、分类讨论.3.常见误区：应用等比数列片段和性质时易忽略其成立的条件.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.设等比数列an的前n项和为
9、Sn，若S10S512，则S15S5等于A.34 B.23C.12 D.13解析在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为S10S512，所以S52S10，123412342.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要A.6秒钟 B.7秒钟C.8秒钟 D.9秒钟1234解析根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，则1222232n1200，2n201，结合nN*，解得n8，即至少需8秒细菌将病毒全部杀死.12343.我国古代数学名著算法统
10、宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_.解析设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an是公比为2的等比数列，312344.若等比数列an的公比为 ，且a1a3a9960，则an的前100项和为_.解析令Xa1a3a9960，Ya2a4a100，则S100XY，80所以Y20，即S100XY80.课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022
11、，则这个数列的公比为A.8 B.2 C.4 D.212345678910 11 12 13 14 15 162.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为A.6 B.8 C.10 D.12解析设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，中间两项的和为anan12n12n24，解得n4，所以项数为8.3.设等比数列an的前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于解析易知q1，因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)
12、1，12345678910 11 12 13 14 15 164.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为A.1.14a B.11(1.151)aC.1.15a D.10(1.161)a解析从今年起到第5年，这个厂的总产值为a1.1a1.12a1.13a1.14a1.1512345678910 11 12 13 14 15 165.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求
13、赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析5斗50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S350，12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)下列结论不正确的是A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则 这个数列是等差数列B
14、.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数C.等比数列 的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列D.如果数列 的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn12345678910 11 12 13 14 15 16解析对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确；所以SnS2nSnS3nS2n0，此时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列，C选项错误；对于D选项，对任意的nN*，且该数列的前n项和Snn，B选项错误；12345678910 11 12 13 14 15 167.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍
15、，则需要的最少天数n(nN*)等于_.解析每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，6由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，则n17，即n6.12345678910 11 12 13 14 15 168.设等比数列an中，a1a2a33，a4a5a681，则数列an的公比为_.解析易得a4a5a6q3(a1a2a3)，故q327，则q3.312345678910 11 12 13 14 15 169.一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.12345678910 11 12 13 14 15 16解方法一设
16、原等比数列的公比为q，项数为2n(nN*).由，得q2，故公比为2，项数为8.12345678910 11 12 13 14 15 16方法二S偶a2a4a2na1qa3qa2n1q(a1a3a2n1)qS奇q，2n256，n8.即公比q2，项数n8.解由题意知S62S3，q1，由等比数列的前n项和等距分段的性质知，an2n1.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解由(1)知bn2n1n1，12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a
17、34，a4a5a68，则S12等于A.40 B.60 C.32 D.50解析由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S1248163260.12.若数列xn满足lg xn11lg xn(nN*)，且x1x2x100100，则lg(x101x102x200)的值等于A.200 B.120 C.110 D.102解析因为lg xn11lg xn，所以lg(x101x102x200)12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析设数列an共有(
18、2m1)项，由题意得故当n1或2时，Tn取最大值2.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.如图，画一个边长为4 cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是_ cm2.3112345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)f(y)f(xy).若a1 ，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn_.12345678910 11 12 13 14 15 16解析令xn，y1，则f(n)f(1)f(n1)，12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：Sn(S2nS3n).证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，12345678910 11 12 13 14 15 16方法二根据等比数列的性质有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，12345678910 11 12 13 14 15 16
