1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件一、等差数列中奇、偶项的和一、等差数列中奇、偶项的和问题1我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n1吗？由等差数列的性质mnpqamanapaq可知，a1a2nanan1，a1a2n12an，即S2nn(anan1)，S2n1(2n1)an，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示.问题2当总项数为2n项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？则有S偶S奇nan1nann(an1an)nd，问题3当总项数为2n1项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？知识梳理知识梳理
2、注意点：注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半.例1(1)在等差数列an中，S10120，且在这10项中，则公差d_.所以S偶S奇5d10，所以d2.2解方法一设等差数列an，bn的公差分别为d1，d2，方法二设an，bn的前n项和分别为An，Bn，由于a1a92a5.同理B9b59.方法三设an，bn的前n项和分别为An，Bn，根据已知，可令An(7n2)kn，Bn(n3)kn(k0).所以a5A5A4(752)k5(742)k465k，b5B5B4(53)k5(43)k412k.方法四设an，bn
3、的前n项和分别为An，Bn，反思感悟一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项.跟踪训练1(1)等差数列共有2n1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于A.6 B.8 C.10 D.12解析S奇a1a3a2n1132，S偶a2a4a2n 120，S奇S偶a2n1ndan112，解得n10.(2)已知数列an是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是_.解析设等差数列an的项数为2m，末项与首项的差为28，a2ma1(2m
4、1)d28，S奇50，S偶34，S偶S奇345016md，由得d4.4二、含绝对值的等差数列的前二、含绝对值的等差数列的前n项和项和问题4已知等差数列an2n9，求|an|的前n项和.提示设an的前n项和为Sn，|an|的前n项和为Tn.则当n4时，TnSnn28n，当n5时，Tn(a1)(a2)(a3)(a4)a5a6anS4(SnS4)Sn2S4n28n32.1.若一个等差数列a10，且ak0，ak10，则其绝对值的前n项和为Tn nN*.2.若一个等差数列a10，d0，且ak0，ak10，此时bn|an|an，数列bn的前n项和Tn100nn2.当n51时，an0，此时bn|an|an，
5、由b51b52bn(a51a52an)(SnS50)S50Sn，得数列bn的前n项和TnS50(S50Sn)2S50Sn22 500(100nn2)5 000100nn2.延伸探究本例中若an2n101，求数列bn的前n项和.解由本例可知，当1n50时，an0，b51b52bna51a52an.反思感悟已知等差数列an，求绝对值数列|an|的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”.跟踪训练跟踪训练2在等差数列an中，a1023，a2522.(1)数列an前多少项和最大？ana1(n1)d3n
6、53.当n18时，an0，S130，S130，a70，a6|a7|，且公差d0，所以|a7|最小.a19，S525.50an92(n1)2n11.1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.在等差数列 中，a2a4a63，a3a5a76，则 的前8项的和为A.3 B.4 C.5 D.6解析由等差中项的性质可知a2a4a63a43，所以a41，同理a52，所以a4a51，S84(a4a5)4.12345678910 11 12 13 14 15 16A.33 B.44 C.55 D.6612345678910 11 12 13 14 15 1
7、6解得a15d5，a65，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析因为an5n，所以当n5时，an0，当n6时，an5时，an0；当n5时，an0；当n0.当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2an9nn2.12345678910 11 12 13 14 15 16当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Sn2(9525)9nn2n29n40，12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.若数列an的前n项和是Snn24n2，则|a1|a2|
8、a10|等于A.15 B.35 C.66 D.100|a1|1，|a2|1，|a3|1，令an0，则2n50，n3.|a1|a2|a10|11a3a102(S10S2)2(1024102)(22422)66.12345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意，令Snkn(2n1)，Tnkn(3n2)，12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为b3b18b6b15b10b11，12345678910 11 12 13 14 15 1614.已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为_.解析由题意，得等差数列共有11项，拓
9、广探究15.九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹40尺，一丈10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则 的值为12345678910 11 12 13 14 15 16a16，S301140310470，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16又因为a11符合n2的情况，所以an4n3.12345678910 11 12 13 14 15 16
