1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件一、等差数列的实际应用一、等差数列的实际应用例1周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为A.15.5尺 B.12.5尺 C.9.5尺 D.6.5尺冬至、小寒、大寒芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，a12，公差为d，由题意可得，a1a4a737.5，即a412.5，又a124.5，所以立夏的日影子长为a10a46d12.566.5(尺).反思
2、感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；判型，即判断该数列是否为等差数列；求解，即求出该问题的数学解；还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.跟踪训练1某企业2020年7月份到12月份的月产量(单位：吨)逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为A.48吨 B.54吨C.60吨 D.66吨解析设2020年n(1n1
3、2，nN*)月的产量为an，由题意可知，数列an是等差数列，则a710，a1220，则8月到11月这四个月的产量之和为a8a9a10a112(a7a12)60(吨).二、等差数列中项的设法二、等差数列中项的设法例2(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；解设这三个数依次为ad，a，ad，所以这三个数为4,3,2.(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为8，求这四个数.解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意得2a2且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，所以d21，所以d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0
4、，所以d1，故所求的四个数为2,0,2,4.反思感悟等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式.(2)当已知数列有3项时，可设为ad，a，ad，此时公差为d.若有5项、7项、时，可同理设出.(3)当已知数列有4项时，可设为a3d，ad，ad，a3d，此时公差为2d.若有6项、8项、时，可同理设出.跟踪训练跟踪训练2已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 ，求这5个数.解设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d.三、等差数列的综合应
5、用三、等差数列的综合应用例3若关于x的方程x2xm0和x2xn0(m，nR，且mn)的四个根组成首项为 的等差数列，则数列的公差d_，mn的值为_.解析设x2xm0，x2xn0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x41(且14m0,14n0).设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.反思感悟解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.跟踪训练跟踪训练3已知等差数列an中，a1a4a739，a2a5a833，则a3a6a9_.解析方法
6、一由性质可知，数列a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9是等差数列，所以2(a2a5a8)(a1a4a7)(a3a6a9)，则a3a6a92333927.方法二设等差数列an的公差为d，则(a2a5a8)(a1a4a7)(a2a1)(a5a4)(a8a7)3d6，解得d2，所以a3a6a9a2da5da8d27.271.知识清单：(1)等差数列的实际应用.(2)等差数列中项的设法.(3)等差数列的综合应用.2.方法归纳：解方程组法.3.常见误区：对等差数列的性质不理解而致错.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知等差数列1，a1，a2,9，则a2a1的值为解析根据等差数列1，a1，a2,9
7、知，1和9是该数列的第一项和第四项，12341234故a5a8a5a26d106222.A.12 B.22 C.24 D.3412343.由公差d0的等差数列a1，a2，an组成一个新的数列a1a3，a2a4，a3a5，下列说法正确的是A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为d的等差数列C.新数列是公差为2d的等差数列D.新数列是公差为3d的等差数列解析因为(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)2d，所以数列a1a3，a2a4，a3a5，是公差为2d的等差数列.12344.我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，
8、得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金1234解析设十等人得金从高到低依次为a1，a2，a10，则an为等差数列，课时对点练课时对点练A.1 B.8 C.4 D.2基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 162.已知数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，那么数列anbn的第37项为A.0 B.37 C.100 D.37解析设等差数列an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1b
9、n1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以数列anbn仍然是等差数列.又d1d2(a2b2)(a1b1)100(2575)0，所以a37b37a1b1100.12345678910 11 12 13 14 15 16设第n项为14，有ana1(n1)d2(n1)d14，即(n1)d12，由nN*知，n10，n1N*，而121122634，d的取值有1,2,3,4,6,12.12345678910 11 12 13 14 15 164.若三个数成等差数列，它们的和为12，积为36，则这三个数的平方和为A.98 B.88 C.78 D.68解析设这三个数为ad，a，ad，这三个数
10、为1,4,9或9,4，1.它们的平方和为98.12345678910 11 12 13 14 15 165.已知等差数列an中，a2a5a89，那么关于x的方程x2(a4a6)x100A.无实根 B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根 D.不能确定有无实根解析因为a4a6a2a82a5，a2a5a83a59，所以a53，则方程为x26x100，因为6241040，所以方程无实根.12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)已知等差数列an中，a13，公差为d(dN*)，若2 021是该数列的一项，则公差d不可能是A.2 B.3 C.4 D.5解析由2 021是该数列
11、的一项，得2 0213(n1)d，因为dN*，所以d是2 018的约数，故d不可能是3,4和5.12345678910 11 12 13 14 15 167.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_.解析设这三个数为ad，a，ad，21这三个数为1,3,7或7,3，1.它们的积为21.12345678910 11 12 13 14 15 168.若a，b，c成等差数列，则二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点的个数为_.解析a，b，c成等差数列，2bac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点个数为1或2.1或2123
12、45678910 11 12 13 14 15 169.四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数.12345678910 11 12 13 14 15 16解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，又四个数成递减等差数列，所以d0 B.d0 D.a1da1an，由等差数列的公差为d知，anan1d，所以a1an1a1ana1ana1an10a1(anan1)0a1d0，则(a2d)(ad)a(ad)(a2d)5a100，a20.得3a3d7(2a3d)，24d11a，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678
13、910 11 12 13 14 15 1614.在等差数列 中，a23，若从第5项开始为负数，则公差d的取值范围是_.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.一个三角形的三个内角A，B，C成等差数列，其三边a，b，c也成等差数列，则该三角形的形状为_.等边三角形解析由三边成等差数列，得2bac，三角形的三个内角A，B，C成等差数列，由余弦定理得b2a2c22accos 60，所以该三角形为等边三角形.12345678910 11 12 13 14 15 1616.设数列 (n1,2，)是等差数列，且公差为d，若数列 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.(1)若a14，d2，求证：该数列是“封闭数列”；证明a14，d2，an4(n1)22n2.对任意的m，nN*，有aman(2m2)(2n2)2(mn1)2.mn1N*，令pmn1，则有ap2p2，它是该数列的项.该数列是“封闭数列”.12345678910 11 12 13 14 15 16a15，a23.a1a28.12345678910 11 12 13 14 15 16
