MathsSPA12 2012年全国高中数学联合竞赛二试题.docx

2012年全国高中数学联合竞赛二试题一、（本题满分40分）如图所示，在锐角中，是边上不同的两点，使得，设和的外心分别为,求证：三点共线。二、（本题满分40分）的定义如下：，对整数，记（），证明：数列中有无穷多项完全平方数。三、（本题满分50分）一次考试共有道试题，个学生参加，其中为给定的整数，每道题的得分规则是：若该题恰有个学生没有答对，则每个答对该题的学生得分，未答对的学生得分.每个学生得总分为其道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为，求的最大可能值。四、（本题满分50分）设为大于的整数，证明：存在个不被整除的整数，若将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被整除。