苏教版高中数学选择性必修一第5章5.1.1《平均变化率》教案及课件.zip

5.1导数的概念导数的概念5.1.1平均变化率平均变化率学习目标 1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题导语恩格斯说“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动”，大家知道，世界充满着变化，有些变化几乎不易被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！比如同学们身高、体重的变化，学习成绩的变化，在短时间内不易被发现；比如火箭的发射、F1 的赛道上，也能让我们感受到速度与激情一、平均变化率的概念问题如图，从数学的角度刻画气温“陡升”，用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？提示陡峭程度反应了气温变化的快与慢；AB 两点相差 31 天，气温增加了 15.1C，则有18.63.53210.5；而 BC 两点相差 2 天，气温增加了 14.8C，则有33.418.634327.4，我们用比值刻画了变量变化的快慢程度，比值称为函数在某一区间上的平均变化率平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”知识梳理1一般地，函数 f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为fx2fx1x2x1.2平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”注意点：(1)函数在区间x1，x2上有意义(2)在式子fx2fx1x2x1中，x2x10，而 f(x2)f(x1)的值可正、可负、可为 0.(3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(4)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢例 1(教材 174 页例 1 改编)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图同样是登山，但是从 A 处到 B 处会感觉比较轻松，而从 B 处到 C 处会感觉比较吃力试用数学语言给出解释解从 A 处到 B 处高度的平均变化率为10050015，从 B 处到 C 处高度的平均变化率为1510705014，由1415，知山路从 B 处到 C 处比从 A 处到 B 处陡峭故从 A 处到 B 处会感觉比较轻松，而从 B 处到 C 处会感觉比较吃力反思感悟平均变化率的大小反映了某过程在单位时间内或单位距离内的变化的快与慢跟踪训练 1某森林公园在过去的 10 年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前 5 年与后 5 年森林面积的平均变化率解前 5 年森林面积的平均变化率为6.52.5500.8(公顷/年)后 5 年森林面积的平均变化率为14.56.51051.6(公顷/年)二、实际问题中的平均变化率例 2(教材 174 页例 2 改编)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥五号探测器从距离月球表面 1 500 m 处开始实施动力下降，7 500 牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1 500 m/s 降为零.14 分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对月球纵向速度的平均变化率为 a，则()Av2514 m/s，a2514 m/s2Bv2514 m/s，a2514 m/s2Cv2514 m/s，a2514 m/s2Dv2514 m/s，a2514 m/s2答案D解析探测器与月球表面的距离逐渐减小，所以 v01 50014 602514 m/s；探测器的速度逐渐减小，所以 a01 50014 602514 m/s2.反思感悟平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等分清自变量和因变量是解决此类问题的关键跟踪训练 2蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T120t515，其中 T 为体温(单位：)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，则 t0 到 t10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为_/min.答案1.6解析T10T0100(12010515)(1200515)101.6(/min)，从 t0 到 t10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为1.6/min.三、函数中的平均变化率例 3(教材 175 页例 3、例 4 改编)(1)计算函数 yf(x)x2从 x1 到 x1x 的平均变化率，其中 x 的值为：2；1；0.1；0.01；(2)思考：当 x 越来越小时，函数 f(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)因为 f(1x)f(1)(1x)212(x)22x，所以f1xf1xx22xxx2.当 x2 时，平均变化率为 x24，即函数 f(x)x2在区间1,3上的平均变化率为 4；当 x1 时，平均变化率为 x23，即函数 f(x)x2在区间1,2上的平均变化率为 3；当 x0.1 时，平均变化率为 x22.1，即函数 f(x)x2在区间1,1.1上的平均变化率为2.1；当 x0.01 时，平均变化率为 x22.01，即函数 f(x)x2在区间1,1.01上的平均变化率为 2.01.(2)当 x 越来越小时，函数 f(x)在区间1,1x上的平均变化率逐渐变小，并接近于 2.反思感悟求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量 x2x1.(2)求函数值的改变量 f(x2)f(x1)(3)求平均变化率fx2fx1x2x1.跟踪训练 3(1)求函数 f(x)3x22 在区间2,2.1上的平均变化率；(2)求函数 g(x)3x2 在区间2，1上的平均变化率解(1)函数 f(x)3x22 在区间2,2.1上的平均变化率为f2.1f22.123 2.1223 2220.112.3.(2)函数 g(x)3x2 在区间2，1上的平均变化率为g1g2123 123 221258123.1知识清单：(1)平均变化率(2)平均变化率的几何意义及应用2方法归纳：转化法3常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错1如图，函数 yf(x)在 A，B 两点间的平均变化率等于()A1 B1C2 D2答案B解析平均变化率为13311.故选 B.2一物体的运动方程是 S32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是()A0.4 B2 C0.3 D0.2答案B解析vS2.1S22.127.270.12.3设函数 f(x)x21，当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率是()A2.1 B0.21 C1.21 D0.121答案A解析x1.110.1，yf(1.1)f(1)1.121(121)0.21，所以函数 f(x)x21 在区间1,1.1上的平均变化率为yxf1.1f1x0.210.12.1.4如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间0,2上的平均变化率为_.答案34解析由折线图知，f(x)Error!所以该变量在区间0,2上的平均变化率为f(2)f(0)20332234.课时对点练课时对点练1已知函数 y21x，当 x 由 1 变到 2 时，函数值的改变量 y 等于()A.12 B12 C1 D1答案B解析y(212)(21)12.2已知函数 f(x)x22，则该函数在区间1,3上的平均变化率为()A4 B3 C2 D1答案A解析f(3)11，f(1)3，该函数在区间1,3上的平均变化率为f3f131113314.3甲、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示，则治污效果较好的是()A甲厂 B乙厂 C两厂一样 D不确定答案B解析在 t0处，虽然有 W甲(t0)W乙(t0)，但 W甲(t0t)s1s0，t1t00，所以s2s0t1t0s1s0t1t0，故 C 正确，D 错误7若函数 f(x)x2x 在区间2，t上的平均变化率为 2，则 t_.答案58已知函数 ysin x 在区间0，6，3，2上的平均变化率分别为 k1，k2，那么 k1，k2的大小关系为_答案k1k2解析当 x0，6时，平均变化率 k1sin 6sin 063，当 x3，2时，平均变化率 k2sin 2sin 32332 3，k1k2.9 已知函数 f(x)x23x 在0，m上的平均变化率是函数 g(x)2x1 在1,4上的平均变化率的 3 倍，求实数 m 的值解函数 g(x)在1,4上的平均变化率为g4g1419332.函数 f(x)在0，m上的平均变化率为fmf0m0m23mmm3.令 m323，得 m3.10为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从 25 m/s 到 0 m/s花了 5 s，乙车从 18 m/s 到 0 m/s 花了 4 s，试比较两辆车的刹车性能解甲车速度的平均变化率为02555(m/s2)乙车速度的平均变化率为01844.5(m/s2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好11函数 f(x)的图象如图，则函数 f(x)在下列区间上平均变化率最大的是()A.1，2 B.2，3 C.3，4 D.4，7 答案C解析函数 f(x)在区间上的平均变化率为yx，由函数图象可得，在区间4，7 上，yx0 且 x 相同，由图象可知函数在区间3，4 上的yx最大所以函数 f(x)在区间3，4 上的平均变化率最大12已知函数 f(x)x2x 的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则yx等于()A3 B3x(x)2C3(x)2 D3x答案D解析yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(2)3x(x)2yx3x.13某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时累计里程(千米)2021 年 10 月 1 日1235 0002021 年 10 月 15 日6035 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为()A6 升 B8 升 C10 升 D12 升答案C解析由题意知第二次加油量即为这段时间的耗油量 V60(升)，这段时间的行驶里程数 S35 60035 000600(千米)，故这段时间，该车每 100 千米平均耗油量为6060010010(升)，故选 C.14某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度 c(单位：mg/mL)来表示，它是时间 t(单位：min)的函数，表示 cc(t)，下表给出了 c(t)的一些函数值：t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后 3070 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为_mg/(mLmin)答案0.002解析c70c3070300.900.98400.002mg/(mLmin)15将半径为 R 的球加热，若半径从 R1 到 Rm 时球的体积膨胀率为283，则 m 的值为_答案2解析体积的增加量 V43m34343(m31)，所以VR43m31m1283，所以 m2m17，所以 m2 或 m3(舍)16圆柱形容器，其底面直径为 2 m，深度为 1 m，盛满液体后以 0.01 m3/s 的速率放出，求液面高度的平均变化率解设液体放出 t 秒后液面高度为 y m，则 12y1210.01t，y10.01t，液面高度的平均变化率为yt10.01tt10.01tt0.01，故液面高度的平均变化率为0.01.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件平均变化率平均变化率恩格斯说“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动”，大家知道，世界充满着变化，有些变化几乎不易被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！比如同学们身高、体重的变化，学习成绩的变化，在短时间内不易被发现；比如火箭的发射、F1的赛道上，也能让我们感受到速度与激情.导导 语语一、平均变化率的概念一、平均变化率的概念问题如图，从数学的角度刻画气温“陡升”，用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？提示陡峭程度反应了气温变化的快与慢；AB两点相差31天，气温增加了15.1C，我们用比值刻画了变量变化的快慢程度，比值称为函数在某一区间上的平均变化率.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.2.平均变化率是曲线陡峭程度的“”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“”.注意点：(1)函数在区间x1，x2上有意义.(2)在式子 中，x2x10，而f(x2)f(x1)的值可正、可负、可为0.(3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(4)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢.知识梳理知识梳理数量化视觉化例1(教材174页例1改编)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.反思感悟平均变化率的大小反映了某过程在单位时间内或单位距离内的变化的快与慢.跟踪训练1某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率.二、实际问题中的平均变化率二、实际问题中的平均变化率例2(教材174页例2改编)2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1 500 m处开始实施动力下降，7 500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1 500 m/s降为零.14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则解析探测器与月球表面的距离逐渐减小，反思感悟平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键.跟跟踪踪训训练练2蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T 15，其中T为 体 温(单 位：)，t为太阳落山后的时间(单 位：min)，则 t0到t10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为_/min.从t0到t10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为1.6/min.1.6三、函数中的平均变化率三、函数中的平均变化率例3(教材175页例3、例4改编)(1)计算函数yf(x)x2从x1到x1x的平均变化率，其中x的值为：2；1；0.1；0.01；解因为f(1x)f(1)(1x)212(x)22x，当x2时，平均变化率为x24，即函数f(x)x2在区间1,3上的平均变化率为4；当x1时，平均变化率为x23，即函数f(x)x2在区间1,2上的平均变化率为3；当x0.1时，平均变化率为x22.1，即函数f(x)x2在区间1,1.1上的平均变化率为2.1；当x0.01时，平均变化率为x22.01，即函数f(x)x2在区间1,1.01上的平均变化率为2.01.(2)思考：当x越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解当x越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.反思感悟求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量x2x1.(2)求函数值的改变量f(x2)f(x1).跟踪训练跟踪训练3(1)求函数f(x)3x22在区间2,2.1上的平均变化率；解函数f(x)3x22在区间2,2.1上的平均变化率为(2)求函数g(x)3x2在区间2，1上的平均变化率.1.知识清单：(1)平均变化率.(2)平均变化率的几何意义及应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率等于A.1 B.1C.2 D.2123412342.一物体的运动方程是S32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.212343.设函数f(x)x21，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是A.2.1 B.0.21 C.1.21 D.0.121解析x1.110.1，yf(1.1)f(1)1.121(121)0.21，4.如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间0,2上的平均变化率为_.1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 162.已知函数f(x)x22，则该函数在区间1,3上的平均变化率为A.4 B.3 C.2 D.1解析f(3)11，f(1)3，12345678910 11 12 13 14 15 163.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是A.甲厂 B.乙厂 C.两厂一样 D.不确定解析在t0处，虽然有W甲(t0)W乙(t0)，但W甲(t0t)k2.k1k212345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 169.已知函数f(x)x23x在0，m上的平均变化率是函数g(x)2x1在1,4上的平均变化率的3倍，求实数m的值.令m323，得m3.12345678910 11 12 13 14 15 1610.为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能.平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是12345678910 11 12 13 14 15 1612.已知函数f(x)x2x的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则 等于A.3 B.3x(x)2C.3(x)2 D.3x解析yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(2)3x(x)212345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时累计里程(千米)2021年10月1日1235 0002021年10月15日6035 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为A.6升 B.8升 C.10升 D.12升12345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意知第二次加油量即为这段时间的耗油量V60(升)，这段时间的行驶里程数S35 60035 000600(千米)，14.某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示cc(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63服药后3070 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为_mg/(mLmin).0.00212345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.将半径为R的球加热，若半径从R1到Rm时球的体积膨胀率为则m的值为_.所以m2m17，所以m2或m3(舍).216.圆柱形容器，其底面直径为2 m，深度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出，求液面高度的平均变化率.解设液体放出t秒后液面高度为y m，则12y1210.01t，12345678910 11 12 13 14 15 16