1、小升初 加乘原理的应用内容分析-（）生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决知识结构 内计数综合加乘原理综合运用简单加乘原理综合运用加乘原理与数字问题加乘原理与图论排队问题染色问题模块一：加乘原理的综合应用知识精讲1、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：加法原理是把完成一件事的方法
2、分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立”乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“乘法分步，
3、步步相关”例题解析【例1】 商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2种水果糖：苹果味、梨味、橙味小明想买一些糖送给他的小朋友如果小明只买一种糖，他有几种选法？如果小明想买水果糖、巧克力糖各种，他有几种选法？【难度】【答案】（1）5 （2）6【解析】小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类办法：第一类是从种巧克力糖中选一种 有种办法；第二类是从种水果糖中选一种，有种办法因此，小明有种选糖的方法小明完成这件事要分两步，每步分别有种、种方法，因此有种方法【例2】 王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以
4、乘船、火车或者飞机，如图那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？【难度】【答案】8【解析】从重庆到南京的走法有两类：第一类从重庆经过武汉去南京，根据乘法原理，有(种)走法；第二类不经过武汉，有2种走法根据加法原理，从重庆到南京一共有种不同走法【例3】 如下图，八面体有12条棱，6个顶点一只蚂蚁从顶点出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次问共有多少种不同的走法？【难度】【答案】40【解析】走完6个顶点，有5个步骤，可分为两大类：第二次走点：就是意味着从点出发，我们要先走，中间的一点，再经过点，但之后只能走，点，最后选择后面两点有种(从到的话，是不能到的)；第二次不走：有种(同理，不能到)；
5、共计：种【例4】 某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？【难度】【答案】27【解析】分两类情况讨论：都会的这1人被挑选中，则有：如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有 3种方法，再选2名电工也有3种方法；所以有种方法；同样，这人做电工，也有9种方法都会的这一人没有被挑选，则从3名钳工中选2人，有3种方法；从3名电工中选2人，也有3种方法，一共有种方法所以，根据加法原理，一共有种方法【例5】 某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号每次可挂一面，二面或三面，并
6、且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号一共可以表示出多少种不同的信号？【难度】【答案】40.【解析】由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：第一类，可以从四种颜色中任选一种，有4种表示法； 第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法根据乘法原理，共有种表示法； 第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有2种选法根据乘法原理，共有种表示法 根据
7、加法原理，一共可以表示出种不同的信号【例6】 红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？【难度】【答案】62，46【解析】(一)取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2种可能；第二类，两种颜色： 第三类，三种颜色： 所以，根据加法原理，一共可以表示种不同的信号(二)白棋打头的信号，后两面旗有种情况所以白棋不打头的信号有种【例7】 过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件其中姐姐的儿子小
8、强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件那么，妈妈送出这5件礼物共有种方法【难度】【答案】180【解析】若将遥控汽车给小强，则学习机要给小玉，此时另外3个孩子在剩余5件礼物中任选3件，有种方法；若将遥控车给小玉，则智力拼图要给小强，此时也有60种方法；若遥控车既不给小强、也不给小玉，则智力拼图要给小强，学习机要给小玉，此时仍然有60种方法所以共有种方法【例8】 奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由个字母、组成，并且所有的单词都有着如下的规律，字母不打头，单词中每个字母后边必然紧跟着字母，和不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的
9、单词一共有多少种？【难度】【答案】135【解析】分为三种：第一种：有两个的情况只有1种 第二种，有一个的情况，又分3类第一类，在第一个位置，则在第二个位置，后边的排列有种，减去、同时出现的两种，总共有14种，第二类，在第二个位置，则在第三个位置，总共有种.第三类，在第三个位置，则在第四个位置，总共有种. 第三种，没有的情况:分别计算没有的情况:种.没有的情况：种.没有、的情况：种.由容斥原理得到一共有种.所以，根据加法原理，一共有种【例9】 若从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?【难度】【答案】81【解析】从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数一位
10、数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有个数不含4三位数只有100. 所以一共有个不含4的自然数【例10】 由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第 个【难度】【答案】29【解析】比小的位数有和，比小的位数有（种），比小的位数有（种），比小的位数有（种），所以排在第（个）【例11】 从到这个自然数中有 个数的
11、各位数字之和能被4整除【难度】【答案】248【解析】 【解析】由于在一个数的前面写上几个0不影响这个数的各位数字之和，所以可以将到中的一位数和两位数的前面补上两个或一个0，使之成为一个三位数现在相当于要求001到999中各位数字之和能被4整除的数的个数一个数除以4的余数可能为0，1，2，3，09中除以4余0的数有3个，除以4余1的也有3个，除以4余2和3的各有2个三个数的和要能被4整除，必须要求它们除以4的余数的和能被4整除，余数的情况有如下5种：；如果是，即3个数除以4的余数都是0，则每位上都有3种选择，共有种可能，但是注意到其中也包含了000这个数，应予排除，所以此时共有个；如果是，即3个
12、数除以4的余数分别为0，1，3，而在3个位置上的排列有种，所以此时有个；如果是，即3个数除以4的余数分别为0，2，2，在3个位置上的排列有种，所以此时有个；如果是，即3个数除以4的余数分别为1，1，2，在3个位置上的排列有种，所以此时有个；如果是，即3个数除以4的余数分别为2，3，3，在3个位置上的排列有种，此时有个根据加法原理，共有【例12】 有两个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点随意掷这两个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？【难度】【答案】18【解析】方法一：要使两个骰子的点数之和为偶数，只要这两个点数的奇偶性相同，可以分 为两步：第一步第一个骰子随意掷有6
13、种可能的点数；第二步当第一个骰子的点数确定了以后，第二个骰子的点数只能是与第一个骰子的点数相同奇偶性的3种可能的点数根据乘法原理，向上一面的点数之和为偶数的情形有（种）方法二：要使两个骰子点数之和为偶数，只要这两个点数的奇偶性相同，所以，可以分为两类：第一类：两个数字同为奇数有（种）不同的情形第二类：两个数字同为偶数类似第一类，也有（种）不同的情形根据加法原理，向上一面点数之和为偶数的情形共有（种） 方法三：随意掷两个骰子，总共有（种）不同的情形因为两个骰子点数之和为奇数与偶数的可能性是一样的，所以，点数之和为偶数的情形有（种）模块二：排队问题知识精讲排队问题比如说6个同学，排成一个队伍，有多
14、少种排法在排队问题中，中间这一人，既不能遗漏，也不能重复，我们算总人数的时候一定要把重复的人数去掉。同学们排队，以某一个人为标准来数人数，知道他左边、右边人数或从左、从右数他排第几，这类问题就是排队问题。排队问题的关键是要找出重复的部分再解答。例题解析【例13】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照相时3人站成一排)【难度】【答案】24【解析】由于人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有人，可以看成有个位置由这人来站由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选人照相，所以，问题就转化成从四个人中选人，排在个位置中的排列问题要计算的是有多少种排法
15、共可能有：432=24 (种)不同的拍照情况也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：4321=24（种）不同的拍照情况【例14】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【难度】【答案】24【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个排队问题，共有 4321=24 (种)不同的站法【例15】 从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？【难度】【答案】6840【解析】分三步，分别挑选第一人，第二人，第三人，分别有20，19，18种挑选法，一共有种排法【例16】 五位同学扮成奥运会
16、吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法【难度】【答案】72【解析】五位同学的排列方式共有54321=120（种）如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4321=24（种）；因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有242=48(种)；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72（种）【例17】 编号为1到10的十张椅子顺时针均匀地绕圆桌一圈摆放5对夫妇入座，要求男女相隔而坐，每对夫妇不能相邻或对面而坐，有 种入座的分配方式【难度】【答案】480【解析】 假设有位丈夫坐在1号位，那么所有的丈夫都坐在奇数
17、号位，妻子则坐在偶数 号位由于妻子不能与丈夫相邻和相对，所以她不能坐在2，6，10号位上，只能坐在4号位或8号位上也就是说妻子只能坐在丈夫的顺时针或者逆时针方向数第3个位子上可以发现，丈夫和妻子的位子的这一关系对每一对夫妇和每一个座位都适用对于其中的某一个丈夫，他可以坐在1到10号的任意一个位子上，有10种选择不妨设他坐在1号位上，那么他的妻子只能坐在4号位或8号位上假如坐在4号位上，那么对于坐在7号位上的丈夫，他的妻子只能坐在10号位上；而对于坐在3号位上的丈夫，他的妻子只能坐在6号位上；那么对于坐在9号位上的丈夫，他的妻子只能坐在2号位；对于坐在5号位上的丈夫，他的妻子只能坐在8号位可见，
18、只要一对夫妇的位置确定，那么其他4对夫妇的位置关系也就确定了，也就是说，只要确定了其他4位丈夫的座位，那么整个座位分配就确定了由于4位丈夫之间的位置关系是不确定的，所以有种同样地，如果坐1号位的丈夫的妻子坐在8号位上，也有24种所以这名丈夫坐在1号位上共有种那么这名丈夫坐在其它位置上也各有48种由于每个座位都是编过号的，各个座位互不相同，每一名丈夫和妻子也都不相同，所以不会出现重复的情况，所以满足题意的分配方式有种【例18】 名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： 甲不在中间也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起； 男女相间【难度】【答案】（1）2
19、41920（2）10080（3）5760（4）2880【解析】 先排甲，个位置除了中间和两端之外的个位置都可以，有种选择，剩下 的个人随意排，有87654321=40320(种)选择由乘法原理，共有(种)排法 甲、乙先排，有21=2 (种)排法；剩下的个人随意排，有7654321=5040 (种)排法由乘法原理，共有(种)排法 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有21=2 (种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是个元素与个元素的全排列问题，分别有4321=24 (种)和54321=120 (种)排法由乘法原理，共有(种)排法 先排名男生，有4321=24(种)排法，再把名
20、女生排到个空档中，有54321=120 (种)排法由乘法原理，一共有(种)排法模块三：染色问题【例19】 “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？（4级）【难度】【答案】480【解析】第一步写“I”有5种方法，第二步写“M”有4种方法，第三步写“O”有3种方法，共有种方法【例20】 “学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？（4级）【难度】【答案】720【解析】第一步写“学”有6种方法，第二步写“习”有5种方法，第三步写“改”有4种方法，第四步写“变”有3种方法，第五步
21、写“命”有2种方法，第六步写“运”有1种方法，根据乘法原理，一共有种方法【例21】 某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?【难度】【答案】4860【解析】为了便于分析，把地图上的7个县分别编号为、 (如左下图)为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图那么，为了完成地图染色这件工作需要多少步呢? 由于有7个区域，我们不妨按、的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分7步来完成染色任务第1步：先染区域，有5种颜色可供选择；第2步：再染区域，由于不能与同色，所以区域的染色方式有
22、4种；第3步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种；第4步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种；第5步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种；第6步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种；第7步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种 根据分步计数的乘法原理，共有种不同的染色方法【例22】 （1随堂检测【习题1】 同学们排队做操，每行人数同样多，小红的位置从左数起是第3个，从右数起是第3个；从前数是第3个，从后数起也是第3个。做操的同学共有多少个？【难度】【答案】25【解析】由图可看出，小红的位置从左数第3个，从右数第3个，
23、说明横行有3+3-1=5（人），竖行里从前数是第3个，从后数是第3个，说明竖行也有3+3-1=5（人），那么做操的同学应有5个5人，55=25（人）此题结果如下：3+3-1=5（人） 3+3-1=5（人） 55=25（人） 答：做操的同学共有25人。【习题2】 玩具厂生产一种玩具棒，共节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色这家厂共可生产_种颜色不同的玩具棒【难度】【答案】45【解析】每节有种涂法，共有涂法(种)但上述种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对
24、称的游戏棒有(种)故玩具棒最多有种不同的颜色【习题3】 在1，2，3，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有_ 种【难度】【答案】1728【解析】这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或38个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况奇数的排列一共有4321=24种，对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有种，所以一共有种【习题4】 用19可以组成_个不含重复数字的三位数：
25、如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成_个满足要求的三位数？【难度】【答案】168【解析】四位数的千位数字是由于这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和小于，所以这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和均等于这两个数的其他数字均不能为四位数的百位数字可在、中选择(不能是9)，有7种选择，这时三位数的百位数字是；四位数的十位数字可在剩下的个数字中选择，三位数的十位数字是四位数的个位数字可在剩下的个数字中选择，三位数的个位数字是因此，根据乘法原理，这样的四位数有个课后作业【作业1】 小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜头两局，谁先胜三局谁赢共有 种可能
26、的情况【难度】【答案】14【解析】小红和小明如果有谁胜了头两局，则胜者赢，此时共2种情况；如果没有人胜头两局，即头两局中两人各胜一局，则最少再进行两局、最多再进行三局，必有一人胜三局，如果只需再进行两局，则这两局的胜者为同一人，对此共有种情况；如果还需进行三局，则后三局中有一人胜两局，另一人只胜一局，且这一局不能为最后一局，只能为第三局或第四局，此时共有种情况，所以共有种情况【作业2】 有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份问：一共有多少种不同的订法？【难度】【答案】19【解析】可以分三种情况来考虑：3所学校订的报纸数量互不相同，有98，100，102；99，1
27、00，101两种组合，每种组各有种不同的排列，此时有种订法3所学校订的报纸数量有2所相同，有98，101，101；99，99，102两种组合，每种组各有3种不同的排列，此时有种订法3所学校订的报纸数量都相同，只有100，100，100一种订法由加法原理，不同的订法一共有种【作业3】 地图上有A，B，C，D四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？【难度】【答案】18【解析】A有3种颜色可选；当B，C取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D也有2种颜色可选根据乘法原理，不同的涂法有种；当B，C取不同的颜色时，B有2种颜
28、色可选，C仅剩1种颜色可选，此时D也只有1种颜色可选(与A相同)根据乘法原理，不同的涂法有种综上，根据加法原理，共有种不同的涂法【作业4】 用红、黄、蓝三种颜色对一个正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有红、黄、蓝、绿四种颜色对正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有五种颜色去染又有多少种？(注：正方体不能翻转和旋转) 【难度】【答案】780【解析】如果一共只有三种颜色供染色，那么正方体的相对表面只能涂上一种颜色，一共有上下、左右、前后一共三组对立面，所以染色的方法有种方法如果有四种颜色，那么染色方法可分为两类，一类是从四种颜色中选取三种对正方体进行染色，一共有种
29、另一种是四种颜色都染上，用这种染色方法，就允许有一组相对表面可以染上不同的颜色，选取这组相对表面并染上不同颜色一共有种方法，用其余两种颜色去染其他四个面只有2种方法，共种，所以一共有种方法 如果有五种颜色，那么用其中3种颜色的染色方法有种用其中4种 颜色并拿去染色有种，如果5种颜色都用，就有只有一组相对的表面染上相同的颜色，选取这组相对表面有3种方法，染色的方法有种，一共有种染色方法，用5种颜色对正方体进行染色的方法就一共有种染色方法【作业5】 某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？【难度
30、】【答案】3628800【解析】把个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的名同学一块儿进行排列，有654321=720(种)排法然后在七个空档中排列个男少先队员，有765=210 (种)排法，最后个女少先队员内部进行排列，有4321=24 (种)排法由乘法原理，这样的排法一共有(种)【作业6】 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？【难度】【答案】345600【解析】每种书内部任意排序，分别有，种排法，然后再排三种类型的顺序，有种排法，整个过程分4步完成种，一共有103680种不同排法方法一：首先将漫画书和童话书全排列，分别有、种排法，然后将漫画书和童话书捆绑看成一摞，再和3本故事书一起全排列，一共有种排法，所以一共有种排法方法二：首先将三种书都全排列，分别有24、120、6种排法，然后将排好了顺序的漫画书和童话书，整摞得先后插到故事书中，插漫画书时有4个地方可以插，插童话书时就有5个地方可插，所以一共有种排法 16 / 16 16 / 16
