1、第3讲 点、直线、平面之间的位置关系,1.平面基本性质即四条公理的“图形语言”“文字语言”,“符号语言”列表,(续表),2.空间线、面之间的位置关系,3.异面直线所成的角,锐角或直角,(0，90,过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的_，叫做异面直线 a 与 b所成的角(或夹角)，其范围是_.,1.在下列命题中，不是公理的是(,),A,A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
2、公共直线解析：选项 B，C，D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；选项 A 可以推导证明，故是定理.故选 A.,2.下列命题正确的是(,),C,A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行,3.如图 8-3-1，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有下列四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1是
3、异面直线；直线 AM 与 DD1 是异面直线.其中正确的结论为,_.,图 8-3-1,解析：A，M，C1三点共面，且在平面 AD1C1B中，但C 平面 AD1C1B，因此直线 AM 与 CC1是异面直线，同理 AM 与 BN也是异面直线，AM 与 DD1 也是异面直线，错，正确；M，B，B1 三点共面，且在平面 MBB1中，但 N 平面 MBB1，因此直线 BN 与 MB1 是异面直线，正确.,答案：,),D,4.若 A，B，Al，Bl，Pl，则(A.P?B.P D.PC.l ,考点 1,平面的基本性质,),例 1：若直线 l 不平行于平面，且 l ，则(A.内的所有直线与 l 异面B.内不存
4、在与 l 平行的直线C.内存在唯一的直线与 l 平行D.内的直线与 l 都相交,解析：不妨设直线 lM，过点 M 的内的直线与 l 不异面，故 A 错误；假设存在与 l 平行的直线 m，则由 ml，得l，这与 lM 矛盾，故 B 正确；C 显然错误；内存在与l 异面的直线，故 D 错误.故选 B.,答案：B,【规律方法】直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线不在平面内，记作 l ，包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形.反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据.公理 1 是判断直线在平面内的依据；公理 2的作用是确定平
5、面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公理 3 是证明三(多)点共线或三线共点的依据.,【互动探究】,1.下列推断中，错误的是(,),C,A.Al，A，Bl，B?l?B.A，A，B，B?ABC.l ，Al?A D.A，B，C，A，B，C，且 A，B，C 不共线?，重合,考点 2,空间内两直线的位置关系,例 2：(1)如图 8-3-2，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N,),分别是 BC1，CD1 的中点，则下列判断错误的是(图 8-3-2,A.MN 与 CC1 垂直C.MN 与 BD 平行,B.MN 与 AC 垂直D.MN 与 A1B1 平行,答案：D,(2)(2016 年上海
6、)如图 8-3-3，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BC，BB1 的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的,是(,),图 8-3-3,A.直线 AA1,B.直线 A1B1,C.直线 A1D1,D.直线 B1C1,解析：只有 B1C1 与 EF 在同一平面内，是相交的，A，B，C 中的直线与 EF 都是异面直线.故选 D.答案：D,【规律方法】判断直线是否平行比较简单直观，可以利用公理 4；判断直线是否异面则比较困难，掌握异面直线的两种判断方法：反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，再由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条
7、直线异面；在客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.,【互动探究】2.如图 8-3-4 所示的是正方体和正四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_(填上所,有正确答案的序号).,图 8-3-4,3.如图 8-3-5，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线 GH，MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).,图 8-3-5,解析：图中，直线 GHMN；图中，G，H，N 三点在三棱柱的侧面上，MG与这个侧面相交于点G，M 平面GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图中，连接 MG，GMH
8、N，因此 GH 与 MN 共面；图中，G，M，N 共面，但H 平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面.,答案：,考点 3,异面直线所成的角,例 3：在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中.(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小；(2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角的大小.解：(1)如图 8-3-6，连接 AB1，B1C.由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体，易知 A1DB1C，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D所成的角.图 8-3-6, AB1ACB1C，B1CA60.即 A1D 与 AC 所成的角为 60.(2)如图 8-
9、3-7，连接 AC，BD.,图 8-3-7,在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1.E，F 分别为 AB，AD 的中点，EFBD.EFAC.EFA1C1.即 A1C1 与 EF 所成的角为 90.,【规律方法】求异面直线所成角的基本方法就是平移，有时候平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，直到得到两条相交直线，最后在三角形或四边形中解决问题.,【互动探究】,4.如图 8-3-8，已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形，C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点，那么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为_.,图 8-3-8,解析：如
10、图 D56，取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D，AD，则因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，所以 ADBC.,图 D56,所以直线 AC1 与 AD 所成角等于异面直线 AC1 与 BC 所成角.因为 C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点，所以 C1D 垂直于圆柱下底面.所以 C1DAD.,因为圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形，,考点 4,三点共线、三线共点的证明,例 4：如图839，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证：图 8-3-9(1)E，C，D1，F 四点共面；(2)CE，D1F，DA 三线共点.,证明：(1)
11、如图 8-3-10，连接 EF，CD1，A1B.E，F 分别是 AB，AA1 的中点，EFBA1.又 A1BD1C，EFCD1.E，C，D1，F 四点共面.,图 8-3-10,CE 与 D1F 必相交.,设交点为点 P，如图 8-3-10，,则由点 PCE，CE?平面 ABCD，得点 P平面 ABCD.同理点 P平面 ADD1A1.,又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，,点 P直线 DA.CE，D1F，DA 三线共点.,【规律方法】证明三线共点的步骤就是先说明两线交于一点，再证明此交点在另一条线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，要证明 D，A，P 三点共线，由公理 3 知，只要证明
12、 D，A，P 都在两个平面的交线上即可.,证明多点共线问题：可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点.,【互动探究】5.在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，,F，G，H 四点，若 EF 与 GH 交于点 M，则(,),A,A.点 M 一定在 AC 上B.点 M 一定在 BD 上C.点 M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上D.点 M 既不在 AC 上，也不在 BD 上解析：点 M 在平面 ABC 内，又在平面 A
13、DC 内，故必在交线 AC 上.,6.如图 8-3-11，ABCD-A1B1C1D1 是正方体，O 是 B1D1 的中,),点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论错误的是(图 8-3-11,D,A.A，M，O 三点共线B.A，M，O，A1 四点共面C.A，O，C，M 四点共面D.B，B1，O，M 四点共面,难点突破利用平移求异面直线所成的角例题：(2016 年新课标)平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1,n，则 m，n 所成角的正弦值为(,),解析：如图 8-3-12，设平面 CB1D1平面 ABCDm，平面 CB1D1平面 ABB1A1 n.因为平面 CB1D1 ，所以 m m，nn.则m，n 所成的角等于m，n所成的角.延长AD，过 D1 作 D1EB1C，交AD 延长线于点 E，连接 CE，B1D1，则 CE 为 m.同理 B1F1 为 n.而 BDCE，B1F1A1B，则 m，n所成的角即为 A1B，BD 所,图 8-3-12,成的角，即为 60.故m，n所成角的正弦值为 .故选 A.答案：A,【规律方法】求异面直线所成角的基本方法就是平移，有时候平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，直到得到两条相交直线，最后在三角形或四边形中解决问题.,【互动探究】,图 D57答案：C,
