1、第7讲 离散型随机变量的均值与方差,1.离散型随机变量的均值和方差,一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：,则称 E(X) x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,2.均值和方差的性质设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb，,则 E(Y)E(aXb)_，D(Y)D(aXb)a2D(X).,aE(X)b,3.两点分布及二项分布的均值和方差,p,np,(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)p(1p).(2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)np(1p).,1.已知的分布列为,),D,则 E(
2、)(A.0C.1,B.0.2D.0.3,2.已知随机变量的分布列是：,则 D()(,),B,A.0.6,B.0.8,C.1,D.1.2,解析：E()10.4 20.230.4 2 ，则 D()(12)20.4(22)20.2(32)20.40.8.,3.(2014 年浙江)随机变量 的取值为 0，1，2，若 P(0),15,，E()1，则 D()_.,4.(2017 年新课标)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的,二等品件数，则 D(X)_.,1.96,解析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即XB(100，0.02)，由
3、二项分布的期望方差公式，可得D(X)np(1p)1000.020.981.96.,考点 1,离散型随机变量的期望与方差,例 1：(2016 年天津)某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 3，3，4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.(1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望.,【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：,则称 E(X)x1p1x2p2xipix
4、npn为随机变量 X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型分布列，可直接套用公式 E(X)x1p1x2p2xipixnpn求其均值.随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算.,【互动探究】1.(2017 年浙江)已知随机变量i 满足 P(i1)pi，P(i0),A.E(1)D(2)C.E(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2),A,解析：E(1)p1，E(2)p2，E(1) E(2).D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)，D(1)D(2)(p1p2)(1
5、p1p2)0.即D(1)D(2).故选 A.,考点 2,超几何分布的期望和方差,例 2：(2017 年广东珠海二模)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记 5 分，“不合格”记 0 分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图 9-7-1.,图 9-7-1,(1)求 a，b，c 的值；,(2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取 10 人进行座谈.现再从这 10 人这任选 4人，记所选 4 人的量化总分为，求的分布列及数学期望 E()
6、；,来评估该校安全教育活动的成效.若 M0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？,【互动探究】,2.(2017 年湖北八校联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取 100 名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图 9-7-2.,图 9-7-2,(1)求频率分布表中 x，y 的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20 人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这 20 人中随机选取 2 人各赠送精美礼品一份，设这 2 名市民中年
7、龄在35，40)内的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.,解：由图知，P(25x30)0.0150.05，故 x1000.055.P(30xE(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.,方法二，设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为 Y2，则 Y1，Y2 的分布列为：,因为 E(Y1)E(Y2)，,所以两人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大.【规律方法】(1)求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果B(n，p)，那么用公式 E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量.,(2)有些随机变量虽不
8、服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(ab)aE()b 以及 E()np 求出 E(ab)，同样还可求出 D(a,b).,【互动探究】,3.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销,售量的频率分布直方图，如图 9-7-3.,图 9-7-3,将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售,量相互独立.,(1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于,100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；,(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，,求随机变量 X 的分布列、数学期望 E(X)及方差
9、 D(X).解：(1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”，A2 表示事件“日销售量低于 50 个”，B 表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”，因此,P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，,P(B)0.60.60.1520.108.,(2)X 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为,分布列为：,因为 XB(3，0.6)，,所以数学期望 E(X)30.61.8，方差 D(X)30.6(10.6)0.72.,思想与方法,利用分类讨论思想求数学期望,例题：
10、(2014 年湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水的年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.,(1)求在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概,率；,(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最,多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：,若某台发电机运行，则该台年利
11、润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？,(2)记水电站年总利润为 Y 万元.安装 1 台发电机的情形.,由于水库年入流量总大于 40，故 1 台发电机运行的概率为,1，对应的年利润 Y5000，E(Y)500015000；,安装 2 台发电机的情形.,依题意，当 40X80 时，1 台发电机运行，此时 Y5000800 4200 ，因此 P(Y 4200) P(40X120)p30.1.,由此得 Y 的分布列如下：,所以 E(Y)34000.292000.715 0000.18620.综上所述，欲使水电站年总
12、利润的均值达到最大，应安装,发电机 2 台.,【规律方法】本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力，关键在于如何迅速、准确将信息提取、加工，构建数学模型，化归为数学期望问题.,【互动探究】,4.某社区为丰富居民节日活动，组织了“迎新春”象棋大赛，已知由 1，2，3 号三位男性选手和 4，5 号两位女性选手组成混合组参赛.已知象棋大赛共有三轮，设三位男性选手在一至,(1)若该组五名选手与另一组选手进行小组淘汰赛，每名选手只比赛一局，共五局比赛，求该组两名女性选手的比赛次序恰好不相邻的概率；,(2)若一位男性选手因身体不适退出比赛，剩余四人参加个人比赛，比赛结果相互不影响，设 X 表示该组选手在四轮中胜出的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.,所以 X 的分布列为：,
