1、10.6 圆锥曲线的综合问题,高考数学,考点圆锥曲线的综合问题1.定值问题:先求出表达式,再化简,据已知条件列出方程(或不等式),消参.2.最值问题:可用数形结合或转化为函数最值问题或转化为线性规划问题.3.求参数的取值范围:据已知条件建立等式或不等式,再求参数的范围.4.对称问题:若A、B两点关于某直线对称,则直线AB与此直线垂直,且线段AB的中点在此直线上,即此直线是线段AB的垂直平分线.解对称问题应注意条件的充分利用,如斜率、截距等,同时还应注意各量之间的关系.5.存在性问题:一般采用“反证法”或“假设验证法”来解决.,知识清单,圆锥曲线中的定值与最值问题的解题策略1.求解圆锥曲线中的定
2、值、最值问题.一是注意题目中的几何特征,充分考虑图形性质;二是运用函数思想,建立目标函数,求最值.2.解决圆锥曲线中的最值问题的方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.例1(2017浙江名校协作体,21)已知椭圆C:?+?=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为?,直线y=1与C的两个交点间的距离为?.(1)求椭圆C的方程;,方法技巧,(2)分别过F1、F2作l1、l2,满足l1l2,设l1、l2与C的上半部分分别
3、交于A、B两点,求四边形ABF2F1面积的最大值.,解题导引(1)由椭圆上点的坐标满足椭圆方程、离心率定义以及a,b,c之间的关系分别列方程联立,解方程组得结论(2)联立直线l1与椭圆方程,消去x由韦达定理计算直线l1被椭圆截得的弦长|AD|利用换元法求ADF2面积的最大值利用椭圆的定义说明四边形ABF2F1的面积等于ADF2的面积结论,解析(1)易知椭圆过点?,所以?+?=1,?(2分)又?=?,?(3分)a2=b2+c2,?(4分)由得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为?+?=1.? (6分)(2)设直线l1:x=my-1,它与C的另一个交点为D.l1的方程与C的方程联立,消去x,得(
4、3m2+4)y2-6my-9=0,?(7分)=144(m2+1)0,y1+y2=?,y1y2=?.|AD|=?,?(9分),又F2到l1的距离d=?,?(10分)所以?=12?.?(11分)令t=?,则t1,则?=?,所以当t=1时,?取得最大值3.?(14分)又?=?(|BF2|+|AF1|)d=?(|AF1|+|DF1|)d=?|AD|d=?,所以四边形ABF2F1的面积的最大值为3.?(15分),圆锥曲线中的探索性问题和参数范围问题的解题策略1.圆锥曲线中的探索性问题,主要是“存在性”问题,一般假设满足条件的量存在,以此为基础进行推理,或用“反证法”来解决.2.求参数范围的常用方法:(1
5、)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求解.(2)分离变量法:由条件建立参数与某变量的方程(或不等式),把变量与参数分离,转化为求函数的值域(或最值).(3)不等式法:由条件建立含参数的不等式,通过解不等式(或用基本不等式)求出参数的范围.(4)判别式法:建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式求参数的范围.,(5)数形结合法:研究该参数所表示的几何意义,利用数形结合思想求解.例2(2017浙江镇海中学第一学期期中,19)如图,已知椭圆C:?+?=1(ab0)的上顶点为A(0,1),离心率为?.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2(0r
6、1)的两条切线,分别与椭圆C相交于点B,D(不同于点A).当r变化时,试问直线BD是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.,解析(1)由已知得?a=2,b=1,所以所求椭圆的方程为?+y2=1.?(5分)(2)设切线方程为y=kx+1,则?=r,即(1-r2)k2-2k+1-r2=0,设B(x1,y1),D(x2,y2),切线AB,AD的斜率分别为k1,k2(k1k2),则k1,k2是上述方程的两根,所以k1k2=1.由?得(1+4k2)x2+8kx=0,所以x1=?,y1=?,同理可得x2=? =? ,y2=? =? .?(10分)所以kBD= ?=-? ,所以直线BD的方程为y- ?=-? ,令x=0,得y=? + ? ?= ?=-? ,故直线BD过定点? .?(15分),
