1、4.5 利用三角形全等测距离基础训练1.如图,将两根钢条AA,BB的中点O连在一起,使AA,BB可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工件,由三角形全等得出AB的长等于内槽宽AB,那么判定OABOAB的理由是()A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边2.如图,要测量河中礁石A离岸边B点的距离,采取的方法如下:顺着河岸的方向任作一条线段BC,作CBA=CBA,BCA=BCA.可得ABCABC,所以AB=AB,所以测量AB的长即可得AB的长.判定图中两个三角形全等的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS3.某大学计划为新生配备如图所示的折叠凳.图是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条
2、等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm,依据是()A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS4.教室里有几盆花,如图,要想测量这几盆花两旁的A,B两点间的距离不方便,因此,选点A,B都能到达的一点O,如图,连接BO并延长BO到点C,使CO=BO,连接AO并延长AO到点D,使DO=AO.那么C,D两点间的距离就是A,B两点间的距离.理由:在COD和BOA中,CO=BO,COD=BOA,DO=AO,所以CODBOA().所以CD=.所以只要测出C,D两点间的
3、距离就可知A,B两点间的距离.5.如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)6.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABCADC,这样就有QAE=PAE.则说明这两个三角形全等的依据是()A.SAS B.ASA C.AASD.SSS7.杨阳同
4、学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:如图,ABOHCD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,ODCD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.8.如图,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使ACB=90,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就得到了A,B两点之间的距离.你能说明其中的道理吗?9.如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,动手制作一个简单的工具,利用三角形全等的知识,求出x
5、.10.如图,在ABC中,D为AB的中点,AD=5 cm,B=C,BC=8 cm.(1)若点P在线段BC上以3 cm/s的速度从点B向终点C运动,同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动.若点Q的速度与点P的速度相等,经过1 s后,请说明BPDCQP.若点Q的速度与点P的速度不等,当点Q的速度为多少时,能使BPDCPQ?(2)若点P以3 cm/s的速度从点B向点C运动,同时点Q以5 cm/s的速度从点C向点A运动,它们都依次沿ABC三边运动,则经过多长时间,点Q第一次在ABC的哪条边上追上点P?11.如图,AB=DC,A=D.试说明:ABC=DCB.12.如图,在ABC中,BAC=4ABC=4C
6、,BDAC交CA的延长线于点D,求ABD的度数.13.农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形ABCDE中,ABC=AED=90,AB=CD=AE=BC+DE=20 m,求这块试验田的面积.参考答案1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】SAS;BA5.解:合乎要求.理由如下:在ABO和ACO中,AO=AO,AOB=AOC,OB=OC,所以ABOACO(SAS).所以BAO=CAO.所以合乎要求.分析:本题易误认为AB=AC,由BO=CO,AO=AO判定ABOACO而出错.6.【答案】D解:因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=DC,AC=AC,所以ABCADC(SS
7、S).故选D.7.解:因为ABCD,所以ABO=CDO.因为ODCD,所以CDO=90.所以ABO=90,即OBAB.因为相邻两平行线间的距离相等,所以OD=OB.在ABO与CDO中,ABO=CDO,OB=OD,AOB=COD,所以ABOCDO(ASA).所以CD=AB=20米.8.解:因为ACB=90,所以ACD=180-ACB=90.在ABC和ADC中,BC=DC,ACB=ACD,AC=AC,所以ABCADC(SAS).所以AB=AD.9.解:可设计如图所示的工具,其中O为AC,BD的中点.在AOB和COD中,AO=CO,AOB=COD,BO=DO,所以AOBCOD(SAS).所以AB=C
8、D.所以测量出C,D之间的距离,CD的长就是A,B间的距离.因为AB=a-2x,所以x=a-AB2=a-CD2.10.解:(1)因为BP=31=3(cm),CQ=31=3(cm),所以BP=CQ.因为D为AB的中点,所以BD=AD=5 cm.因为CP=BC-BP=8-3=5(cm),所以BD=CP.又因为B=C,所以BPDCQP(SAS).设点Q的运动时间为t s,运动速度为v cm/s.因为BPDCPQ,所以BP=CP=4 cm,BD=CQ=5 cm.所以t=BP3=43 s.所以v=CQt=543=154(cm/s).所以当点Q的运动速度为154 cm/s时,能使BPDCPQ.(2)设经过
9、x s点Q第一次追上点P.由题意,得5x-3x=210,解得x=10.所以点P运动的路程为310=30(cm).因为30=28+2,所以此时点P在BC边上.所以经过10 s点Q第一次在边BC上追上点P.11.解:如图,分别取AD,BC的中点N,M,连接BN,CN,MN,则有AN=ND,BM=MC.在ABN和DCN中,AN=DN,A=D,AB=DC,所以ABNDCN(SAS).所以ABN=DCN,NB=NC.在NBM和NCM中,NB=NC,BM=CM,NM=NM,所以NBMNCM(SSS).所以NBM=NCM.所以NBM+ABN=NCM+DCN.所以ABC=DCB.分析:说明三角形全等时常需添加
10、适当的辅助线,辅助线的添加以能创造已知条件为上策.如本题取AD,BC的中点就是把中点作为已知条件,这也是几何说明中的一种常用技巧.12.解:设C=x,则ABC=x,BAC=4x.在ABC中,x+x+4x=180,解得x=30.所以BAC=120.所以DAB=60.因为BDAC,所以ABD=90-DAB=90-60=30.13.解:如图,延长DE至点F,使EF=BC,连接AC,AD,AF.易得CD=FD.因为AB=AE,ABC=AEF,BC=EF,所以ABCAEF(SAS).所以AC=AF.在ACD与AFD中,因为AC=AF,CD=FD,AD=AD,所以ACDAFD(SSS).所以五边形ABCDE的面积是2SADF=212DFAE=2122020=400(m2).
