1、第二节平面向量基本定理及坐标表示,总纲目录,教材研读,1.平面向量的基本定理,考点突破,2.平面向量的坐标运算,3.平面向量共线的坐标表示,考点二平面向量的坐标运算,考点一平面向量基本定理及其应用,考点三平面向量共线的坐标表示,1.平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.,教材研读,2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(
2、x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=?.(2)向量坐标的求法(i)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),则?=(x2-x1,y2-y1),|?|=?.,3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则ab?x1y2-x2y1=0.,1.如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是?(),A.e1与e1+e2B.e1-2e2与e1+2e2C.e1+e2与e1-e2D.e1+3e2与6e2+2e1,答案D选项A中,设e1+e2=e1,则?无
3、解;,D,选项B中,设e1-2e2=(e1+2e2),则?无解;选项C中,设e1+e2=(e1-e2),则?无解;选项D中,e1+3e2=?(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.,2.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=?,则c可用向量a,b表示为?()A.?a+bB.-?a-bC.?a+?bD.?a-?b,答案A设c=xa+yb,则?=(2x-y,x+2y),所以?解得?则c=?a+b.,A,3.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若?=-3a,则点N的坐标为?()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0),答案A?=-3a=-3(1,-2)=(-3,6
4、),设N(x,y),则?=(x-5,y+6)=(-3,6),所以?即?故点N的坐标为(2,0).,A,4.(2016北京海淀一模)已知向量a=(1,t),b=(3,9),若ab,则t=?()A.1B.2C.3D.4,答案Ca=(1,t),b=(3,9),ab,19=3t,t=3.故选C.,C,5.(2018北京朝阳高三期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1),将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转60,得到线段OB,则向量?的坐标为.,答案,解析设点B(x0,y0),由三角函数的定义知x0=1cos 150=-?,y0=1sin 150=?,所以B?,?=?.,6.在平面直角坐标系中,已
5、知?=(-1,3),?=(2,-1),则|?|=.,答案5,解析?=?-?=(2,-1)-(-1,3)=(3,-4),|?|=5.,5,考点突破,答案(1)B(2),解析(1)由题意得|?|=2|?|,即有?=?=?(?-?)=?(a-b).从而?=?+?=b+?(a-b)=?a+?b.故选B.(2)如图.?四边形ABCD为平行四边形,且E、F分别为CD、BC的中点,?=?+?=(?-?)+(?-?),=(?+?)-?(?+?)=(?+?)-?,?=?(?+?),=?,+=?.,方法指导用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该组基底的
6、线性组合,再进行向量的运算.(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要熟练运用线段中点的向量表达式.注意:零向量和共线向量不能作基底.,1-1(2015北京石景山一模)如图,在66的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量a,b,c满足c=xa+yb(x,yR),则x+y=?()?A.0B.1C.5?D.,D,答案D以方格的边长为长度单位建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,4),因为c=xa+yb,所以?解得?所以x+y=?,故选D.,1-2(2016北京东城一模)如图,在矩形OABC中,点E,F分别在线段AB,BC上,且满足AB=
7、3AE,BC=3CF,若?=?+?(,R),则+=.,答案,解析?=?+?=(?+?)+(?+?)=?+?+?+?=?+?+?,?-?=?+?.?+?=?+?.?=?+?.?=?+?.=?,=?,+=?.,方法指导平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.,2-1已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若?=3a,则点B的坐标为?()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14),2-1已知点A(-1,
8、5)和向量a=(2,3),若?=3a,则点B的坐标为?()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14),答案D设点B的坐标为(x,y),则?=(x+1,y-5).由?=3a,得?解得?故点B的坐标为(5,14).,D,2-2在ABC中,点P在BC上,且?=2?,点Q是AC的中点,若?=(4,3),?=(1,5),则?=?()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21),答案B?=2?,?=3?=3(?+?).Q是AC的中点,?=2?,又?=?+?,?=3?+2(?+?)=(-6,21).,B,解析(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),?
9、解得?(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由题意得2(3+4k)-(-5)(2+k)=0.k=-?.,3-1(2015北京西城二模)已知平面向量a,b,c满足a=(-1,1),b=(2,3),c=(-2,k),若(a+b)c,则实数k=?()A.4B.-4C.8D.-8,答案D由已知得,a+b=(1,4),因为(a+b)c,所以(-2)4-k=0,所以k=-8.故选D.,D,3-2(2016北京海淀期中)已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B是直线y=2x上的一个动点,若?a,则点B的坐标为.,答案(-3,-6),解析设点B的坐标为(x,2x),则?=(x-3,2x),?a,(x-3)1-2x1=0,x=-3,故点B的坐标为(-3,-6).,(-3,-6),3-3(2017北京通州期末)如图,在正方形ABCD中,P为DC边上的动点,设向量?=?+?,则+的取值范围是.,答案1,3,1,3,
