1、高考研究课 (四 ) 证明 3方法 综合法、分析法、反证法 全国卷 5 年命题分析 考点 考查频度 考查角度 直接证明与间接证明 5年 6考 综合法、分析法、反证法证明问题 03 02 01 题型一 分析法 题型三 反证法 题型二 综合法 目 录 04 课堂真题集中演练 05 高考达标检测 06 阶段滚动检测 分析法 典例 已知非零向量 a ， b ，且 a b ，求证： | a | | b | a b | 2 . 证明 a b ? a b 0 ，要证| a | | b | a b | 2 . 只需证 | a | | b | 2 | a b |， 只需证 | a |2 2| a | b | |
2、 b |2 2( a2 2 a b b2) ， 只需证 | a |2 2| a | b | | b |2 2 a2 2 b2， 只需证 | a |2 | b |2 2| a | b | 0 ，即 (| a | | b |)2 0 ， 上式显然成立，故原不等式得证 方法技巧 分析法证明问题的思路与适用范围 (1) 分析法的思路： “ 执果索因 ” ，逐步寻找结论成立的充分条件，即从 “ 未知 ” 看 “ 需知 ” ，逐步靠拢 “ 已知 ” 或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用 “ 要证 只需证 已知 ” 的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性 (2) 分析法证明问题的适用范
3、围： 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法 即时演练 已知 AB C 的三个内角 A ， B ， C 成等差数列， A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 求证：1a b1b c3a b c. 证明： 要证1a b1b c3a b c， 即证a b ca ba b cb c 3 也就是ca bab c 1 ， 只需证 c ( b c ) a ( a b ) ( a b )( b c ) ， 需证 c2 a2 ac b2， 又 ABC 的三内角 A ， B ， C
4、 成等差数列，故 B 60 ， 由余弦定理，得 b2 c2 a2 2 ac c os 60 ， 即 b2 c2 a2 ac ，故 c2 a2 ac b2成立 于是原等式成立 . 综合法 综合法证明问题是历年高考的热点问题，也是必考问题之一通常在解答题中出现 常见的命题角度有： ( 1) 立体几何证明题； ( 2) 数列证明题； ( 3) 与函数、方程、不等式结合的证明题 角度一：立体几何证明题 1. 如图，在三棱锥 P ABC 中， D ， E ， F 分别 为棱 PC ， AC ， AB 的中点已知 PA AC ， PA 6 ， BC 8 ， DF 5. 求证： (1) 直线 PA 平面 D
5、EF ； (2) 平面 B DE 平面 A B C . 证明： ( 1) 因为 D ， E 分别为棱 PC ， AC 的中点，所以 DE PA . 又因为 PA ? 平面 D E F ， DE ? 平面 D EF ， 所以直线 PA 平面 D E F . (2) 因为 D ， E ， F 分别为棱 PC ， AC ， AB 的中点， PA 6 ，BC 8 ， 所以 DE PA ， EF BC ， DE 12PA 3 ， EF 12BC 4. 又因为 DF 5 ，故 DF2 DE2 EF2， 所以 DEF 90 ，即 DE EF . 又 PA AC ， DE PA ，所以 DE AC . 因为
6、AC EF E ， AC ? 平面 A B C ， EF ? 平面 ABC ， 所以 DE 平面 A B C . 又 DE ? 平面 B DE ，所以平面 B DE 平面 ABC . 角度二：数列证明题 2 已知函数 f ( x ) 满足 f ( x y ) f ( x ) f ( y ) 且 f ( 1) 12. ( 1) 当 n N*时，求 f ( n ) 的表达式； ( 2) 设 a n n f ( n ) ， n N*，求证： a 1 a 2 a 3 ? a n 2. 解： ( 1) 因为函数 f ( x ) 满足 f ( x y ) f ( x ) f ( y ) ， 所以令 y 1 ，得 f ( x 1) f ( x ) f ( 1) ， 所以 f ( n 1) f ( n ) f ( 1) 又因为 f ( 1) 12，所以f ? n 1 ?f ? n ?12， 所以 f ( n ) ?12n( n N*)
